Transcript 三角形的内切圆

复习
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的
连线平分两条切线的夹角。
P
O
B
1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？
①.圆心与半径 或②.不在同一直线上的三点
2、叙述角平分线的性质与判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
A
3、下图中△ABC与圆O的关系？
△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
O
圆心O点叫△ABC的外心
B
C
三角形的外接圆在实际中很有用,但还
有用它不能解决的问题.如
如图是一块三角形木料，木工师傅要
从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下
的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
A
D
r
C
O
E
F
B
探
究
：
三
角
形
内
切
圆
的
作
法
思考下列问题：
A
M
1．如图，若⊙O与∠ABC
的两边相切，那么圆心O的
位置有什么特点？
圆心0在∠ABC的平分线上。
2．如图2，如果⊙O与
△ABC的内角∠ABC的两边
相切，且与内角∠ACB的两
边也相切，那么此⊙O的圆
心在什么位置？
O
B
N
C
A
O
B
图2
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的
角平分线的交点上。
C
试一试:
你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法：1、作∠B、∠C的平分线
BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
N
M
I
B
D
C
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内
切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三
角形叫做圆的外切三角形。
性质：1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
A
D
r
C
O
E
F
B
1.如图1，△ABC是⊙O的
A
内接 三角形。
⊙ O是△ABC的 外接 圆，
．O
点O叫△ABC的 外心 ，
它是三角形
三边中垂线
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切
⊙I是△DEF的
圆，
C
B
的交点。
三角形，
内切
点I是 △DEF的
心，
E
内
它是三角形
的交点。
三条角平分线
图1
D
．I
图2
3. 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有
1
无数
内部
_____ 个,三角形的内心在三角形的_______.
F
如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
（2）若∠A=80 °，则∠BOC =
130
（3）若∠BOC=100 °，则∠A =
20
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在
怎样的数量关系？请说明理由。
度。
度。
A
O
∠BOC = 90º + 1 ∠ A
2
B
2
)1
4
3(
C
例1、如图，一个木模的上部是圆柱，下
部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱
的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形
的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角
形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。
如图是这个木模的俯视图 A
D
B
r
O
C
1、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ D ）
（A）1∶ 2 ∶ 3
（C）1∶ 3∶2
A
（B）1∶2∶ 3
（D）1∶2∶3
O
R
r
B
老师提示：
等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆。
D
2、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ B ）
（A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形
C
例２、如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆，
切点分别点D、E、F，设△ABC周长为Ｌ。
1
求证：ＡＥ＋ＢＣ＝ Ｌ
2
A
Ｅ
Ｆ
O
B
D
C
已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，
看 比
谁 一 AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB
做 比 切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
得
A
快
F
x
13-x
B 13-x
∴(13-x)+(9-x)=14
x
E
9-x
D 9-x
C
解得x=4
∴AF=4，BD=9，CE=5
如图 ，PA与PB分别切⊙O于A、B两点，C
是 上任意一点，过C作⊙O 的切线交PA
及PB于D、E两点，若PA＝PB＝5cm，则
10cm
△PDE的周长为_________cm．
如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边
与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 外切 三角形；
△ABC是⊙O的 内接 三角形；
⊙I叫△ABC的 内切 圆；
⊙O叫△ABC的 外接 圆，点I是△ABC的 内 心，
点O是△ABC的 外 心
A
O．
．
I
B
C
名称
外心：
三角形
外接圆
的圆心
确定方法
图形
性质
A
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定
在三角形的内
C 部．
o
B
内心：
三角形
内切圆
的圆心
A
三角形三条
角平分线的
交点
O
B
1.到三边的距离
相等；
2.OA、OB、OC
分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、 BC 、
AC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，
BC ＝ 9 厘 米 ， AC ＝ 6 厘 米 ， 则
1厘米
5厘米
4厘米
AD=______,BE=_______,CF=______.
1.
(第 1 题)
探讨1：
(1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.
(2)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形.
(3)任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆.
(4)任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形
正确说法有_______________________
(1) (3)
探讨2：
设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长
之和为L，△ABC 的面积S,我们会有什么结论?
A
D
S =
1
rL
2
O
B
（L为三角形周长，r为内切圆半径）
•
F
r
E
C
看 比
谁 一
做 比
得
快
直角三角形的两直角边分
别是5cm，12cm .则其内切
2cm
圆的半径为______。
A
S =
1
rL
2
.O
C
B
探讨3：
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为
a+b-c
c 则其内切圆的半径ｒ为: r =
2
（以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ）
A
如：直角三角形的两
直角边分别是5cm，
12cm 则其内切圆的
半径为______。
2cm
b
D
C
c
r O
r
E
a
B
如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地
处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。
已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相
等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一
下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
A
镇
商
业
区 D M
.
C
F
B
E
镇工业区
巩固
如图，l1， l2， l3，是三条公路，
要在它们为成三角形内部修建一个加
油站，使加油站到三条公路的距离相
l
2
等，加油站应建
l1
在什么位置？
A
为什么？
l3
B
C
变式练习
若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆的
半径为2cm，则它的周长为( A
)
A．24cm B．22cm
C．14cm
D．12cm
小结：
三角形的内切圆
（1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心
（2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点
（3）三角形内心到三边的距离相等
1
S = rC
（4）三角形面积
2
（C为三角形周长，r为内切圆半径）
(5)直角三角形 的内切圆的半径为r 与
各边长 a、b、c的关系是
abc
r=
2