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带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
带电粒子的垂直进入匀强磁场中，做匀速圆周运动
1. 洛仑兹力提供向心力
2
v2
4

r
2
Bqv  m  m r  m 2  m4 2 f 2 r  m v
r
T
2m Ek 1 2m U
mv p



2. 轨道半径 r 
Bq Bq
Bq
B
q
2r
2m

3. 周期 T 
v
Bq
只与B和带电粒子（q，m)有关，
而与v、r无关（回旋加速器）
2m Ek 1 2m U
mv p
4. 磁感应强度 B 



qr qr
qr
r
q
5. 圆心、半径、运动时间的确定
⑴圆心的确定
O
v
a．已知入射方向和出射方向时，可通过入
射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射 P
-q
方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道
的圆心．
b．已知入射方向和出射点的位置时，可以
通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点
和出射点,作其中垂线，这两条垂线的交点
就是圆弧轨道的圆心．
⑵半径的计算
M
v
v
O
M
P
-q
v
v
圆心确定后，寻找与半径和已知量相关的直角三角形，利
用几何知识，求解圆轨迹的半径。
⑶偏向角、回旋角、弦切角的关系
a.粒子速度的偏向角(φ)等于回旋角 (α)，
并等于AB弦切线的夹角(弦切角θ)的2倍

O′
v
A
θ
    2  t

θ
O
b. 相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦
切角(θ′)互补
B

v
   ' 180
0
⑷运动时间的确定
a.直接根据公式 t =s / v 或 t =α/ω求出运动时间t
b. 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所
对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：

t
T
2
或
t

360
0
T
带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合
性较强，解这类问题既要用到物理中的洛
仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学
中的平面几何中的圆及解析几何知识 ．但
只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何
知识和物理规律，找到已知量与轨道半径r、
周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角
度或距离以及运动时间不太难。
一．带电粒子在单直线边界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直
原边界飞出；
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界
夹角θ飞出（有两种轨迹，图中若两轨迹共弦，则θ1
＝θ2）。
A
v
．
2  2
r
O
vr
P
B
M
θ
v
B
v
θ
N
1 . 图中MN表示真空室中垂直于纸面的平板，它的一
侧有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度
大小为B 。一带电粒子从平板上的狭缝O处以垂直于
平板的初速v射入磁场区域，最后到达平板上的P 点。
已知B 、v以及P 到O的距离l ．不计重力,求此粒子的
电荷q与质量m 之比。
解：粒子初速v垂直于磁场，粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀
速圆周运动，设其半径为r，
v2
qvB  m
r
因粒子经O点时的速度垂直于
OP ．故OP 是直径，l=2r
q 2v
 
m Bl
B
v
M
P
O
l
N
2．如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电
微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线dpa
打到屏MN上的a点，通过pa段用时为t,若该微粒经过P
点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新
微粒，最终打到屏MN上。两个微粒所受重力均忽略。
D
新微粒运动的
M
B
A. 轨迹为pb, 至屏幕的时间将小于t
P
B. 轨迹为pc, 至屏幕的时间将大于t ba
v
c
C. 轨迹为pb, 至屏幕的时间将等于t
D. 轨迹为pa, 至屏幕的时间将大于t N
解:
m1v0
r1 
m1v0  (m1  m2 )v
qB
(m1  m2 )v m1v0
r2 

 r1
qB
qB
v  v0
t2  t1
d
3．一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直
于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中.磁感应
强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于纸面向里.
(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.
(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线
OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是   qB t
O
2m
v
2
O’
S
P
B
mv
2m v
d  2r 
⑴ r
Bq
qB
vt
vt
Bq


t
⑵ 2 
mv m
r
qB
2 2m 2m
qB

 
t
或 t
2 qB
qB
2m
4．如图所示，一正离子沿与匀强磁场边界成30º角的
方向，以速度v0射入磁场，已知其电量为q，质量为
m，若磁场足够大，磁感应强度为B，则此正离子在
磁场中的运动半径多大？在磁场中运动的时间是多少？
离开磁场时速度方向偏转了多少？
m v0
r
qB
回旋角等于偏向角等于3000
300
5 2m 5m
t
T

0
360
6 qB 3qB
0
B
r v0
r
30º
30º
离开磁场时速度方向偏转了3000
思考：求若粒子射出磁场时的位置与射入磁场中的位置之
m v0
间的距离．
d r
qB
5．如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、
负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v
射入磁场（电子质量为m,电荷为e），它们从磁场中射
出时相距多远？射出的时间差是多少？
mv
r
eB
B
．
2
mv
r
d  2r 
30
M
N
eB
r
r
3000
5 2m 5m
O’
t1 
T

0
360
6 eB
3eB
0
4m
60
1 2m m
t 2  t1  t 2 
t2 
T

0
3eB
360
6 eB 3eB
r
0
6．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感
应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为
m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各
个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的
相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区
域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的? A
A.
B
B. 2R
2R
O
O
M
2R
R
C.
M
N
M
2R
D.
O
M
2R
N
2R
R
R
O
2R
N
M
2R
2R
N
O
N
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个
方向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运
动的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、
以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹
如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示
2R
M
2R
O
R
N
7．水平线MN的下方存在垂直纸面向里的磁感应强度
为B的匀强磁场，在MN线上某点O的正下方与O点相
距为L的质子源S，可在纸面内1800范围内发射质量为
m、电量为e、速度为v=BeL/m的质子，质子的重力
不计，试说明在MN线上多大范围内有质子穿出。
M
BeL
m
mv
m L
r

eB
eB
O
B S
O点左右距离O点L的范围内有质子穿出．
N
O
M
N
B
S
8．如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速
率相同的电子（质量为m，电量为e），M、N是足够
大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L，挡板左侧是
垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。
（1）要使发射的电子能到达挡板，
M
电子速度至少为多大？
（2）若S发射的电子速率为eBL/m
时，挡板被电子击中的范围有多大？
eBL
v
2m
S
．
L
O
PQ  (1  3) L
N
9．如图,真空室内存在匀强磁场,
磁场方向垂直于纸面向里,磁感
应强度的大小B=0.60T,磁场内
有一块平面感光板ab,板面与磁
场方向平行,在距ab的距离
L=16cm处,有一个点状的放射
源S,它向各个方向发射α粒子,α
粒子的速度都是v=4.8x106 m/s,
已知α粒子的电荷与质量之比
q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图
纸平面中运动的α粒子,求ab上
被α粒子打中的区域的长度.
.
a
L
s
b
L
解:粒子带正电,故在磁场中
沿逆时针方向做匀速圆周运
动,用R表示轨道半径,有
mv
r
 16cm
qB
因朝不同方向发射的α粒子的圆
轨迹都过S,由此可知,某一圆轨迹
在图中ab上侧与ab相切,则此切点
P1就是该粒子能打中的上侧最远
点.
再考虑ab的下侧.任何α粒子在运动
中离S的距离不可能超过2R,以2R为
半径、S为圆心作圆,交ab于ab下侧
的P2点,此即下侧能打到的最远点.
P1P2  r  2r cos300  43.7cm
a
P1
s
N
P2
b
10．如图所示，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的
交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方
向垂直纸面向外的匀强磁场。O是MN上的一点，从O点
可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v
的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，
已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，
P到O的距离为L，不计重力和粒子间的相互作用。
（1）求所考察的粒子在磁场中
的轨道半径；
（2）求这两个粒子从O点射入
磁场的时间间隔。
M
O
P
N
解：作出粒子运动轨迹如图。
质点在磁场中作圆周运动，
半径为：R=mv/qB
周期为：T=2πm/qB
从O点射入到相遇，粒子1、2的
路径分别为：OＲP、OＫP
M
v1
O
△t=t1 －t2=2Tθ/π=
Ｒ
θ
θ
Ｋ
o1
o2
由几何知识： cosθ=L/2R
得：θ=arccos(L/2R)
粒子1运动时间：t1=T/2+T(2θ/2
π)
粒子2运动时间：t2=T/2－
T(2θ/2π)
故两粒子运动时间间隔：
v2
2θ
2θ
Q1
P
Q2
N
4m .arccos(LBq )
2mv
Bq