Transcript 带电粒子在交变电场中的运动1

江苏省常州高级中学
丁岳林
[例1（1985年全国高考题）] 如图甲所示A和B表示在
真空中相距为d的两平行金属板，加上电压后，它们
之间的电场可视为匀强电场，图乙表示一周期性的交
变电压波形，横坐标代表时间 ，纵坐标代表电压U，
从t =0开始，电压为一给定值U0 ，经过半个周期，突
然变为－U0；再过半个周期，又突然变为U0 ；……如
此周期性地交替变化。
在t=0时，将上述交变电压U加在A、B两板上，
使开始时A板电势比B板高，这时在紧靠B板处有一初
速度为零的电子（质量为 ，电荷量为e）在电场作用
下开始运动。要想使这电子到达A板时具有最大的动
能，则所加交变电压的频率
最大不能超过多少？
关键词：☆初相位对带电粒子运动的影响
☆构造图象解题
拓展：在t=0时刻，在B的小孔处无初速地释放
一电子，要想使这电子到达A板时速度最小，则
所加交变电压的频率为多大?
[例2(1994年全国卷)]图中A、B是一对平行的金属板。
在两板间加上一周期为T的交变电压u。A板的电势UA＝0，
B板的电势UB随时间的变化规律为:在0到T/2的时间
内,UB＝U0(正的常数)；在T/2到T的时间内，UB＝-U0；
在T到3T/2的时间内,UB＝U0；在3T/2到2T的时间内。UB
＝-U0…，现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场
区内。设电子的初速度和重力的影响均可忽略，则 ( )
A、若电子是在t＝0时刻进入的,它将一直向B板运动；
B、若电子是在t＝T/8时刻进入的,它可能时而向B板运
动,时而向A板运动,最后打在B板上；
C、若电子是在t＝3T/8时刻进入的,
它可能时而向B板运动,时而向A板运
动,最后打在B板上；
D、若电子是在t＝T/2时刻进入的,
它可能时而向B板、时而向A板运动
[例3（93全国）]图中A、B是一对中间开有小孔的平行
金属板，两小孔的连线与金属板面垂直，两极板的距离
为L，两极板间加上低频交流电压，A板电势为零，B板
电势u=U0cosωt，现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔
射入电场，设初速和重力的影响均可以忽略不计，则电
子在两极板间可能【
】
（A）以AB间的某一点为平衡位置来回振动
（B）时而向B板运动，时而向A板运动，但最后穿出B板
（C）一直向B板运动，最后穿出B板，如果ω小于某个
ω0，L小于某值L0
（D）一直向B板运动，最后穿出B板，
而不论ω、L为何值
☆对称缺失问题
[例4（2002广东省高考题）] 如图甲所示A、B为水平
放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和
宽）。在两板之间有一带负电的质点P。已知若在A、B
间加电压U0，则质点P可以静止平衡。现在A、B间加上
如图乙所示的随时间t变化的电压U， 在t = 0时质点P
位于A、B间的中点处且初速为0 ，已知质点P能在A、B
之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图乙
中U改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式。（质点开始
从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或
从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次。）
分析和解：设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题
意，当A、B间的电压为U0时，有：
qU0/d = mg
当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大
小为a，
qU0/d－mg = ma
解得 a=g
t1=△t1
t2=t1+△t1+△t2
t3=t1+△t1+3△t2
……
tn=t1+△t1+（2n-3）△t2（n≥2）
[例5（2010江苏卷15）] 制备纳米薄膜装置的工作电
极可简化为真空中间距为两平行极板，如图甲所示，
加在极板A、B间的电压作周期性变化，其正向电压为，
反向电压为，电压变化的周期为2r，如图乙所示.在
t=0时，极板B附近一个电子，质量为m、电荷量为e，
受电场作用由静止开始运动.若整个运动过程中，电子
未碰到极板A，且不考虑重力作用.
（2）若电子在时间内未碰到极板B，求此运动过程中
电子速度随时间t变化的关系；
（3）若电子在第个周期内的位移为零，求k的值。
标准答案
(2)
☆递推法解题
☆构造法：运动的分解与合成
【链接１】（一题多问） 如图所示，两平行金属板竖
直放置，左极板接地，中间有小孔。右极板A的电势随
时间变化的规律如图所示。一电子从B板的小孔处进入
板间，电子的初速度不计。已知电子的质量为m，电量
为e。不计电子重力。则：
1
（1）已知K=1，电子在t= T 时刻进入B板，且两板间
8
2
距d2= 33eU0T ，求电子到达A板的时刻。
64m
（2）已知K＞1，且电子在t=0时刻进入B板，如果电子
始终没能到达A板，则两板间
距d应该满足什么条件？
【链接２】（一题多变）如图(甲)所示，A、B是在真
空中平行放置的金属板，加上电压后，它们之间的电
场可视为匀强电场。A、B两极板间距离d＝15cm。今
在A、B两极板上加如图16(乙)所示的交变电压，交变
电压的周期T＝1.0×10-6s ；t＝0时，A板电势比B板
电势高，电势差U0＝1080V。一个荷质比q／m＝
1.0×108 C/kg的带负电的粒子在t＝0 时从B板附近由
静止开始运动，不计重力。问：
(1)当粒子的位移为多大时，粒子速度第一次达最大
值? 最大速度为多大?
(2)粒子运动过程中将与
某一极板相碰撞，求粒子
撞击极板时的速度大小。
解析： （1）在0～T/3时
间内，粒子加速向A板运动，
当
t  T时，粒子第一
/3
次达到最大速度。
根据牛顿第二定律可知， F qU
0
a


粒子运动的加速度
m md
设粒子的最大速度为，此
时的位移为s，则根据运动
学公式有：
2
1 2 qU 0T
s  at 
 0.04m
2
2md 9
qU 0T
5
vm  at 
 2.4  10 m / s
md 3
（2）粒子在第一周期的前2/3时间内，先加速后减速
向A板运动，位移为SA；后T/3内先加速后减速向B板运
动，位移为SB。以后的每个周期都将重复上述运动。
由于粒子在加速减速运动中的加速度大小相等，所以
有： s  2s  0.08m
A
qU 0 T 2
1 2
s B  2s   2  at   2 
( )  0.02m
2
2md 6
所以粒子在一个周期内的位移为 s1  s A  s B  0.06m
第二个周期末，粒子与B板的距离为 s 2  2s1  0.12m
此时粒子距离A板的距离为 s3  d  s 2  0.03m  0.04m
表明粒子将在第三个周期内的前T/3内到达A板。
设粒子到达A板时的速度为v，根据速度位移的关系
有： v  2as  2qU 0 s  12 3  10 4 m / s
3
md
【链接3】（一题多变）如图(a)所示,平行金属板A和B
的距离为d,它们的右端安放着垂直金属板的靶MN.现
在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，t=0时
A板比B板的电势高,电压的正向值为U0，反向值也为
U0,现有质量为m的带正电且电量为q的粒子束从AB的
中点O以平行于金属板的方向OO′射入。设粒子能全部
打在靶MN上，而且所有粒子在AB间的飞行时间均为
T，不计重力影响，试问：（1）在距靶MN的中心O′
点多远的范围内有粒子击中?（2）要使粒子能全部打
在靶MN上,电压U0的数值应满足什么条件?(写出
U0,m,d，q,T的关系式即可)（3）电场力对每个击中O′
点的带电粒子做的总功是多少?
【链接4】（一题多变）两块水平平行放置的导体板如
图所示，大量电子（质量m、电量e）由静止开始，经电
压为U0的电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两
板正中间射入两板之间。当两板均不带电时，这些电子
通过两板之间的时间为3t0；当在两板间加如图所示的周
期为2t0，幅值恒为U0的周期性电压时，恰好能使所有电
子均从两板间通过。问： ⑴这些电子通过两板之间后，
侧向位移的最大值和最小值分别是多少？
⑵侧向位移分别为最大值和最小值的情况下，电子在刚
穿出两板之间时的动能之比为多少？
【链接5】（一题多变）在图（l）中 A和B是真空中的两块面积
很大的平行金属板，A、B间的电压 UAB随时间变化的规律如图
（2）所示，在图（1）中O点到A和B的距离皆为l，在O处不断
地产生电荷量为q、质量为m的带负电的微粒，在交变电压变化
的每个周期T内，均匀产生300个上述微粒，不计重力，不考虑
微粒之间的相互作用，这种微粒产生后，从静止出发在电场力
的作用下运动，设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运
动．且其电量同时消失，不影响A、B板的电势。已知上述的T
＝1.2×10－2s．U0＝1.2×103 V，微粒电荷量q＝10－7C，质量
m＝5 ×10－10kg，l＝0.6m。试求：
（l）在t＝0时刻出发的微粒，会在什么时刻到达哪个极板？
（2）在t＝0到t＝T/ 2这段时间内哪个时刻产生的微粒刚好不能
到达A板？
（3）在t＝0到t＝T/ 2这段时间内产生
的微粒中有多少个微粒可到达A板？
解析：（1）设在t=0时刻产生的微粒在t1时刻
到达A板，且t1<T/2，在此过程中微粒加速度
qU 0
107  1.2  103
2
5
2
a1 

m
/
s

2

10
m
/
s
m  2l 5  1010  2  0.6
由
1
l  a1t12 得t1 
2
2l
2  0.6
3
3

s

6

10
s

2
.
45

10
s
5
a1 2 10
t1<T/2，故假设成立，该微粒在t1=2.45×10－3s
的时刻到达A板。
（2）设在t=0到t=T/2这段时间内的t2时刻产生的微粒
刚好不能到达A板，若再设此微粒在T/2～T时间内的t3
时刻到达A板时的速度刚好为零。T/2～t3时间内的加
速度的大小为：
q  2U 0 2  107  1.2  103
5
2
a2 


4

10
m
/
s
m  2l
5  1010  2  0.6
微粒在T/2时刻的速度 v  a ( T  t )  a (t  T )
1
1
2
2 3
2
2
微粒在t2～t3时间内的位移 l  1 a ( T  t ) 2  1 a (t  T ) 2
1
2
2 3
2
2
2
由④⑤式得 t2=4×10－3s
t3=7×103s<T，所以假设成立，t2=4×102s时刻产生
的微粒刚好不能到达A极。
2
（3）t2时刻产生的微粒在t3时刻到达A板时速度为零，
并立即返回，设t3～T时间内一直向B板运动，则其位移
s1为：
1
1
2
s1  a 2 (T  t 3 )   4 105  (1.2 102  7 103 ) 2  5.0m  2l
2
2
即该微粒一定会被B板吸收，在t=0到t=T/2这段时间内
的t2时刻及其以后产生的微粒都不能到达A板。所以在
t=0到t=T/2这段时间内能到达A板微粒的个数为：
t2
4  10 3
n
N
 300  100

2
T
1.2  10
☆拓展：带电粒子在交变磁场中的运动
如图，荷质比q/m=50C·kg-1的带电粒子经加速电场加速，
由静止开始飞出N板的小孔，进入上方长方形容器abcd，
当粒子(重力不计)到达P点时，容器内立即加一图乙所
示的磁场(设磁场方向朝向纸外时，磁感强度B为正)。
在容器内D处有一中性粒子，已知PD=3m,且PD为ab边的
中垂线，ab=cd=1.6m,
(1)M、N间加速电压
UMN=100V时，带电粒子能否与中性粒子相碰?(2)欲使
带电粒子能与中性粒子碰撞，M、N间加速电压的最大
值是多少?
解析：(1) qU=mv2/2.
r=mv/qB =0.5m＜
ab/2,
T=π×10-2s. ，粒子运转周期与匀强磁场变化
的周期相等。
可见，粒子在P、D间运动的轨迹如图丙所示，
设半圆的个数为n则 n=PD/2r=3。
故能与中性粒子相碰。
(2)当M、N加有最大电压Um时，设粒子到达P点的速
度为vm,运动半径为rm,为使粒子不与cd边相碰，必须
满足rm≤1/2 ab=0.8m.欲使带电粒子与中性粒子相碰，
必须满足
PD=n′2rm=3m。其中n′必为整数
得，n′的最小值为2。
rm=PD/4=0.75m.
解得
Um=qB2r2m/2m=50×42×0.752/2=225V
解