Transcript 三角形内切圆

5.5 直线与圆的位置关系（3）
1、确定圆的条件是什么？
知
识
回
顾
圆心与半径
2、下图中△ABC与圆O的关系？
△ABC是圆O的内接三角形
A
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心
B
O
定
义
三角形的内切圆的定义：
如图是一块三角形木料，木工师傅要
从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下
的圆的面积尽可能大呢？ A
B
A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角
形的内切圆
C
三角形叫圆的外切三角形
思考与探究
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
B
C
探 索
A
探 思考下列问题：
M
究
1．如图，若⊙O与∠ABC
O
：
的两边相切，那么圆心O的
位置有什么特点？
三
角 圆心0在∠ABC的平分线上。 B
N
形
2．如图2，如果⊙O与
A
内 △ABC的内角∠ABC的两边
切 相切，且与内角∠ACB的两
O
圆 边也相切，那么此⊙O的圆
的 心在什么位置？
B
作
法 圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的
图2
角平分线的交点上。
C
C
探
探
究
：
三
角
形
内
切
圆
的
作
法
索
3．如何确定一个与三角形的三边都相切
的圆心的位置与半径的长？
圆心:三个内角的平分线交点
半径:过圆心作一边的垂线段
C
F
E
4．你能作出几个与一个
三角形的三边都相切的
圆？
有且只有一个
I
A
D
B
典型例题
例1:已知：△ABC
求作：⊙O,使它与△ABC的各边都相切
作法：
A
N
M
O
B
D
1、作∠ B, ∠ C的平分线
BM和CN，交点为O；
2、过点O作OD
足为D；
BC，垂
C 3、以O为圆心，OD为半
径作圆O。
则⊙O就是所求的圆。
归纳小结
1、定义：
和三角形各边都相切的圆
叫做三角形的内切圆，内切圆
的圆心叫做三角形的内心，这
个三角形叫做圆的外切三角形。
A
O
B
图2
C
归纳小结
2、性质:
①内心与顶点连线平分内角
②三角形的内心到三边的距离相等
③三角形的内心一定在三角形的内部
A
O
B
图2
C
名称
确定方法
外
心
(三角形
外接圆的
圆心)
三角形三
边中垂线
的交点
内 心
（三角形
内切圆的
圆心）
图形
性质
A
(1)OA=OB=OC
(2)外心不一定在
三角形的内部．
O
B
三角形三条
角平分线的
交点
C
A
O
B
（1）到三边的
距离相等；
（2）OA、OB、
OC分别平分
∠BAC、∠ABC、
∠ACB；
（3）内心在三
C 角形内部．
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三
角形。⊙ O是△ABC的 外接 圆，点
O叫△ABC的 外心 ，它是三角形
三边中垂线
_____ ____的交点。
A
．O
C
B
图1
D
2、定义：和三角形各边都相切
1
的圆叫做 三角形的内切圆 ，
．I
内切圆的圆心叫做三角形
E
F
的 内心 ，这个三角形叫做
图2
圆的外切三角形
____________
3、如图2，△DEF是⊙I的 外切
三角形，
内
⊙I是△DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的___
角平分线
心，它是________的交点。
判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 错
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ 错 ）
3、等边三角形的内心和外心重合； （ 对 ）
4、三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ）
典型例题
例2:在△ABC中，内切圆O与边BC、CA、AB分
别相切于点D、E、F，∠B=60度， ∠C=70
度，求∠EDF的度数
A
F
E
O
B
D
C
典型例题
例3: 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 A
∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
解（1）∵点O是△ABC的内心，
O
1
∴ ∠OBC= ∠OBA=
∠ABC= 25 °
2
1
同理 ∠OCB= ∠OCA= 2 ∠ACB=35 °
1
∠BOC=180 °
（∠ABC＋ ∠ACB）
2
-
= 180 °－60 °=120 °
（2）若∠A=80 °,则∠BOC=
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
B
度。
度。
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由．
C
练习：
1、如图，已知 ABC内心为O,且BOC=110,
A
A
则A=
.
三
角
形
内
心
性
质
的
应
用
O
O
C
B
2、已知三角形ABC的外心为O，且
∠BOC=110°则∠A=______度。
B
C
典型例题
直角三角形的内切圆
例4:已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内
切圆,∠C是直角,AC=3,BC=4.
求⊙O的半径r.
B
A
D
O
●
┓
E
┗ F
C
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
是直角,三边长分别是a,b,c.
求⊙O的半径r.
A
D
O
●
B
┓
E
┗ F
C
三角形的内切圆
已知:如图,△ABC的面积为S,三
边长分别为a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
B
A
D
O
F
●
┓
E
C
三角形的内切圆
已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,
周长等于10cm.
求内切圆⊙O的半径r.
B
A
D
O
F
●
┓
E
C
定
义
定义：和多边形各边都相切的圆
叫做 多边形的内切 圆 ，这个
多边形叫做 圆的外切多边形
D
.O
。
E
G
F
如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 内切 圆，
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方
形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
归纳总结
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作
法.
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出
三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的
内切圆、圆的外切多边形的概念。
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”
与
“外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。