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小结：直线和圆的位置关系:
直线和圆的位置
图形
公共点个数
圆心到直线距离
d与半径r的关系
公共点名称
直线名称
相交
相切
相离
•
r d
•O
r d
2
1
0
d<r
d=r
d>r
交点
切点
无
割线
切线
无
•O
r
O
d
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线。
• 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA
＝OB，CA＝CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习１如图, ⊙O切PB
于点B,PB=4,PA=2,则
⊙O的半径多少？
2 如图：PA,PC分别切圆
O于点A,C两点,B为圆O
上与A,C不重合的点,若
∠P=50°,则∠ABC=___
B
A
O
P
C
B
P
O
A
3．如图4，⊙M与x 轴相交于点A
（2，0），B（8，0），
与y轴相切于点C，则圆心M的坐
标是
y
C
M
O A
B
图4
x
例２如图AB为⊙O的直径，D是弧
BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线
于E，⊙O的切线BF交AD的延长线
于F。
(1)求证：DE是⊙O的切线。
C
(2)若DE＝3，⊙O
的半径是5，求BD
的长。
E
F
D
A
O
G B
• 例题3在△ABC中，∠ABC＝50°，
∠ACB＝75°，求∠BOC的度数。
（1）点O是三角形的内心
（2）点O是三角形的外心
A
O
B
C
垂心
重心
外心
内心
三边垂直 三条角平
平分线的 分线的交
交点
点
交
点
三条高线
的交点
性
质
把中线分 到三角形 到三角形
成了2:1
各顶点距 三边距离
离相等
相等
两部分
在三角形内、
在三角形内、
在三角形
在三角形
形外或斜边
形外或直角 形内
形内
中点
顶点
位
置
三条中线
的交点
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
B
直角三角形外接圆、
内切圆半径的求法
c
O
a+b-c
c
R= —
2
r = ————
a
2
等边三角形外接圆、
内切圆半径的求法
A
I
A
b
C
基本思路：
R
B
构造三角形BOD，BO为外接
圆半径，DO为内切圆半径。
O
r
D
C
做一做P4 4
驶向胜利
的彼岸
直角三角形的内切圆
练习1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC
的内切圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4. D
求⊙O的半径r.
A

3 45
r
 1.
2
B
O
●
┓
E
老师提示:
作过切点的半径,应用题一的结论.
┗ F
C
6.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。
则△ABC的外接圆半径为
。
7. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆
的半径分别是______ , ____
直角三角形的内切圆
练习2.已知:如图,△ABC的面
积S=4cm2,周长等于10cm.
求内切圆⊙O的半径r.
驶向胜利
的彼岸

4
r .
5
B
老师提示:
△ABC的面积=△AOB的面积
+△BOC的面积+△AOC的面积.
A
D
O
F
●
┓
E
C
如图：已知PA，PB分别切⊙O于A，B
两点，如果∠P=60° ，PA=2，那么AB
的长为_____.2
变式1:CD也与⊙O相切,切
变式2:改变切点E的位置(在劣
P
弧ＡＢ上)，则△
PCD的周长
点为E.交PA于C点，交PB
４
为____.
于D点，则△
PCD的周长
C
E
4
为____.
D
变式３：若PA=５则△ PCD
10
的周长为____.
变式４：若PA=a,则△ PCD
的周长为____.
2a
A
B
O
如图，圆o内切于△ABC，切点分别为
D、E、F。 已知∠C=600，∠B=500，连
接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于
A
Ａ 40°
Ｃ 65°
E
Ｂ 55°
Ｄ 70°
F
O
B
D
C
如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、
PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，
∠P＝60°，则图中阴影部分的面积
为
。
1、如图，点P在圆O的直径BA的延长线上，
AB=2PA，PC切圆O于点C，连接BC
（1）求  P 的正弦值；
（2）若圆O的半径r=2cm，求BC的长度
C
P
A
O
B
1.圆与圆的位置关系有 5 种,分别是 外离 , 外切 ,
相交 , 内切 , 内含 .
2.相切两圆的性质：
相切两圆的连心线必经过
切点 ．
设两个圆的半径为Ｒ和r（Ｒ＞r)，圆心距为d.
（１）
d=R+r
两圆外切
（２）
d=R-r
两圆内切
3.设两圆的半径为Ｒ和r,圆心距为d,
（１） d＞R+r
两圆外离，
（２）
R－r＜d＜ R+r
两圆相交
（３）
两圆内含
d＜R－r
 感悟、渗透、应用
【例1】如图所示，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上
的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值.
【解析】
(1)证∠CDO=90°即可，理由OC为圆的直径.
(2)利用△BCD∽△DCA得到BD8DA的比值
1.两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，
则另一个圆的半径是
.
2. 已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别1,3，则这两个
圆的位置关系是（ )
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
3．已知⊙O1与⊙O2内切，它们的半径分别为2和3，
则这两圆的圆心距d满足（ ）
（A）d=5 （B）d=1 （C）1＜d＜5 （D）d ＞5
4．已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2厘
米，且和这两圆都相切的圆共有（ ）
（A）2个
（B）3个 （C）4个 （D）5个
5、如图，施工工地的水平地面上有三根直径
都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一
起，则其最高点到地面的距离是
.
例10（05湖北黄冈实验区）如图，已知⊙O的弦AB垂直
于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA = EC。
⑴ 求证：AC 2 = AE·AB；
⑵ 延长EC到点P，连结PB，若PB = PE，试判断PB与
⊙O的位置关系，并说明理由。