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第24章 《圆》单元复习
本章知识结构框图
垂径定理
圆的基本性质
弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
点与圆的位置关系
圆
与圆有关的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
正多边形与圆
等分圆周
弧长
有关圆的计算
扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
三角形外接圆
圆的切线
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧.
知识运用
1.如图，已知⊙O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，则弦心距
3
OD =
cm.
2.如图，AB是⊙O的直径，CD=8cm，E为CD的中点，在过E
的弦中，最短的弦长= 8 cm，它与AB的关系是 互相垂直.
C
O
A
A
D
B
O
B
E
D
弧、弦、圆心角关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦也相等.
3、如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则
弧BF的度数为 50° ，弧EF的度数为 80°，∠EOF= 80°，
50°
∠EFO=
。
弦AE与BF是什么关系？
相等
F
E
A
O
B
圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
4、如图，A、B、C是⊙O上的三点，
∠BAC=30°，则∠BOC的大小是（ A）
A．60° B． 45° C．30° D．15°
B
5、如图,在⊙O中，弦AB、CD相交于点P， ∠A
＝ 40°， ∠APD＝ 75°，则∠B＝（ D )
A．15° B． 30° C．75° D．35°
C
P
O
A
D
点与圆的
位置关系
A
O
B
点A在圆上
点B在圆外
点C在圆内
d
d
d
＝
＞
＜
r
r
r
C
6、根据点与圆的关系解决下列问题：
（1）经过一点A的圆有（ 无数）个，经过A、B两点的圆有
（ 无数）个，若AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取
R≥3
值范围是（
）
一
（2）经过三角形的三个顶点有且只有
个圆 ，若
AB=3，AC=5，BC=4，则三角形的外接圆的圆心在（AC的中点 ），
半径是（ 2.5
）
（3）作图题:如何做一个三角形的外接圆
直线与圆
的
位置关系
相交
相切
相离
（判断的依据：圆心到直线的距离与半径比较）
d＜r
d＝r
d ＞r
7、Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC＝4cm下列三个结论：
①以点C为圆心，
小于2.4cm
长为半径的圆与直线AB相离；
②以点C为圆心，
等于2.4cm
长为半径的圆与直线AB相切；
③以点C为圆心，
大于2.4cm
长为半径的圆与直线AB相交．
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线.
8、如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线．
O
A
C
B
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长
相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
P
A
O
B
若图中PA和PB是圆O的切
线,指出图中相等关系，角度之
间的关系？若∠APB=50 °,那
么……
PA=PB
∠APO= ∠BPO
∠AOP= ∠BOP
解决生活中的数学问题
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法:
（如图）将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角
板和一个刻度尺按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得
铁环的半径.若测得PA=5cm,求铁环的半径.
O
Q
P A
B
解:∵PA和QA是⊙O的切线,
∴PA=QA,∠PAO= ∠QAO,
∠OPA= ∠ OQA= 90°
又∵ ∠QAB= 60°
∴ ∠QAP= 120°
∴ ∠PAO= ∠ QAO= 60°
1
∴ ∠POA= 30°,PA= OA
OP2= OA2-PA2,PA=5 2
OP=5 3.
∴ ⊙O半径5 3 .
知识运用
9、如果点O是△ABC的内心，∠BAC=70°，则∠BOC= 125°
.
A
O
B
C
10、作图题:做一个三角形的内切圆
圆与圆的
位置关系
R+r>d>R-r
相交 相切 （外切、内切） 相离（外离、内含）
R+r=d
d =R-r
d<R-r
d>R+r
11.（1）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距
是6cm，则这两圆的位置关系是 相交 。
（2）已知半径分别为2和3的两个圆有两个（一个、没有）
交点则圆心距d的取值范围是 1<d<5 .
12、如图，相交两圆的公
共弦AB的长为16cm，⊙O1
的半径为17cm，⊙O2的半
径为10cm，则两圆的圆心
距O1O2= 21 cm
A
O2
O1
B
小结
• 本节课通过复习你有何收获?
1、你熟悉地掌握了哪些与圆有关的概念？与
圆有关的定理？与圆有关的位置关系？
2、通过对圆的学习，你对数形结合的数学思
想有新的认识吗？
3、你会运用所学的知识解决生活中的数学问
题了吗？