Transcript 24.2.2 直线和圆的位置关系（2）

如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P
作⊙O的切线吗？
A
1.连接OP
即直线PA、PB为⊙O的切线
·
o
2.以OP为直径作⊙O′，
与⊙O交于A、B两点。
·
o′
B
切线长是
通过作图你能发现什么呢？
一条线段
1.过圆外一点作圆的切线可以作两条
2.点A和点B关于直线OP对称
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线
段的长，叫做这点到圆的切线长。
p
探究活动
A
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的
一条切线，沿着直线PO对折，设圆
上与点A重合的点为B。思考:
O
1、OB是⊙O的一条半径吗？
P
A
2、PB是⊙O的切线吗？
3、利用图形轴对称性解释
O
P
4、PA、PB有何关系？
B
5、∠APO和∠ BPO有何关系？
切 线 长
经过圆外一点作圆的切线，
这点和切点之间的线段的
长叫做切线长.
A
O
切线与切线长的区别与联系：
P
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
如何证明 PA=PB, ∠APO=∠ BPO ？
证明 ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
A
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又 OA=OB，OP=OP
∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP
∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
切线长定理
O
P
B
试用文字语言
叙述你所发现
的结论
从圆外一点可以引圆的两条切线，它
们的切线长相等，这一点和圆心的连线平
分两条切线的夹角。
例1 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
解：(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
E
△ACP≌△BCP.
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得
PA 2 + OA 2 = OP 2
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
所以，半径 OA 的长为 3 cm.
O
D
C
B
P
如图，P为⊙O 外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
OP交 ⊙O于C，若PA＝6，PC＝2
，求⊙O的半径OA
3
及两切线PA、PB的夹角。
A
解：连接OA、AC，则OA⊥AP
在Rt△AOP中，设OA＝x
·
O
则OP＝ x＋2 3
∴OA2＋PA2＝OP2
B
即 x2＋62＝（x＋2 3）2
解得x＝2 3 ，即OA＝OC＝2 3
∴OP＝4 3
在Rt△AOP中，OP＝2OA
∴∠APO＝30°
∵PA、PB是⊙O的切线
c
·P
∴∠APB＝2∠APO＝60°
∴⊙O的半径为2
线的夹角为60°
3，两切
例2 如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是
AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB
于点E，交AC与点D。求证：DE∥OC
C
证明：连接ＢＤ．
∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径
∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线
∵ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点
∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２
∴ＯＣ⊥ＢＤ
∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径
∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ
∴ＤＥ∥ＯＣ
A E
1 2
D
·
O
B
下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的
用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
A
A
l
B
C
B
·
C
假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相
切，这个圆的圆心到三角形的距离都等于半径，如何找到圆心？
A
B
C
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相
等，因此，如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设他们相交于
点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到BC
的距离ID为半径做圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.
A
N
M
I
r
B
D
C
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
三角形外接圆
三角形内切圆
C
C
．
o
．
o
A
A
B
B
外接圆圆心：三角形三边
垂直平分线的交点。
内切圆圆心：三角形三个
内角平分线的交点。
外接圆的半径：交点到三
角形任意一个定点的距离。
内切圆的半径：交点到三
角形任意一边的垂直距离。
例3 如图 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、
F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设
AF=x（cm），则
AE=x，
CD=CE=AC－AE=13－x，
BD=BF=AB－AF=9－x，
由BD+CD=BC可得
A
（13－x）+（9－x）=14.
解得 x=4cm.
F
因此 AF=4（cm），
BD=5 （cm），
CE=9 （cm）.
E
O
B
·
D
C
练 习
``
1.如图， △ABC中，∠ABC=50°∠ACB=75°，点O是内心，
求∠BOC的读数.
解 ：∠BOC=180°－ （∠ABC
+ ∠ACB）
1
2
A
=180°－ 1（50°+75°）
2
O
=117.5°
·
B
C
2.△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
解：
则
设: AB = a BC = a
1
S AOB  cr
S
2
S
ABC
S
AOB
AC = b
1
BOC 
ar S
2
S
BOC
S
1
 r (a  b  c)
2
1
 lr.
2
1
AOC 
br.
2
AOC
A
M
r
O
·
r
N
r
B
D
C
小结：
（1）切线长定理。
（2）连接圆心和切点是我
们解决切线长定理相关问题
时常用的辅助线。