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主讲: 浙江省宁波市惠贞书院
王盛裕
纵观近几年的各国各地中考试题，涉及动态
几何问题屡见不鲜，这类问题融几何、代数、三
角于一体，用到的知识点有相似三角形的性质、
勾股定理、圆中的有关定理、面积关系等，解题
过程中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方
程、转化思想等。
动态几何问题的一般解题方法是：对于定
点或定值问题。首先在特殊（极端）情形中求
出这个不变量，然后转化为常规的论证题进行
证明，对于探索数量关系的问题，要善于模仿，
类比和转化，甚至创新，特别考虑运动过程中
不同情形时,要应用分类讨论的思想方法。
下面分类举例加以说明，供同学们复习时参考。
一．探索点的位置
例1：如图1，A、B为两定点，
O为动点，在AB所在平面上
异于O的一侧取点A’和点B’，
使∠OAA’＝∠OBB’＝90°，
且BB’＝OB，AA’＝OA，设
A’B’的中点为O’，
（1）想一想，当O在平面上
移动时，A’B’的中点O’的位
置将怎样变化？
（2）试证明你的结论。
B'
O'
A'
A
B
O
图1
分析：试取动点O的几个特殊位置，可看出O’的位
置将不随O点的移动变动，即点O按条件移动时，点
O’的位置不变。
B'
A'
O'
B'
B'
O'
O'
A
O
A'
B
A
B
A'
A
B
O
O
B'
证明：如图2，过O、A’、O’、B’分别作AB
的垂线，垂足依次设为C、D、E、F，显
然，△AOA’≌△OCA，△BFB’≌△OBC。
从而AD＝OC＝BF，A’D＝AC，B’F＝BC
又梯形DFB’A’中，显然DE=EF，
∴AE＝AD＋DE＝BF＋EF＝EB
则O’E＝1/2（A’D＋B’F）＝1/2（AC+CB）
＝1/2AB
O'
A'
E
A
F
DC
O
图2
由此可见，无论点O移到何处，O’点必在AB的中垂线上异于O的一
侧，且距线段AB为1/2AB处，即△AO’B为一等腰直角三角形，这就是
说，A’B’的中点O’的位置始终保持不变。（当点O移动到AB上侧时，
则点O’的位置将移动到AB的下边，且两个位置关于AB对称。）
B
二．探索角的 大小
C
例2：已知，AB为⊙O的直径，P为AB延长
线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设
切点为C，
（1）当点P在AB延长线上的位置如图3所
示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC
于点D，请你测量出∠CDP度数。
（2）当点P在AB延长线上的位置如
图4和图5所示时，连结AC，请你分别
在这两个图中用尺规作∠APC的平分
线（不写作法，保留痕迹）。设此角
平分线交AC于D，然后在这两个图中
分别测量出∠CDP度数。
D
A
P
B
ͼ3
C
P
A
B
ͼ4
C
P
A
B
ͼ5
猜想：∠CDP度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请
对你的猜想加以证明。
分析与证明：测量得，三个图中的∠CDP的度数都为45°，于是猜想：∠CDP
的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化，下面进行证明：
如图6所示，连接BC， ∵ AB是直径
∴∠ACB＝90°，
又∵ PC是⊙O 的切线
∴∠1＝∠A，
而∠2＝∠3，∠4＝∠1＋∠2，
∠CDP＝∠A＋∠3
∴∠CDP＝∠4＝（180°－90°）÷2＝45°
C
D
1
4
2
A
3
O
ͼ6
评析：以动手为基础的手脑结合的研究形式是最基本的，也是最
重要的科学研究形式，上述题目完全模拟了这一科学形式，都以
动手作图，测度线段成角度的大小为猜想的依据，突出了几何实
验能力和数学结论的形成过程的考察，实践性强，是典型的数学
实验题，解答时，需认真作图测量，大胆猜想。
B
P
三．探索线段的长短
例3：如图7，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB
上，有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G，
（1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无
长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出
相应的长度；
（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并求出
自变量的取值范围；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。
P
E
G
O
F
H
A
分析与解：
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长
度保持不变的线段？一下子还看不出来，但它向我们暗示信
息：可以从观察不变量入手，经观察图形可知，半径OP是
长度保持不变的线段。综合已知条件：G是△POH的重心，
于是延长HG交OP于E，又因为△OPH是直角三角形，故
有：GH＝2/3HE＝2/3×1/2OP＝2，故线段GH是保持长度
不变的线段，且GH＝2。
（2）延长PG交OH于F，易知F是OH的中点，且GP＝
2/3PF，由勾股定理知：OH＝ OP2--PH2 = 36--X2，所
以，FH=1/2OH＝1/2 36  x 2 ，y＝GP＝2/3PF＝
2/3 PH 2  FH 2 , y  2 / 3 x 2  1 / 4(36  x 2 )
 1 / 3 36  3x 2 (0  x  6).
（3）△PGH是等腰三角形，要分三种情况加以分类讨论：
2
(Ⅰ) 当GP＝PH，即 1/ 3 36  3x ＝x，解得：x＝ 6 （负的舍去）
(Ⅱ) 当GP＝GH，即1/ 3 36  3x 2 ＝2，解得：x＝0（不合题意舍去）
(Ⅲ) 当PH＝GH，即x＝2，
符合题意
综上：当x＝2或x＝ 6时，△PGH是等腰三角形。
四．探索图形之间的位置关系
例4：如图8，一个以AB为直径的半
圆，过AB上任一点C作CD⊥AB交⊙O
于D，图形DCB的内切⊙P和CD，半圆
O和直径AB分别切于E、F、G，
（1）判别A、E、F之点的位置关系，
并证明你的结论；
（2）若半圆O的半径为2，C为动点，
AC＝x，内切⊙P的面积为S，求S关于
x的函数关系式。
（3）当x为何值时，S有最大值？最大
值是多少？
D
E
A
o
P
c G
F
B
分析与解：
（1）∵半⊙O与⊙P相切于F，
∴O、P、F三点共线，
连结OF、PE、FE、FA，
∵PE∥AB
∴∠EPF＝∠AOF
又△EPF和△AOF都是等腰三角形
故∠PFE＝∠OFA
从而，A、E、F三点共线。
D
F
E
P
A
o
c G
B
（2）连结AD、BD、BF、PG
由射影定理得：AD2＝AC·AB
易证△ACE∽△AFB
所以AC·AB
＝AE·AF
另由切割线定理知：AG2＝AE·AF
∴AD2＝AG2
即AD＝AG＝ 4 x  2 x
易证四边形CGPE是正方形，
∴PG＝CG＝AG－AC＝ 2 x  x
∴S＝πPG2＝π（ 2 x  x）2
（3）显然，⊙P的半径r≤1/4AB＝1，当r取
最大值1时，此时， 2 x  x＝1，
即x＝1时，S有最大值，最大值为π
D
F
E
P
A
o
c G
B
A
五．探索线段间的数量关系
D
B
例5：如图9，已知平行四边形ABCD
形外有一直线l ，过平行四边形
ABCD的四个顶点分别作直线l的垂
线，垂足分别是A1、B1、C1、D1，
（1）请你猜想四条垂线段A A1、
BB1、CC1、DD1有什么关系，并证
明你的结论。
（2）当直线l平行向上移动到使A、
B、D在l’的一侧，C在直线l’的另一
侧（如图10）
四条垂线段有什么关系，并证明你的
结论。
C
l
B1
C1
A1
D1
A
D
B
l'
C1
B1
A1
C
D1
分析与解：
（1）A A1、BB1、CC1、DD1有如下结论：
A A1＋CC1＝BB1＋DD1
连结AC、BD交于O，过O作OO1⊥l交l于O1
显然，A A1∥BB1∥CC1∥DD1∥OO1
∵ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝DO
∴A1O1＝C1O1，B1O1＝D1O1
∴OO1同时是梯形A A1 CC1和梯形BB1DD1的中位线
∴A A1＋CC1＝2OO1＝BB1＋DD1
A
D
O
B
C
l
B1
A1 O1
C1
D1
（2）A A1、BB1、CC1、DD1有如下
关系，A A1－CC1＝BB1＋DD1
如图10，分别延长A A1、BB1、CC1、
DD1交直线l于A2、B2、C2、D2，
∵l∥l’
∴A1 A2＝B1B2＝C1 C2＝D1D2
另外由（1）的结论有：A A2＋CC2＝
BB2＋DD2
即：A A1＋A1 A2＋C1 C2－CC1
＝BB1＋B1B2＋DD1＋ D1D2
故A A1－CC1＝BB1＋DD1
A
D
B
l'
C1
B1
A1
C
C
D1
l
B2
A2
C2
D2
拓展：请同学们思考下列问题：当l’继续向上平行移动
到B、C和A、D分别在l’的两侧，此时结论又将如何？
六．探索不同位置时的面积关系
例6：如图11，有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝
PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两
点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀
速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解
答下列问题：
（1）当t＝3秒时，求S的值；
（2）当t＝5秒时，求S的值；
（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。
5
D
A
P
M
l
R
C
Q
B
解：（1）如图12，设t秒后PQ交CD于M点，此时QC＝t秒×1
＝t厘米，
过点P作PE⊥l，垂足为E，在等腰△PQR中，
∵PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm
∴QE＝RE＝4cm，PE＝3cm
∵MC∥PE
∴MC∶PE＝QC∶QE
∴MC∶3＝t∶4
∴MC＝3/4t（cm）
∴S＝S△MQC＝1/2QC×MC＝3/8t2
当t＝3秒时，S＝27/8cm2
A
D
5
P
M
l
R
E
C
Q
B
（2）如图13，当t＝5秒时，Q点正好运动了QC＝BC＝
5cm，Q点与B点重合，设PR交CD于N，则CR＝QR－
QC＝8－5＝3（cm）
∵PE∥NC
∴NC∶PE＝CR∶ER
∴NC＝9/4（cm）
∴S＝S△PQR－S△NCR＝ ×3×8－ ×3×9/4 ＝
1
1
69
（cm2）
2
2
8
D
5
A
P
N
R
C
ͼ13
BQ
（3）如图14，当5≤t≤8时，QC＝t cm，
QB＝QC－BC＝（t－5）cm
RC＝QR－QC＝（8－t）cm
可求得：S△MQB＝3/8（t－5）2
S△CNR＝3/8（8－t）2
∴S＝S△PQR－S△MQB－S△NCR
＝1/2×3×8－3/8（t－5）2－3/8（8－t）2
＝-3/4t2+39/4t-171/8∴当t＝13/2时，S最大，且S的最大值为
165/16cm2
A
D
P
L
K
M
N
R
B
C
Q
ͼ14
评析：本题在求解过程中用到了多种数学思想方法，一般与特殊的转
化、常量与变量的转化、动态与静态的转化、数与形的转化、整体与
局部的转化、几何 问题转化为代数中的函数问题等等。
下面练习供同学们练习：
1．如图15，在⊙0中，P是直径AB上一个动点，
在AB同侧作AA’⊥AB，BB’ ⊥AB，且AA’＝AP，
BB’＝BP，连结A’B’，当点P从点A移动到点B
时，A’B’的中点位置（
）
（A）在平分AB的某直线上移动
（B）在垂直AB的某直线上移动
（C）在AmB上移动
（D）保持固定不移动
B'
A'
A
P
O
ͼ15
B
2．如图16，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是两
圆的外公切线，B、C是切点，那么不论两圆的
大小如何，对于∠BAC总有等量∠BAC＝
90°，现在⊙O1不动，使⊙O2向左或向右移
动，
B
C
O1
O2
ͼ16
（1）若使⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2
的外公切线，B、C为切点，连心线O1O2分别
交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交
于P（如图17），试判断是否存在相应的等量
关系，说出你的结论，并给予证明。
B
C
M
N
O1
O2
P
ͼ17
B
（2）如图18，使⊙O1与⊙O2相交，其它条件
同（1），是否仍存在相应的等量关系呢？请
说出你的结论，并给予证明。
C
N
O1
M
O2
ͼ18
3．如图19，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、
Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线
运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延
长线运动，PQ现直线A以C相交于点D，
（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为8，求出S
关于x的函数关系；
（2）当AP的长为何值时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段
DE的长度是否改变？证明你的结论。
F
4．如图20，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A
是⊙O上是点，直线AE、AP分别交⊙O于B、
D，直线DE交⊙O于C，连结BC，
（1）求证：PE∥BC；
P
D
C
O
A
E
B
ͼ20
P
（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆
内，并在⊙O上另选一点A，如图21，其它
条件不变，在图21中画出完整的图形，此时
PE与BC是否仍然平行？证明你的结论。
O
A
E
ͼ21
5．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离
分别为h1、h2、h3，
△ABC的高为h，
（1）若点P在△ABC内部时（如图22），请你猜想h1、h2、h3与h的数
量关系，并证明你的结论。
（2）当点P运动到如图23的区域时，其他条件同（1），此时h1、h2、
h3与h的关系如何？（不必证明）
（3）当点P运动到如图24的区域时，此时h1、h2、h3与h的关系如何？
（不必证明）
A
F
h
D h
1 p
h
E
D
h3
F
h2
B
A
A
B
M
ͼ22
C
E
h2
D
M
h1
h3
C
B
h
h1
M
E
C
h2
p
F h3
p
ͼ23
ͼ24
6．如图25所示，菱形OABC的连长为4cm，∠AOC＝60°，动点P从O
出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q
从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿
O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点的运
动时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的
周长为y厘米，请你回答下列问题，
（1）当x＝3时，y的值是多少？
（2）就下列各种情形，求y与x之间的函数关系式：
①0≤x≤2
②2≤x≤4
③4≤x≤6
④6≤x≤8
（3）在给出的直角坐标系中，用图像表示②中的各种情形下y与x的关
系。
B
C
C
B
C
B
C
B
P
D
D
P
A
P
D
Q
P
A
Q
ͼ25
A
D
Q
A