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电磁感应中终态问题归类例析
彭俊昌
电磁感应是高考的重点，同时也是难点。在
处理电磁感应问题时，往往需要分析清楚能量的
转化方式及方向，然后利用牛顿运动定律、动量
定理、动量守恒定律、功能关系或能量守恒定律
求解。
解题过程中理清物体运动过程的初末状态
显得尤为重要，大多数情况下物体的初状态一
般都是已知，关键就是分析清楚物体运动的最
终状态。而电磁感应中的终态问题大多是以滑
轨的模型出现。根据电路中接入元件的不同，
可分为电阻型、电容型、电源型和双棒型。下
面分而述之。
一.电阻型
1.无动力电阻型
如图1所示，水平放置的光滑平行金属导轨,间
距为l，左侧接有一电阻R，右侧接有一质量为M的
导体棒，整个装置位于磁感应强度为B的匀强磁场
中，现给棒一水平速度v0，问导体棒的最终状态如
何？该过程电阻R上产生的热量多大?流过电阻R的
电量是多少？导体棒所发生的位移多大?
a
R
    
v0
    
    
b
图1
解析:导体棒在安培力的作用下作加速度逐渐减
小的变减速运动，最终状态为静止 .
这个过程中回路中产生的焦耳热等于导体棒克
服安培力所做的功，即
1 2
Q  WB  mv0
2
通过回路导线横截面的电量为q，由动量定理
得
BIl  t  mv
0
所以：
mv0
q
Bl
导体棒ab滑行的总位移为s，由
mv0  Bls
q


Bl
R
R
可得：
mv0 R
s 2 2
Bl
2.有动力电阻型
如图2所示，导体棒ab受到恒定的外力作用
从静止开始运动，则导体棒的最终运动状态又
如何？
a
R






  
F
  
  
b
图2
解析：导体棒在外力与安培力下做加速度减小
的加速运动，最终匀速。最大速度为vm，则
有：
由平衡条件得
BIl=F
Blv m
由闭合电路欧姆定律得 I 
R
FR
可解得 vm 
2 2
Bl
二.电容型
1.无动力电容型
如图3所示，若电容器开始不带电，现给导
体棒一个初速度v0，题中电容器电容为C，棒的
电阻为R质量为M，磁感应强度为B，导轨间距
为L。试求：(1)导体棒的最终速度
(2)稳定时电容器所带的电量
R a



v0


C     



b
图3


解析：由于安培力的作用，ab棒的速度越来越小，
产生的感应电动势越来越低，而电容器由于充
电，其两端电压越来越高，当ab两端电压等于
电容器C两端电压时，回路中的 电流为０时，
导体最终将做匀速运动。则有
q
Blv 
C
对ab棒由动量定理得:
BIl  t  mv0  mv
可以求得此时ab棒的速度：
mv0
v 2 2
B l Cm
电容器的带电量(通过导体横截面的电量)为 :
BClmv0
q  Blv  C  2 2
B l Cm
２.有动力电容型
如图4所示，导体棒ab在恒定外力F作用下
从静止开始运动，设在 极短时间Δt内，导体棒
ab的加速度为a ，其速度增量为Δv，则:
Δv=aΔt
电容器电压的增量:
ΔU=BlΔv=BlaΔt
所以电路中的电流 :
q CU
I

 BCla
t
t
对ab棒由牛顿第二定律得 : F－BIl=ma
可得:
F
a 2 2
B l Cm
由此可见，导体棒ab的加速度与时间无关，
即导体棒ab在恒力F的作用下作匀加速运动。
三.电源型
1 .无动力电源型
如图5所示，给导体棒ab向右的初速度v0，由
右手定则可知，ab中产生的感应电流的方向为
b→a，与电源E提供的电流方向相同，由左手定
则知ab棒所受的安培力的方向向左，所以ab棒向
右作减速运动，至速度减为零后再向右做加速运
动，此时ab中感应电流的方向与原来相反，随着
速度的增大，回路中电流减小，直到电流为零时，
ab速度将保持不变，此时，E=Blv。此过程中通
过ab导体棒横截面的电量为q，由动量定理得:
•
所以:
BIl  t  mv  (mv0 )
mv0  mv
q
Bl
同学们请思考：如
果电源的方向相反，
则导体棒ab 的运
动情况又将如何？
a




 
v0
 
E 




b
图5


如图6所示，导体棒ab从静止开始受到恒力F
的作用开始向右加速运动，产生的感应电流方向
为b→a，由左手定则知ab棒所受的安培力方向向
左，当安培力等于恒力F时，导体棒作匀速运动，
此时有:
F=BIl
由闭合电路欧姆定律知:
E  Blv
I
rR
a




 
F
 
E 




b
图6


(R为导体棒的电阻，r为电源内阻)，可以解
得最终导体棒ab匀速时的速度:
F (R  r) E
v

2 2
Bl
Bl
a
若电源反接呢？请
同学们思考棒的运
动情况又如何？




 
F
 
E 




b
图6


四.双棒型
1.宽度相同无动力双棒型
如图7所示，导体棒ab、cd的质量分别为m1、
m2，电阻分别为r1、r2，均静止在水平光滑轨道上
(导轨足够长)，现给ab棒一个垂直棒的水平初速度
v0 。试求：(1)ab棒的最大速度;(2)整个过程产生的
电热;(3)通过导体横截面的电量;(4)导轨间增加的
a
c
距离。












b
d
图7

v0


参考答案
m1
(1)vab 
v0
m1  m2
2
m
m
v
1
1
1 2 0
(2)Q  m1v02  (m1  m2 )v 2 
2
2
2(m1  m2 )
m1m2v0
(3)q  I t 
Bl (m1  m2 )
m1m2 v0 (r1  r2 )
(4)s  2 2
B l (m1  m2 )
2.宽度相同有动力双棒型
如图8所示，导体棒ab在水平恒力F的作用下
从静止开始运动，由于安培力的作用，cd棒也从
静止开始做加速运动，问两棒的最终状态如何？

c


a









d
b
图8

F


解析：由于感应电流的存在，cd棒也从静止开始做
加速运动，最终达到稳定状态时，两棒所受的合
力恒定，电流强度也恒定 则有：
Blv1  Blv 2
Bl
I

(v1  v2 )
r1  r2
r1  r2
所以有:
I
Bl
v1 v2
Bl

(

)
(a1  a2 )
t
r1  r2 t
t
r1  r2
I
因为l为定值 ，所以有：  0
t
a1=a2，所以ab、cd棒最终做加速度相同的匀
加速运动，加速度:
F
a1  a2 
m1  m2
速度之差Δv=v1－v2保持不变
3 .宽度不同无动力双棒型
如图9所示，轨道宽部的宽度为l1，窄部的宽
度为l2，导体棒质量分别为m1、m2，电阻分别为
r1、r2，现给cd棒一个初速度v0，由于cd棒切割磁
感线产生感应电流，使ab棒向右做加速度越来越
小的变加速运 动，求稳定两棒的速度各是多大？
a
c


 v0





d
b
图9
解析：ab棒向右做加速度越来越小的变加速运动，
cd棒做加速度越来越小的变减速运动, 最终稳
定时两棒的加速度均为0，设ab、cd速度分别
为v1、v2则有：
Bl1v1=Bl2v2
由于ab、cd两棒所受的安培力大小不等，系统
合外力不为零，故系统动量不守恒，不能用动
量守恒列方程，但可以对两棒分别用动量定理
列方程对ab有：
对cd棒由动量定理 得： BIl1  t
 m1v1
 BIl2  t  m2v2  m2v0
由以上二式可得：
m2l1l2v0
v1 
2
2
m1l2  m2l1
2
21 0
ml v
v2 
2
2
m1l2  m2l1
注意：由能量守恒和动量定理同样可以求出
整个回路中产生的电能和通过导体横截面的
电量
4 .宽度不同有动力双棒型
如图10所示，cd棒在水平恒力F作用下由静止
开始运动，由于切割磁感线产生感应电流，两棒
都稳定时，电路中的电流恒定，由闭合电 路欧姆
定律可得：
a
c
Bl 2v2  Bl1v1


 F

I
r1  r2




d
电流的变化率：
b
图10
I
B  v2
v1 
B
l2a2  l1a1 

 l1
 l2

t r1  r2  t
t  r1  r2
因为I恒定所以有：
I
0
t
可得： L2a2=l1a1
对ab棒由牛顿第二定律得：BIl1=m1a1
对cd棒由牛顿第二定律得 ：F－BIl2=m2a2
l1l2 F
可解得 ： a1  2
l2 m1  l12 m2
l12 F
a2  2
l2 m1  l12 m2
即最终ab、cd棒以恒定的加速度a1、a2做匀
加速运动。
例1.如图11所示，在水平面上的两条平行导电导轨MN、
PQ，导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在平面(纸面)
向里，磁感应强度大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，
与导轨垂直，它们的质量和电阻分别是m1、m2和R1、R2，
两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ。已知
杆1被外力拖动，以恒定速度v0沿导轨运动；达到稳定状
态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可以忽
略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。
M
1
2








P
v0

N

Q
图11
解析: 设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时 ，产
生感应电动势为: E=Bl(v0－v)
感应电流:
E
I
R1  R2
杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到
的摩擦力: BIl=μm2g
导体杆2克服摩擦力做功的功率 : P=μm2gv
 2 m2 g R1  R2 

解得: P   2 m2 g v0 
2 2

B
L


例2.如图13所示，光滑的平行长直光滑导轨
置于水平面内，间距为L，导轨左端接有阻值为
R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。
导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导
轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静
止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右
移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向
左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，
此时导体棒仍处于磁场区域内。求:
(1)求导体棒所能达到的恒定速度v2.
(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超
过多少
(3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻
力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？

R


m

图13




B

v1
解析 (1)导体棒运动时，切割磁感线，产生感应
电动势 :
E＝BL(v1－v2)
根据闭合电路欧姆定律有：I＝E/R
B L (v1  v2 )
导体棒受到的安培力：F  BIL 
R
B 2 L2 (v1  v2 )
速度恒定时有:
 f
R
fR
可得: v 2  v1  B 2 L2
2 2
，
(2)假设导体棒不随磁场运动，产生的感应电
动势为 : E  BLv
1
此时阻力与安培力平衡，所以有:
2
2
B L v1
BLv
f m  BIL  B
L
R
R
E
B L (v1  v2 )
f R


 2 2
R
R
B L
2
（3）P电路
P导体棒
2 2
2
2
fR
 F  v2  f (v1  2 2 )
B L