Transcript 作业讲解 - 应用数学家园

工程数学线性代数第18讲
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1
108页3. 已知向量组
 4
 0
 2
 2
 3
0
 4
 2 
1
 3
0
1
A : a1    , a2    , a3    ; B : b1    , b2    , b3    .
1
1
1
0
1
 2
 3
 1
 2
1
 2
 3
 
 
 
 
 
 
证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B
组线性表示.
证 设A组和B组对应的矩阵是A,B, 因此是要
证明R(A)=R(A,B)及R(B)<R(B,A)=R(A,B), 因
此对分块矩阵(A,B)做初等行变换变成行阶
梯形.
2
0
 3
 2
 2
 0
 4
1
0
 3
1
 2 
 4
A : a1    , a2    , a3    ; B : b1    , b2    , b3    .
 2
1
0
1
1
1
 3
 2
1
 2
 1
 3
 
 
 
 
 
 
0
1
( A, B )  
2
3

1
0
~
0
0

0
1
0
0
3
0
1
2
2
3
0
1
2 0
1 2
1 1
2 1
4
4

1
3 
0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 
0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 

1 1 / 4 3 / 4 5 / 4 
0 0
0
0 
3
1
0
( A, B ) ~ 
0
0

0
1
0
0
0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 
0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 

1 1 / 4 3 / 4 5 / 4 

0 0
0
0 
可以看出R(A)=R(A,B)=3, 所以B可被A线
性表示, 而R(B)=2<R(A), 所以A不能由B
线性表示. 当然,如果上面的矩阵还看不
清楚B的秩, 则可以对(B,A)做初等变换:
1
0
3
 1 2 4
 0 1 1 1 / 2 3 / 4 1

( B, A) ~ 
1
1 / 2 0 
0 0 0
0 0 0

0
0
0

4
108页4. 已知向量组
0
1
 1
1
 3










A : a1  1 , a2  1 ; B : b1  0 , b2  2 , b3  2 ,
 
 
 
 
 
1
 0
1
1
1
 
 
 
 
 
证明A组与B组等价。
证：假设A组与B组对应的矩阵是A,B, 因此
就是要证明R(A)=R(B)=R(B,A), 因为A组的
两个向量不成比例就说明了其秩为2, 因此
主要证明R(B,A)=R(B)=2, 所以把B放在左
边, 对(B,A)作初等行变换变成阶梯形矩阵.
5
0
1
 1
1
 3










A : a1  1 , a2  1 ; B : b1  0 , b2  2 , b3  2 ,
 
 
 
 
 
1
 0
1
1
1
 
 
 
 
 
 1 1 3 0 1   1 1 3 0 1 




( B, A)  0 2 2 1 1 ~ 0 2 2 1 1

 

 1 1 1 1 0   0 0 0 0 0 

 

由此看出R(B)=R(B,A)=R(A)=2, 因此A组
与B组等价.
6
5. 已知R(a1,a2,a3)=2, R(a2,a3,a4)=3, 证明
(1) a1能由a2,a3线性表示;
(2) a4不能由a1,a2,a3线性表示.
证 令A=(a2,a3), B=(a1,a2,a3), 则因为
R(a2,a3,a4)=3, 所以a2,a3,a4线性无关, 则
a2,a3也线性无关, R(a2,a3)=R(A)=2,
(1) R(A)=2=R(a1,a2,a3)=R(A,a1), 因此a1能
由a2,a3线性表示.
(2) R(B)=2<R(B,a4)=R(a1,a2,a3,a4)3, 因此
a4不能由a1,a2,a3线性表示.
7
109页8. 设a1,a2线性无关, a1+b,a2+b线性
相关, 求向量b用a1,a2线性表示的表示式.
令A=(a1+b,a2+b), 则由题意知方程组
Ax=0有非零解, 假设非零解为x=(x1,x2)T
(x1,x2不全为零), 即x1(a1+b)+x2(a2+b)=0,
x1a1+x2a2+(x1+x2)b=0,
(x1+x2)b=-x1a1-x2a2, 因为a1,a2线性无关,
所以x1+x2必不为0, 因此有
x1
x2
b
a1 
a2
x1  x2
x1  x2
8
x1
x2
b
a1 
a2
x1  x2
x1  x2
本来这个式子已经能得满分. 但是也可以
进一步令
x1
c
x1  x2
b  ca1  (1  c)a2
则
当然这里的c是不能乱取一个数的.
9
109页9. 设a1,a2线性相关, b1,b2也线性相
关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关?试
举例说明.
解 不一定, 例如
1
0
0
0
a1    , a2    , b1    , b2    ,
0
0
0
1
1
0
a1  b1    , a2  b2   
0
1
10
10. 举例说明下列各命题是错误的:
(1) 若向量组a1,a2,…,am是线性相关的, 则
a1可由a2,…,am线性表示.
反例: 令m=2,
1
0
a1    , a2   
0
0
a1不可由0向量线性表示, 即不存在数k
使得a1=ka2.
11
(2) 若有不全为0的数l1,l2,…,lm, 使
l1a1+…+lmam+l1b1+…+lmbm=0
成立, 则a1,…,am线性相关, b1,…,bm亦线
性相关.
反例: m=1, l1=1,
1
 1
a1    , b1   
0
0
0
l1a1  l1b1   
0
12
(3) 若只有当l1,…,lm全为0时, 等式
l1a1+…+lmam+l1b1+…+lmbm=0
才能成立, 则a1,…,am线性无关, b1,…,bm
亦线性无关.
反例: m=2,
1
0
0
 0
a1    , a2    , b1    , b2    ,
0
0
0
1
l1a1  l2a2  l1b1  l2b2  l1 (a1  b1 )  l2 (a2  b2 )
1
0
 l1    l2  
0
1
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(4)若a1,…,am线性相关, b1,…,bm亦线性相
关, 则有不全为0的数l1,…,lm, 使
l1a1+…+lmam=0, l1b1+…+lmbm=0
同时成立.
反例: 如果上两式同时成立, 则两式相加
得 l1(a1+b1)+…+lm(am+bm)=0,
则用(3)的例就知道不存在这样的一组不
全为0的数. m=2
1
0
0
 0
a1    , a2    , b1    , b2    ,
0
0
0
1
14
109页, 11. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4,
b4=a4+a1, 证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.
证 令A=(a1,a2,a3,a4), B=(b1,b2,b3,b4), 则
B=AC, 因此R(B)R(C)<4, 所以B的
列向量组线性相关. 其中只要证R(C)<4.
1
1
C 
0
0

0
1
1
0
0
0
1
1
1

0

0

1
15
109页,12. 设b1=a1, b2=a1+a2, …,
br=a1+a2+…+ar, 且向量组a1,a2,…,ar线性
无关, 证明向量组b1,b2,…,br线性无关.
证 令A=(a1,a2,…,ar)由题意R(A)=r, 令
B=(b1,b2,…,br)=AC, 因为C为可逆, 因此
R(B)=R(A)=r, 因此B的列向量组线性无关
.
1
1 1
0 1

1
 ,| C | 1  0
C 


 0 0 0 1


16
1
1
C 
0
0

0
1
1
0
1
0
~
0
0

0
1
0
0
0
0
1
1
1 1


0
0
~
0 0


1 0
0 1  1


0 1
0
~
1 1  0


1 1  0
可见C的秩为3<4.
0
1
1
0
0 1

0 1

1 0

1 1
0 0 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0
17
109页 16. 设a1,a2,…,an是一组n维向量, 已
知n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由它们线
性表示, 证明a1,a2,…,an线性无关.
证 令A=(a1,a2,…,an), n维单位坐标向量按
列拼成单位矩阵E, 则R(E)=n, 由题意还
有R(A)=R(A,E), 而R(A,E)不大于E的行数
n, 也不可能小于R(E), 因此有
R(A)=R(A,E)=n, 所以a1,a2,…,an线性无关.
18
110页 17. 设a1,a2,…,an是一组n维向量, 证
明它们线性无关的充分必要条件是: 任一
n维向量都可由它们线性表示.
证 充分性. 因为任一n维向量都可由它们
线性表示, 则单位坐标向量也可由它们线
性表示, 由16题可知a1,a2,…,an线性无关.
必要性. 如果a1,a2,…,an线性无关, 则令
A=(a1,a2,…,an), 则对于任一n维向量b, 方
程组Ax=b中R(A)=R(A,b)=n, 方程组有惟
一解, 因此b可由a1,a2,…,an线性表示.
19
110页 18. 设向量组a1,a2,…,am线性相关,
且a10, 证明存在某个向量ak(2km), 使
ak能由a1,a2,…,ak-1线性表示.
证 令A=(a1,a2,…,am), 由题意存在非零向
量x=(x1,x2,…,xm)T满足Ax=0, x中必存在下
标最大的不为0的值xk, 而且k1, 因为, 如
果k=1, 必有x1a1=0, x10将导致a1=0与题
意矛盾. 因此必有
x1a1+…+xk-1ak-1+xkak=0, 由于xk0, 所以整
理此式可知结论.
20
110页 19. 设向量组B:b1,…,br能由向量组
A:a1,…,as线性表示为
(b1,…,br)=(a1,…,as)K
其中K为sr矩阵, 且A线性无关, 证明B组
线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩
R(K)=r.
证 令A=(a1,…,as),B=(b1,…,br), B=AK,
必要性. 设B组线性无关, 则R(B)=r R(K),
但是K只有r行因此R(K)r, 因此R(K)=r.
充分性. 已知R(K)=r, 考查方程组Bx=0,
21
即AKx=0, 因为A的列向量组线性无关导
致Ay=0只有零解, 因此上式要成立必须
Kx=0, 但是因为R(K)=r, 所以Kx=0必须要
x=0, 即方程组Bx=0只有0解, 因此B的各
个列向量组线性无关.
22
110页 20. 设
 β1  α2  α3   αn ,
β  α
 α3   αn ,
 2
1


 βn  α1  α2   αn1 ,
证明向量组a1,a2,…,an与向量组
b1,b2,…,bn等价.
证 令A=(a1,a2,…,an), B=(b1,b2,…,bn), 则
B=AK, 其中
23
0 1
1 0
K 

1 1

1  1 1


1
1 0
~
 


0  1 1
1 1 1


1
0 1
~
 


0 0 0
1

1



1
因此R(K)=n, K可逆, 则由B=AK可推导出
A=BK-1, A和B的列向量组可相互线性表
示, 或等价.
24
110页 21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满
足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x,Ax,A2x线性
无关.(1) 记P=(x,Ax,A2x), 求3阶矩阵B, 使
AP=PB; (2) 求|A|
解 令a1=x, a2=Ax, a3=A2x, 则P=(a1,a2,a3),
AP=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)
=(Ax,A2x,3Ax-A2x)=(a2,a3,3a2-a3)
0 0 0 


 (a1 , a2 , a3 ) 1 0 3  PB


 0 1 1


25
其中(1)
0 0 0 


B 1 0 3


 0 1 1


(2) 因为B与A是相似变换的关系, 因此
|A|=|B|=0.
26
110页 26. 设n阶矩阵A满足A2=A, E为n阶
单位阵, 证明
R(A)+R(A-E)=n
证 利用两个定理, 一是如果AB=O, 则
R(A)+R(B)n, 二是R(A+B)R(A)+R(B).
由A2=A, A2-A=O, A(A-E)=O, 因此
R(A)+R(A-E)n (*)
此外还有
R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)
R[A+(E-A)]=R(E)=n (**)
综合(*)和(**)得证
27
110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的
伴随阵, 证明
n, 当R ( A)  n,

*
R ( A )  1, 当R( A)  n  1,
0, 当R ( A)  n  2

证 根据公式AA*=|A|E, 当R(A)=n, A可逆,
因此A*=|A|A-1也可逆, R(A*)=n;
当R(A)=n-1, A中存在n-1阶行列式不为0,
因此A*不是零矩阵, R(A*)0, 这时因|A|=0,
因此AA*=O, (接后)
28
110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的
伴随阵, 证明
n, 当R ( A)  n,

*
R ( A )  1, 当R( A)  n  1,
0, 当R ( A)  n  2

证 根据公式AA*=|A|E,
当R(A)=n-1, A中存在n-1阶行列式不为0,
因此A*不是零矩阵, R(A*)1, 这时因|A|=0,
因此AA*=O, R(A)+R(A*)=n-1+R(A*)n,
R(A*)1, 因此R(A*)=1.
29
110页 27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的
伴随阵, 证明
n, 当R ( A)  n,

*
R ( A )  1, 当R( A)  n  1,
0, 当R ( A)  n  2

证 根据公式AA*=|A|E,
当R(A)n-2, A中所有n-1阶行列式都为0,
因此所有代数余子式也都是0, 则必有
A*=O, 因此R(A*)=0.
30
111页 29. 设四元非齐次线性方程组的系
数矩阵的秩为3, 已知h1,h2,h3是它的三个
解向量,
 2
1
 3
 2
η1    , η2  η3   
 4
 3
5
 4
 
 
求该方程组的通解.
解 由题意n=4, r=3, 因此导出组的基础解
系的向量个数为n-r=1, 而h2-h1和h3-h1都
是导出组的解, 因此h2+h3-2h1也是,
31
111页 29. 设四元非齐次线性方程组的系数
矩阵的秩为3, 已知h1,h2,h3是它的三个解向
 2
1
量,
 3
 2
η1    , η2  η3   
 4
 3
5
 4
 
 
因此通解是
 2  3
 3  4
η1  c[2η1  (η2  η3 )]     c  
 4  5
5 6
   
c为任意数.
注意h2+h3-2h1恰好是非零向量, 才有此结论.
32
111页 31. 设  a 
 b1 
 c1 
1






a  a2 , b  b2 , c  c2 ,
 
 
 
a 
b 
c 
 3
 3
 3
证明三直线
l1 : a1 x  b1 y  c1  0,

2
2
l2 : a2 x  b2 y  c2  0, (ai  bi  0, i  1, 2,3)
l : a x  b y  c  0,
3
3
3 3
相交于一点的充分必要条件为: 向量组a,b
线性无关, 且向量组a,b,c线性相关.
33
注: 题中讲的是二维平面中的直线. 对于
只有一个方程ax+by=-c构成的非齐次线
性方程组, 变元个数n=2, 系数矩阵
A=(a,b), R(A)或者是1或者是0. 当
r=R(A)=0时, 即a=b=0时, 方程或者无解(c0)或者有解(c=0)但基础解系的个数为
n-r=2, 包含两个线性无关的二维向量, 而
二维空间中两个线性无关的向量的线性
组合的全体包含了整个二维空间中的所
有向量, 即方程组0x+0y=0没有任何约束
所以不构成直线.
34
因此方程ax+by=-c如果要代表一条直线,
则a和b必须不全为零, 用公式表示就是条
件a2+b20.
因此, "三条直线相交于一点", 那就不是
相交于两点或者三点, 也不是相互平行或
者重合, 对应于三条直线的方程合并成一
个方程组, 有惟一解. 而方程组Ax=b有惟
一解的充分必要条件, 是R(A)=R(A,b)=n,
在二维平面的情况下, n=2.
35
 a1 
 b1 
 c1 
a   a2  , b   b2  , c   c2  ,
 
 
 
a 
b 
c 
 3
 3
 3
l1 : a1 x  b1 y  c1  0,

2
2
l
:
a
x

b
y

c

0,
(
a

b
2 2
2
2
i
i  0, i  1, 2,3)
l : a x  b y  c  0,
3
3
3 3
解 三条直线的方程合在一起就是非齐次
线性方程组xa+yb=-c, 系数矩阵A=(a,b), 增
广矩阵为(a,b,-c), 三条直线交于一点, 就是
此方程组有唯一解, 其充要条件就是
R(a,b)=R(a,b,-c)=2. 而R(a,b)=2说明向量组
a,b线性无关, R(a,b,-c)=2说明向量组a,b,c线
性相关.
36
111页 32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其中
a2,a3,a4线性无关, a1=2a2-a3. 向量
b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解.
解 由b=a1+a2+a3+a4, 知方程Ax=b, 即方
程x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b有一个特解
(1,1,1,1)T, 还需要有导出组Ax=0的基础解
系. 由题意知a2,a3,a4是A的列向量组的最
大无关组, 因此R(A)=r=3, 变量个数n=4,
基础解系的个数n-r=4-3=1. 而由a1=2a2-a3
得a1-2a2+a3=0, 知(1,-2,1,0)T是Ax=0的一
个非零解, 即是要求的基础解系.
37
111页 32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其中
a2,a3,a4线性无关, a1=2a2-a3. 向量
b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解.
方程Ax=b的通解是
 1  1 
1  2 
x     c 
 1  1 
 1  0 
   
c为任意数
38
111页 33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b
的一个解, x1,…,xn-r是对应的齐次线性方
程组的一个基础解系. 证明
(1) h*,x1,…,xn-r线性无关;
(2) h*, h*+x1,…, h*+xn-r线性无关.
证 (1) 如果h*,x1,…,xn-r线性相关, 则h*可
由x1,…,xn-r线性表示, 必然是Ax=0的解,
即Ah* =0b, 这与h*是Ax=b的解矛盾.
39
111页 33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b
的一个解, x1,…,xn-r是对应的齐次线性方
程组的一个基础解系. 证明
(1) h*,x1,…,xn-r线性无关;
(2) h*,h*+x1,…, h*+xn-r线性无关.
证 (2) 令B=(h*,x1,…,xn-r), 由(1)可知
R(B)=n-r+1, 将B的第一列分别加到其它
各列得矩阵C=(h*,h*+x1,…, h*+xn-r), 初
等变换不改变矩阵的秩, 因此R(C)=R(B),
所以C的各个列仍然线性无关.
40
111页 34. 设h1,…,hs是非齐次线性方程组
Ax=b的s个解, k1,…,ks为实数, 满足
k1+k2+…+ks=1, 证明
x=k1h1+k2h2+…+kshs
也是它的解.
证 将上式的x的表示式代入方程左边得
A(k1h1+k2h2+…+kshs)=
=k1Ah1+k2Ah2+…+ksAhs=
=k1b+k2b+…+ksb=(k1+…+ks)b=b,
这就证明了x确实是方程组的解.
41
111页 35. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数
矩阵的秩为r, h1,…,hn-r+1是它的n-r+1个线
性无关的解(由题33知它确有n-r+1个线性无
关的解). 试证它的任一解可表示为
x=k1h1+…+kn-r+1hn-r+1
(其中k1+…+kn-r+1=1).
证 令B=(h1,h2,…,hn-r+1), 则B的列向量组线
性无关, 将B的第1列乘-1后加到其余各列,
得C=(h1,h2-h1,…,hn-r+1-h1), 则C的各个列也
线性无关, 且后n-r列构成Ax=0的基础解系,
B和C的列向量组等价, 且Ax=b的任一解可
42
可由C的列向量组线性表示, 也就一定可
被B的列向量组线性表示, 即对于Ax=b的
任一解x, 存在数k1,k2,…,kn-r+1使得
x=k1h1+…+kn-r+1hn-r+1
将x代入方程当然会有
Ax=A(k1h1+…+kn-r+1hn-r+1)=
=k1Ah1+…+kn-r+1Ahn-r+1=
=k1b+…+kn-r+1b=
=(k1+…+kn-r+1)b=b,
因此 (k1+…+kn-r+1-1)b=0, 因为b0, 必有
k1+…+kn-r+1-1=0, 即k1+…+kn-r+1=1
43
138页 7. 设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)<n,
证明A与B有公共的特征值, 有公共的特
征向量.
证 任何n阶矩阵如果秩小于n都是有0特
征值的, 因为A,B的秩之和都小于n, 因此
它们有公共的特征值0, 为了说明它们对
于0特征值有公共的特征向量x, 则Ax=0
和Bx=0, 因此有
 A
 A
 B  x  0, R  B   R( A)  R( B )  n
 
 
左端的方程组必有非零解x作为它们零特
44
征值公共的特征向量
138页 8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值
只能取1或2.
证 设A的特征值为l, 对应的特征向量为
x, 即Ax=lx, 在上面的多项式方程两端用
x右乘, 得(A2-3A+2E)x=0, 即
A2x-3Ax+2x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0,
因特征向量不能是零向量, 因此必有
l2-3l+2=0
则
3  9  8 2,
l1,2 

2
1,
45
138页 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明-1
是A的特征值.
证: |A+E|=|A+AAT|=-|E+AT|=-|A+E|, 上面
用到了行列式转置不改变值的性质. 因此
只有|A+E|=0, 即-1是A的特征值.
46
138页 10. 设l0是m阶矩阵AmnBnm的特
征值, 证明l也是n阶矩阵BA的特征值.
证 设x是AB的对应于l的特征向量, 即
ABx=lx, 用B左乘等式两边, 得
BABx=lBx
即 BA(Bx)=l(Bx)
由上式知Bx是BA的对应于特征值l的特
征向量.
47
138页 11. 已知3阶矩阵A的特征值为
1,2,3, 求|A3-5A2+7A|
解 将A的三个特征值代入到多项式
j(x)=x3-5x2+7x中, 算得j(1)=3, j(2)=2,
j(3)=3, 因此所求行列式的值为18.
48
2 0 1
138页 14. 设矩阵


A 3 1 x


4 0 5


可相似对角化, 求x.
解 从A的第2列知A有一特征值为l1=1,
剩下两个特征值设为l2,l3,
tr(A)=8=l2+l3+1, 即l2=7-l3,
|A|=6=(7-l3)l3,得l32-7l3+6=0,
7  49  24
l2,3 
 1,6
2
49
2 0 1
138页 14. 设矩阵 A   3 1 x 


4 0 5


可相似对角化, 求x.
解 首先算出A的3个特征值为1,1,6, A可
对角化, 就要求2重特征值1必须有两个
线性无关的特征向量, 即齐次线性方程
组(A-E)x=0的基础解系有2个向量, 即
R(A-E)=1, A-E的各行成比例, 算得x=3
1 0 1


A E  3 0 x


4 0 4


50
138页 15. 已知p=(1,1,-1)T是矩阵
 2 1 2 


A 5 a 3


 1 b 2 


的一个特征向量.
(1) 求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;
(2) 问A能不能相似对角化?并说明理由.
解 (1) 由Ap=lp, 得a=-3, b=0, 对应的l=-1
 2 1 2  1   1 
 1 
1
 5 a 3  1    2  a     2  a     1 

  



 
 1 b 2  1  1  b 
 1  b 
 1

  



 
51
(2)
 2 1 2 
1
由(1)知 A   5 3 3  , l  1  p   1 

 1
 
 1 0 2 
 1


 
由tr(A)=-3=-1+l2+l3, 得l3=-2-l2,
再由|A|=-1=-l2l3=l2(-2-l2), l22+2l2+1=0
算得l2=-1, l3=-1, 因此-1是A的3重特征值,
如果A能相似对角化就要求A+E=O, 显然A
不满足此式, 所以A不能相似对角化.
52
139页 21. 设a=(a1,a2,…,an)T, a10, A=aaT,
(1) 证明l=0是A的n-1重零特征值;
(2) 求A的非零特征值及n个线性无关的特
征向量.
解 (1) 因a10, 则A的(1,1)元为a120,
R(A)1, 但R(A)=R(aaT)R(a)=1, 因此
R(A)=1, 齐次线性方程组Ax=0的基础解
系有n-R(A)=n-1个线性无关的向量, 由于
对称矩阵一定能对角化, A是对称矩阵,
(aaT)T=aaT, 所以0是n-1重特征值.
53
(2) 假设ln是A的非零的特征值, 则
ln=tr(A)=a12+a22+…+an2. 因为0是A的n-1
重特征值, 因此齐次方程Ax=0只有第一
个方程有意义, 其它的方程都将消成0=0.
因此解方程a12x1+a1a2x2+…+a1anxn=0,
令x2,…,xn为自由变量, 分别依次等于a1其
它变量为0, 就得到Ax=0的基础解系为:
  a2 
  a3 
 a 
 0 
 1 


ξ1   0  , ξ 2   a1  ,








 0 
 0 




  an 1 
 0 


, x n 1   0 




 a 
 1 
54
  a2 
  a3 
 a 
 0 
 1 


ξ1   0  , ξ 2   a1  ,








 0 
 0 




  an 1 
 0 


, x n 1   0 




 a 
 1 
而因A是对称阵, 则ln的特征向量
xn=(x1,x2,…,xn)必和0特征值对应的n-1个
特征向量正交, 就可以得到n-1个方程:
-aix1+a1xi=0, i=2,3,…,n-1,
则令x1=a1, 则xi=ai, 因此求出ln对应的特
征向量为xn=(a1,a2,…,an)T=a.
55