n元向量 一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法 1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组 例1 为何值时，向量组 1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 ,
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Slide 1
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 2
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 3
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 4
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 5
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 6
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 7
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 8
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 9
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 10
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 11
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 12
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 13
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 14
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 15
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 16
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 17
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 18
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 19
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 20
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 21
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 22
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 23
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 24
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 25
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 26
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 27
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 28
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 29
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 30
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 31
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 32
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 33
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 34
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 35
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 36
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 37
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 38
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 39
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 40
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 41
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 42
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 2
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 3
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 4
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 5
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 6
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 7
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 8
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 9
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 10
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 11
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 12
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 13
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 14
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 15
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 16
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 17
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 18
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 19
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 20
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 21
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 22
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 23
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 24
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 25
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 26
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 27
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 28
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 29
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 30
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 31
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 32
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 33
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 34
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 35
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 36
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 37
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 38
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 39
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 40
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 41
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
Slide 42
n元向量
一. 向量组的秩及极大线性无关组的求法
1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组
例1
为何值时，向量组
1 (1, 1, 1, 1, 2 )， 2 ( 2 , 1, 3 , 2 , 3 )，
3 ( 2 , 3 , 2 , 2 , 5 )， 4 (1, 3 , 1, 1, )，线性相关？秩为多少
并求一个极大线性无关
解
组.
1
1
设 A ( 1， 2， 3， 4 ) 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
2
3
5
1
3
1 ,
1
？
经若干次初等变换后，
有 A
行变换
1
0
0
0
0
2
2
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
.
4
故当 ＝ 4 时， r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) r ( A ) 3 4，向量组线性相关，
秩为 3，α1 , α 2 , α 3 或 α1 , α 3 , α 4 为极大线性无关组
.
注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列
摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行
摆放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求
向量组的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一
样的.
例2
设向量组 1 (1，
1，
1，3 )， 2 ( a ， 1 ，2，3 )， 3 (1，2 a 1 ，3，7 )，
4 ( 1， 1 ，a 1， 1) 的秩为 3，求 a .
解
1
1
设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1
3
对 A 作初等行变换，有
若 a 1，则 A 化为
a
1
1
2a 1
2
3
3
7
1
0
A
0
0
1
1
,
a 1
1
a
1
a 1
2a 2
a2
2
3a 3
4
1
0
.
a
2
1
0
A
0
0
1
1
0
0
3
2
6
4
1
1
0
0
1
0
0
2
此时 r ( A ) 2，不合题意，故
1
0
A
0
0
a
1
1
2
a2
2
3a 3
4
1
0
a
2
1
1
3
2
0
0
0
0
1
1
.
0
0
a 1，于是
c2 c3
1
0
0
0
1
a
2
1
2
a2
4
3a 3
1
0
a
2
1
0
0
0
1
a
2
1
0
a 1
0
3a 1
1
0
.
a
2
a 1
r( α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 3 r
3a 1
a 1
a
3a 1
2
a
1
2
3a a 2 0,
2
但 a 1，因此 a
2
3
. 故当 a
2
3
时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
2.利用向量组的等价求向量组的秩
例 3 已知向量组
( A ) 1 , 2 , , s；
( B ) 1 , 2 , , s , ；
(C ) 1 , 2 , , s , .
若各向量组的秩分别为
r ( A ) r ( B ) s , r ( C ) s 1,
求向量组 1 , 2 , , s , 的秩 .
解
由题设知， 1 , 2 , , s 线性无关，而
线性相关，故
1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s 线性表示，设表示式为
k1 1 k 2 2 k s s ,
则 k 1 1 k s s , 从而 1 , 2 , , s ,
可由 1 , 2 , , s , 线性表示 .
( ) k1 1 k 2 2 k s s ( ),
又
故 1 , 2 , , s , 可由 1 , 2 , , s , 线性表示，因此
1 , 2 , , s , 与 1 , 2 , , s , 等价，故
r ( 1 , 2 , , s , ) r ( 1 , 2 , , s , ) s 1 .
例4
设向量组 I ： 1 , , m 与向量组 II ： 1 , , n 的秩
相同，且向量组
与向量组 II 等价 .
II 可由向量组 I 线性表示，证明向量组
I
证
1
记 A
m
1
， B .
n
设 r ( A ) r ( B ) s ， i1 , , is 为向量组 I 的极大无关组，
j 1 , , js 为向量组 II 的极大无关组
由题设 j 1 , ,
js
.
可由 i1 , , is 线性表示，设表示式为
j 1 a11
js a s 1
a1 s i1
,
a ss is
j1
i1
设 A1 ， B1 ， K ( a ij ) s s ，则 B1 KA 1 .
is
js
由 s r ( B1 ) r ( KA 1 ) r ( K ) 知： r ( K ) s ，但显然有
故 r ( K ) s ，即 K 为可逆阵，故有
可由 j 1 , ,
js
线性表示，从而
由极大无关组与原向量
A1 K
1
r ( K ) s,
B1，即 i1 , , is
i1 , , is 与 j 1 , , js 等价 .
组的等价性得
1 , , m 与
1 , , n 等价 .
注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一
定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由
秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故
取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证
出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨
论对象.
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5
设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵 . 证明
r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
证
设 A 的列向量组为
1 , 2 , , s，即 A ( 1 , 2 , , s ),
B ( bij ) s n . 设 C AB 且 C 的列向量组为
1 , 2 , , n，则有
b11
b 21
C 1 , 2 , , n 1 , 2 , , s
b
s1
b12
b 22
bs 2
b1 n
b2 n
b sn
( b11 1 b 21 2 b s 1 s , b12 1 b 22 2 b s 2 s , ,
b1 n 1 b 2 n 2 b sn s ),
从而有
1 b11 1 b 21 2 b s 1 s ,
2 b12 1 b 22 2 b s 2 s ,
b b b ,
1n 1
2n
2
sn
s
n
即 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , s 线性表示，故
r ( 1 , 2 , , n ) r ( 1 , 2 , , s ).
而 r ( 1 , 2 , , n ) r ( C )， r ( 1 , 2 , , s ) r ( A )，所以
r ( C ) r ( AB ) r ( A ).
又C
T
B A ，由上面证明的结果知
T
T
：
r ( C ) r ( C ) r ( B A ) r ( B ) r ( B ).
T
T
T
T
综上： r ( AB ) min{ r ( A ), r ( B )}.
注：1. 也可按照 r(AB)r(A) 的方式证明 r(AB)r(B) ，读者可自己
完成.
2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来
解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来
解决矩阵的问题.
3. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
二. 相关性的判定
1. 利用定义讨论向量组的线性相关性
利用定义讨论向量组
1 , 2 , , m 的线性相关性，一般步
(1) 设 k 1 1 k 2 2 k m m 0；
( 2 ) 将向量方程转化为
k 1 , k 2 , , k m 的方程组并求解；
骤为：
( 3 ) 根据解的情况判断向量
组的线性相关性，即
若 k 1 k 2 k m 0，则向量组
若 k 1 , k 2 , k m 不全为零，则向量组
例6
1 , 2 , m 线性无关；
1 , 2 , m 线性相关 .
设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , s , 都是
线性无关的，但向量组
1 , 2 , , s , 线性相关，证明
向量组 1 , 2 , , s , 线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k s , k 使 k 1 1 k s s k ( ) 0 ,
由题设 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s , 线性相关知：
可由 1 , 2 , , s 线性表示，不妨设
l1 1 l 2 2 l s s ,
则有
整理得
k 1 1 k 2 2 k s s k ( l1 1 l 2 2 l s s ) 0 ,
( k1 kl1 ) 1 ( k 2 kl 2 ) 2 ( k s kl s ) s k 0 .
由于 1 , 2 , , s , 是线性无关的，故有
k 1 kl1 0 ,
k kl 2 0 ,
2
k kl 0 ,
s
s
k 0 .
由此方程组得
k 1 k 2 k s k 0，从而 1 , 2 , , s ,
线性无关 .
例7
设 1 , 2 , , m 为 n 维正交向量组，证明
1 , 2 , , m
线性无关 .
证 设有常数 k 1 , k 2 , , k m 使
k 1 1 k m m 0 ,
等式两边取与
i 的内积并由内积的运算
规律得
k 1 ( i , 1 ) k i ( i , i ) k m ( i , m ) 0 .
因为 1 , 2 , , m 是正交向量组，所以上
式变为
k i ( i , i ) 0 ,
由于 i 0，从而 ( i , i ) i
2
0，所以 k i 0 ，其中
i 1, 2 , , m ，故 1 , 2 , , m 线性无关 .
注意：线性无关的向量组不一定是正交向量组，如向量1=(1,1,0,0)
与2=(1,1,1,0) 构成一个线性无关的向量组，但显然 (1 ,2)=2 不为
零，故 1 ,2 不是正交向量组. 不过我们可以利用施密特正交化方
法将线性无关的向量组化为正交向量组.
例8
设 A 为 n 阶方阵， 1 , 2 , , t 线性无关，满足
i 1, 2 , , t ，且存在向量
A i 0,
i 使 A i i， i 1, 2 , , t . 证明向
量组 1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
证
设有常数 k 1 , k 2 , , k t , l1 , l 2 , , l t 使
k 1 1 k 2 2 k t t l1 1 l 2 2 l t t 0,
用 A 左乘 (1) 式，并将
(1)
A i 0， A i i， i 1, 2 , , t 代入，得：
l1 1 l 2 2 l t t 0.
(2)
因为 1 , 2 , , t 线性无关，故由
( 2 ) 式，有
l1 l 2 l t 0 .
代入 (1) 式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0, 故又有 k 1 k 2
k t 0 . 从而向量组
例9
1 , 2 , , t , 1 , 2 , , t 线性无关 .
设 常数 1 2， A 为 n 阶方阵，向量组
向量组 1 , 2 都是线性无关的，且满
A j 2 j , j 1, 2 . 证明向量组
证
1, 2 , 3 与
足 A i 1 i , i 1 ,2 ,3;
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , l1 , l 2 使
k 1 1 k 2 2 k 3 3 l1 1 l 2 2 0 ,
用 A 左乘 (1) 式，并将
代入，得：
A i 1 i , i 1,2 ,3; A j 2 j , j 1, 2
(1)
k 11 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 2 1 l 2 2 2 0 ,
(2)
用 1 乘 (1) 式得
k 1 1 1 k 2 1 2 k 3 1 3 l1 1 1 l 2 1 2 0 ,
( 2 ) 式 ( 3 ) 式得
l1 ( 2 1 ) 1 l 2 ( 2 1 ) 2 0 ,
因为 1 , 2 线性无关，所以
l1 ( 2 1 )＝ 0，
l 2 ( 2 1 )＝ 0 .
又由于 1 2，故必有 l1 l 2 0 . 代回 (1) 式得：
k 1 1 k 2 2 k 3 3 0 .
(3)
由 1 , 2 , 3 线性无关得
k 1 k 2 k 3 0，从而 向量组
1 , 2 , 3 , 1 , 2 线性无关 .
2. 利用等价讨论向量组的线性相关性
例10
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 r ( K ) s 时， 1 , 2 , , s 线性无关 .
证
1
1
2
2
设 A
, B ，则 B KA ; 由于 r ( K ) s , 故
s
s
1
B ，因此 1 , 2 , , s 也可
K 为 s s 阶可逆阵，从而有
A K
由 1 , 2 , , s 线性表示，即
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , s 等价 .
由 1 , 2 , , s 线性无关知
1 , 2 , , s 也是线性无关的
.
注：1.可以证明在例10的假设条件下，1, 2, …, s 线性无关的
充要条件为 r(K)=s.
2. 这一例题的结果可以作为一个公式使用，常用来解决下面类
型的题目.
例11
已知向量组
1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则线性无关
向量组为 ________ .
( A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
( B ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1;
(C ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ;
( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1.
解
1
0
对 ( A ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
的
1
0
对 ( B ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( C ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
对 ( D ), K
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
, r ( K ) 3;
1
1
0
0
, r ( K ) 4;
1
1
0
0
, r ( K ) 3 . 因此选 ( C ).
1
1
3. 利用秩讨论向量组的线性相关性
例12
设 A 为 n m 阶矩阵， B 为 m n 阶矩阵，且
证明 B 的列向量组线性无关
证
AB E ，
.
因为 AB E ，故 r ( AB ) r ( E ) n . 又
n r ( AB ) r ( B ) min{ m , n} n ,
所以 r ( B ) n .
因为 B 为 m n 阶矩阵，其列向量组含
n 个向量，记为
1 , 2 , n，则 r ( 1 , 2 , n ) r ( B ) n ，
从而 1 , 2 , n 线性无关 .
例13
设向量组 1 , , s 线性无关且向量组
可由其线性表示为
1 k 11
2 k 21
k
s s1
k 12
k 22
ks2
1 , , s
k1s 1
k 2 s 2
,
k ss s
设 K ( k ij ) s s ，证明当 1 , 2 , , s 线性无关的充要条件为
r ( K ) s.
证
1
1
2
2
记 A
, B ，则 B KA .
s
s
必要性
因为 1 , , s 线性无关，所以
r ( B ) s ，又 B KA ，
s r ( B ) r ( K ) s,
故
所以 r ( K ) s .
充分性
因为 r ( K ) s ，即 K 为满秩阵，故有
r ( B ) r ( KA ) r ( A ) s ,
从而 1 , , s 线性无关 .
注：一般而言，我们经常用定义的方法或等价的方法或秩的方
法来讨论向量组的相关性. 在这三种方法中，定义的方法是十分
重要的一种方法，能用等价或秩来做的题目也一定可以用定义
来做. 所以，建议读者一定熟练掌握用定义讨论向量组的相关性
或证明向量组是线性无关的方法.
三. 向量空间的基、维数及坐标的求法
例1 4
设 1 (1，
1 ，0， 1)， 2 ( 2，
1，
1， 1)， 3 ( 0，
1，
1， 1)，
求 V L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组基及维数
. 进一步，能否求出
L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基？
解
因为
( 1 2
1
1
3)
0
1
2
1
1
1
0
1
1
1
r2 r1 , r4 r1
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
V
r4 r2 , r3 r2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
,
2
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 3，即 1 , 2 , 3 线性无关，从而向量空
L ( 1 , 2 , 3 ) 的维数为 3， 1 , 2 , 3 为一组基 .
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1 (1, 1, 0 , 1),
2 2
( 2 , 1 )
(1, 1 )
1 ( 2 , 1, 1, 1)
1
1 1
2
, , 1, ( 2 , 1, 3 , 1),
3
3 3
3
4
3
(1, 1, 0 , 1)
间
3 3
( 3 , 1 )
(1, 1 )
( 3 , 2 )
1
( 2 , 2 )
2 ( 0 , 1, 1, 1)
2
(1, 1, 0 , 1)
3
6 1
12 6 12
( 2 , 1, 3 , 1)
,
,
,
( 4 , 2 , 4 , 2 ),
15
15 5
15 15 15
1
取
1
2
3
1
1
1
2
1
3
1
1
(1, 1, 0 , 1)，
3
2
1
3
1
( 2 , 1, 3 , 1)，
15
( 2 , 1, 2 , 1)，
10
则 1 , 2 , 3 是 L ( 1 , 2 , 3 ) 的一组标准正交基
.
注：1. 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性
无关组，维数就是向量组的秩. 因此，基与维数的求法类似于向
量组的极大无关组与秩的求法.
2. 任一组线性无关的向量组都可用施密特正交化方法化为两两
正交的向量组.
例15
求向量 (1, 2 , 1) 在基 1 (1, 1, 1), 2 (1, 1, 1),
3 (1, 1, 1) 下的坐标 .
解I
设 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
( x1 , x 2 , x 3 )，则有
x1 1 x 2 2 x 3 3 .
x1
记 A 1 2 3 ， X x 2 ，则上式化为
x
3
AX .
由于
1
A 1
1
r2 r3 , r2 (
1
2
), r3 (
1
2
)
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0
1
0
0
1
1
2
1
r2 r1 , r3 r1
1
0
1
2
1
0
0
1
r1 r2 , r2 r3
0
0
1
1
故 X 1, , ，即 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
2
2
解 II
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 x1 x 2 x 3 ,
2 x1 x 2 x 3 ,
3 x x x .
1
2
3
1
1
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1/2 ,
1 / 2
1
1
1, , .
2
2
解之得 x1 1, x 2
1
2
, x3
1
.
2
这就是 在基 1 , 2 , 3 下的坐标 .
注：解法 I 是借助于求解矩阵方程
求出坐标 . 设 1 , 2 , , n
为一组基， 为一已知向量，令
A 1 2 n ，
A
初等行变换
E X ，
则 X 即为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标 .
x1 1 x 2 2
解法 II 是用方程组的方法来求
的，将向量方程
x n n 转化为线性方程组并求
出 x1 , x 2 , , x n 即可 .
例16
求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求
(1, 0 , 0 , 1) 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1
2
3
4
解
(1, 0 , 0 , 0 ),
( 0 ,1, 0 , 0 ),
( 0 , 0 ,1, 0 ),
( 0 , 0 , 0 ,1),
1
2
3
4
( 2 ,1, 1,1),
( 0 ,3 ,1, 0 ),
( 5 , 3 , 2 ,1),
( 6 , 6 ,1,3 ).
因为
1
2
3
4
2 1 2 3 4 ,
3 2 3 ,
5 1 3 2 2 3 4 ,
6 1 6 2 3 3 4 ,
2
1
即 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
6
6
.
1
3
故由基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵为
2
1
A
1
1
0
5
3
3
1
2
0
1
设 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
6
6
.
1
3
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )，则
x1
x1
x2
x2
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 A .
x3
x3
x
x
4
4
又 在 1 , 2 , , n 下的坐标为
(1, 0 , 0 , 1)，即
1
0
1 , 2 , 3 , 4 ,
0
1
由坐标的唯一性，有
A ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (1, 0 , 0 , 1) ，
T
T
从而
9
12
1 1 12
T
1
( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) A
0
27 9
7 3
1
T
(15 , 8 , 9 , 11 ) .
9
27
9
0
9
33 1
23 0
18 0
26 1
即 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
例17
1
(15 , 8 , 9 , 11 ).
9
设向量空间 V 中每个向量都可由
, n 线性表示，且
V 中 n 元向量 1 , 2 ,
V 中有一个向量表示法惟
一 . 证明 V 为
n 维空间且 1 , 2 , , n 为 V 的一组基 .
证
由基的定义，只需证明
1 , 2 , , n 线性无关 .
设 k 1 1 k 2 2 k n n 0，又由题设，设向量
0 可由
1 , 2 , , n 惟一线性表示为
0 l1 1 l 2 2 l n n ,
则
0 ( k1 l1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 ( k n l n ) n ,
由 0 的表示法惟一，得
l i k i l i，从而
k i＝ 0 ( i 1, 2 , , n ).
即 1 , 2 , , n 线性无关，也就是
V 的维数为 n ， 1 , 2 , ,
n 为 V 的一组基 .
四. 关于线性表示、线性相关性的问题
例18
设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，但不能由
线性表示，证明
1 , 2 , , n 1
n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示，但不能由
1 , 2 , , n 1 线性表示 .
证
由题设 可由 1 , 2 , , n 线性表示，不妨设
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 k n n ,
又 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示，所以
n
1
kn
(1)
(1) 式中 k n 0，因此
( k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 ),
即 n 可由 1 , 2 , , n 1 , 线性表示 .
若 n 可由 1 , 2 , , n 1 线性表示，设表示式为
n l1 1 l 2 2 l n 1 n 1 ,
(2)
把 ( 2 ) 式代入 (1) 式，整理得
( k 1 k n l1 ) 1 ( k 2 k n l 2 ) 2 ( k n 1 k n l n 1 ) n 1 ,
与已知 不能由 1 , 2 , , n 1 线性表示相矛盾，故
n 不能
由 1 , 2 , , n 1 线性表示 .
例19
设向量组 1 , 2 , , m 可由向量组
1 , 2 , , n 线性
表示， m n ；讨论 1 , 2 , , m 的线性相关性
解
所以
由于 1 , 2 , , m 可由向量组
.
1 , 2 , , n 线性表示，
r ( 1 , 2 , , m ) r ( 1 , 2 , , n ) n m ,
故 1 , 2 , , m 是线性相关的
例 20
.
设向量组 ( I ) 与 ( II ) 等价，其中
( I ) 1 (1, 3 , 0 , 5 ), 2 (1, 2 , 1, 4 ), 3 (1, 1, 2 , 3 )；
( II ) 1 (1, 3 , 6 , 1), 2 ( a , 0 , b , 2 ).
求 a , b 的值 .
解
1
3
由于 ( 1 2 3 )
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
初等行变换
1
0
0
0
故 r ( 1 , 2 , 3 ) 2， 1 , 2 为一极大无关组且
故只需考察 1 , 2 与 1 , 2 之间的相互表示问题
0
1
0
0
1
2
.
0
0
3 1 2 2 ;
. 由于
1
2 1
1
3
2
0
5
1
1
2
3
1
6
4
1
a
0
b
2
初等行变换
1
0
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
a
3a
,
b 3a
2 2 a
若 1 , 2 与 1 , 2 等价，则有
r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 ) r ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 2.
故
b 3a 0,
a 1,
2 2 a 0,
b 3 .
当 a 1, b 3 时，
1
2 1
1
0
2
0
0
1
1
1
6
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
5
1
6
0
0
0
0
2
3
.
0
0
易知 1 , 2 是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无关组，故
1 , 2 可由
1 , 2 线性表示 . 显然 1 , 2 也是 1 , 2 , 1 , 2 的一个极大无
关组，故 1 , 2 也可由 1 , 2 线性表示 . 从而当 a 1, b 3 时，
1 , 2 , 3 与 1 , 2 等价 .
例 21
且
设矩阵 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 经过初等变换得到矩阵
1
0
B
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
3
.
5
0
求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组
用这个极大无关组线性
表示 .
B，
，并将其余向量
解
显然 r ( B ) 3，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3 .
因为 B 是由 A 经初等变换得到的，也
3 , 4 按“列摆行变换”得到
1, 2 ,
就是将向量组
的，故 1 , 2 , 3 为一个极大
无关组 . 又因为
A 1 2 3 4
行变换
B
故 4 2 1 6 2 5 3 .
行变换
1
0
0
2
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
,
例 22
设 1 (1, 0 , 2 ), 2 ( 2 , 0 , 3 ), 3 (1, 2 , 1).
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 能否由向量
( 2 ) 证明你的结论
解
1 , 2 , 3 线性表示？
.
(1) 任一向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .
1
( 2 ) 因为 A ( 1 , 2 , 3 ) 0
2
2
0
3
故 1 , 2 , 3 线性无关，从而构成
1
1
2 0
0
1
3
2
7
0
1
1 .
2
R 的一组基，因此任给
向量 ( a , b , c ) 都可由 1 , 2 , 3 线性表示 .