线性方程组 一. 基本概念题 例1 设齐次线性方程组 解 方程组中未知量个数 零解，所以 例2 A5 3 X 0 仅有零解，求 n 3，又方程组 r ( A ). AX 0 有惟一 r ( A ) n.
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Slide 1
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 2
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 3
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 4
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 5
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 6
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 7
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 8
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 9
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 10
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 11
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 12
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 13
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 14
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 15
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 16
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 17
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 18
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 19
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 20
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 21
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 22
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 23
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 24
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 25
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 26
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 27
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 28
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 29
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 30
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 31
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 32
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 2
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 3
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 4
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 5
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 6
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 7
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 8
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 9
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 10
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 11
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 12
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 13
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 14
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 15
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 16
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 17
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 18
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 19
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 20
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 21
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 22
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 23
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 24
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 25
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 26
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 27
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 28
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 29
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 30
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 31
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线
Slide 32
线性方程组
一. 基本概念题
例1
设齐次线性方程组
解
方程组中未知量个数
零解，所以
例2
A5 3 X 0 仅有零解，求
n 3，又方程组
r ( A ).
AX 0 有惟一
r ( A ) n ，故 r ( A ) 3 .
设 n 元非齐次线性方程组
AX b 有解，其中
A为
( n 1) n 矩阵，求 | A | ( A 为 A 的增广矩阵 ).
解
因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A ) n n 1，从而 | A | 0 .
例3
解
kx y z 0 ,
若 x ky z 0 , 有非零解，求
2 x y z 0
因为 AX 0 有非零解，所以
k
A1
2
例4
1
k
1
r ( A ) n 3，又
1
1 ，故有 | A | 0，解得 k 1 或 k 4 .
1
设四元非齐次线性方程
组 AX 的系数矩阵
为 3， 1 , 2 , 3 是它的三个特解，且
(1, 2 , 3 , 4 ) ，求 AX 的通解 .
T
k.
A 的秩
1 ( 2 ,3 , 4 ,5 ) ， 2 3
T
解
因为 n 4， r ( A ) 3，故 AX 0 的基础解系含一个向量
又 1
2 3
2
3
5
( , 2 , ,3 ) 或 2 1 ( 2 3 ) ( 3 , 4 ,5 , 6 )
2
2
为 AX 0 的解，从而为
T
AX 0 的一个基础解系，
所以方程组 AX 0 的通解为
3
5
2
2
1 k 1 ( 2 , 3 , 4 ,5 ) k 1 ( , 2 ,
T
或
.
,3 ) , k 1 C
T
( 2 ,3 , 4 ,5 ) k ( 3 , 4 ,5 , 6 ) , k C .
T
二. 求解线性方程组
1. 求 AX=0 的通解或基础解系
T
T
步骤：
(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得
到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
(2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；
(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应
赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.
2. 求 AX=b 的通解
步骤：
(1) 写出增广矩阵
A 并用初等行变换将其化
r ( A ) 及 r ( A )，判断是否有解
为行最简形式，求出
. 当有解时，则
(2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b
的一个特解；
(3) 写出通解.
例5
2 x1 x 2 4 x 3 3 x 4
x3 x4
x1
求解方程组
3 x1 x 2 x 3 2 x 4
7 x x 5 x 6 x
2
3
4
1
2
1
解 A
3
7
1
4
3
0
1
1
1
1
2
1
5
6
4
3
11
23
行变换
1
0
0
0
故 r ( A ) r ( A ) 2，方程组有无穷多解且
含 4 2 2 个解向量 .
对应的同解方程组为
4,
3,
11 ,
23 .
0
1 －1
1 －2
1
0
0
0
0
0
0
－3
－2
，
0
0
导出组的基础解系
x1 x 3 x 4 3 ,
x 2 2 x3 x 4 2 .
（ *）
取 x 3 x 4 0，得特解 * ( 3 , 2 , 0 , 0 ) .
T
x3 1 0
取 ， ，故
x4 0 1
基础解系为
x1 1 1
，
，从而导出组的
x2 2 1
1 ( 1, 2 ,1, 0 ) , 2 (1, 1, 0 ,1) .
方程组的通解为
T
T
* k 1 1 k 2 2 , k 1 , k 2 为任意常数 .
注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为
行最简形式，这样有利于求解.
2. 根据同解方程组（*）式写导出组的基础解系时，不要将常数
加进去.
三. 特殊方程组的求解
例6
设 A ( a ij ) n n 是实正交阵，且
求方程组
a 11 1， b (1, 0 , , 0 ) ,
T
AX b 的解 .
解 由于 A ( a ij ) n n 为正交阵，故
r ( A ) n ，所以方程组
AX b 有惟一解 . 又 a n 1，由正交阵的定义知：
1
0
A
0
方程组为：
0
0
a 22
a 23
an2
an3
0
a2n
,
a nn
x1 1,
a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,
a x a x 0.
nn n
n2 2
故 (1, 0 , , 0 ) 为其全部解 .
T
例7
求 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 0 的基础解系，并求
x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的全部解 .
解
A 1
2
3
n ，故 r ( A ) 1，方程组的基础解系
含 n 1 个解向量 .
因为 x1 ( 2 x 2 3 x 3 nx n )，取
x2 1 0
0
x3 0 1
0
, , ,
1
x 0 0
n
2
3
n
1
0
0
则 1 0 , 2 1 , , n- 1 0 为一个基础解系
0
0
1
.
显然 * (1,0, ,0) 是 x1 2 x 2 3 x 3 nx n 1 的一个
T
特解 ，其全部解可表示为
* k1 1 k n 1 n 1 , k i C , i 1, 2 , , n 1 .
例8
1
3
0
5
解
1
1
已知 B
1
5
1
1
1
2
1
1
1
2
2
4
3
3
2
1
0
2
0
1
2
3
2
6
0
0
0
0
的行向量都是齐次线性
0
1
x1
1 0
x 2
3 0
x 3 的解向量 . 试求方程组的一个基础
6
0
x 4
1 0
x5
记方程组的系数矩阵为
构成向量组的一个极大
无关组，即
向量
1 (1, 2 ,1, 0 , 0 ) , 2 (1, 2 ,
0 ,1, 0 ) , 3 ( 5 , 6 , 0 , 0 ,1) 线性无关，又都是方程
T
解系 .
A ，并求得 r ( A ) 2，故基础解系
含 5 2 3 个解向量 . 又 r ( B ) 3，且第一、二、四行的
T
方程组
T
组的解，
故 1 , 2 , 3 为一个基础解系
.
四. 含参数的方程组
对含参数的方程组，求
解之前要先确定参数
. 一般而言，
有两种方法确定参数：
一是行列式法，二是初
等变换法 . 当
未知数个数等于方程个
数，即系数矩阵为方阵
且系数中含有
参数时，常考虑用行列
式法，特别当阶数较小
或系数行列式
容易求出时更是首选行
列式法 . 其理论依据为克莱姆法
即当系数行列式不为零
时，方程组有惟一解；
而当系数行列
式等于零时，我们可由
系数行列式等于零这一
方程确定出参
数值，从而将含参数的
方程组化为不含参数的
一般方程组 .
其他情形常用初等变换
法，这时依据有解的条
件 r ( A ) r ( A)
确定参数值 .
则，
例9
a 为何值时，方程组
解、有无穷多解？并在
解
2 x1 ax 2 x 3 1,
ax 1 x 2 x 3 2 , 无解、有惟一
4 x 5 x 5 x 1
2
3
1
有解时求其解
.
原方程组的系数行列式
2
a
a
1
4
5
故当 a 1 且 a
4
1
1 ( a 1)( 5 a 4 ),
5
时，方程组有惟一解
5
当 a 1 时，原方程组为
.
2 x1 x 2 x 3 1,
x1 x 2 x 3 2 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
对其增广矩阵施行初等
2
1
4
1
1
1
1
5
5
行变换化为：
1
1
2 0
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1 0
0
0
因此，当 a 1 时，原方程组有无穷多
0
0
1
1
0
0
组解，其通解为
(1, 1, 0 ) k ( 0 ,1,1) （ k 为任意实数） .
T
当a
4
时，原方程组的同解方
T
程组为
5
10 x1－ 4 x 2 5 x 3 5 ,
4 x1 5 x 2 5 x 3 1 0 ,
4 x 5 x 5 x 1.
2
3
1
1
1 ,
0
对其增广矩阵施行初等
10
4
4
由此可知当
行变换化为：
4
5
5
5
5
5
a
4
5
10
10 4
0
1
4
5
5
5
0
0
时，原方程组无解
.
5
例1 0
设有齐次线性方程组
(1 a ) x1 x 2 x n 0 ,
2 x1 (2 a ) x 2 2 x n 0 ,
nx nx ( n a ) x 0 .
2
n
1
当 a 取何值时，该方程组有
(n 2)
非零解 .
5
10 ,
9
解
方程组的系数行列式为
D
1 a
1
1
2
2a
2
n
n
r1 r2 rn
na
(1 2 n a )
1
1
1
2
2a
2
n
n
1
1
1
n ( n 1)
0
a
2
a
0
0
0
a
a
n 1
na
n ( n 1)
a .
2
n ( n 1)
故当 a 0 或 a
时方程组有非零解
.
2
例1 1
为何值时，方程组
有解？并在有解时求其
解
2 x1 x 2 x 3 2 ,
x1 2 x 2 x 3 ,
2
x
x
2
x
1
2
3
2
A 1
1
解.
1
1
2
1
1
2
2
2
0
0
2
1
3
3
r1 r2 r3 , r3 r2
0
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
，
3
2
2
当 2 0 即 1 或 2 时，方程组有解
2
1
1 时， A 0
0
故通解为
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
1
1
0 0
0
0
.
0
1
1
1
0
0
1
0 ，
0
1
2 时， A 0
0
故通解为
例1 2
2
2
0
2
1
1
1
0
0
2
1
2 0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
k 1 , k C .
1
参数 a , b 为何值时，方程组
有惟一解、无解、有无
穷多解？
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1,
x1 3 x 2 6 x 3 x 4 3 ,
3 x1 x 2 ax 3 15 x 4 3 ,
x 5 x 10 x 12 x b
2
3
4
1
2
2 ，
0
解
1
0
0
0
1
1
A
3
1
2
2
3
3
6
1
1
a
15
5
10
12
1
2
3
2
4
2
4
a6
6
6
12
9
1
2
0
b 1
故当 a 2 时方程组有惟一解
当 a 2 时 ,
1
3
3
b
.
1
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
a2
2
0
0
3
1
.
4
b 5
1
1
0
A
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
2
0
0
3
1
1
0
4
0
0
b 5
1
故当 b 1 时方程组无解；当
综上所述，当
2
3
1
2
1
0
0
1
0
0
0
a 2 时方程组有惟一解
方程组有无穷多组解
1
1
,
2
b 1
b 1 时，方程组有无穷多组
当 a 2 , b 1 时，方程组无解；当
例1 3
1
.
a 2 , b 1 时，
.
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 a ,
3 x1 2 x 2 x 3 x 4 3 x 5 0 ,
当参数 a , b 取何值时，
x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 b ,
5 x 4 x 3 x 3 x x 2,
2
3
4
5
1
方程组有解
?
解.
解
1
3
A
0
5
1
行变换
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
6
4
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
6
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
2
3a
,
b 3a
2 2 a
a
b 3 a 0 ,
故当
即 a 1, b 3 时，方程组有解
2 2 a 0,
.
五. 证明题
利用方程组的理论可以证明秩及向量组线性相关性的一些命题.
例14
设 A , B 均为 n 阶方阵，且
AB 0，证明
r ( A ) r ( B ) n.
因为 AB 0，设 B ( 1 , , n )，则 1 , , n 为方程组
证
AX 0 的解，故
r ( 1 , , n ) n r ( A ).
即 r ( B ) n r ( A )，从而有
例15
设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数
A X 0 有解向量 ，且 A
k
A
k 1
r ( A ) r ( B ) n.
是线性无关的 .
k 1
k ，使线性方程组
0，证明向量组
, A , ,
证
设有常数 1 , 2 , , k 使得
1 2 A k A
等式两端左乘
A
1 A
k 1
0,
(1)
k 1
，有
k 1
2 A k A
k
由 A 0，有 1 A
k
k 1
0，但 A
2k 2
0,
k 1
0，所以 1 0 .
将 1 0 代入 (1) 式，得
2 A k A
等式两端左乘
A
0,
(2)
k 2
，有
2 A
从而有 2 A
k 1
k 1
k A
k 1
2 k 3
0,
0，故有 2 0 . 类似地可求得
k 0 . 因此向量组
, A , , A
k 1
3
是线性无关的 .
设 * 是非齐次方程组
例16
是其导出组
AX b 的一个解， 1 , 2 , , n-r
AX 0 的一个基础解系，证明
*, * 1 , * 2 ,
, * n-r 线性无关 .
证
设有常数 k 0 , k 1 , , k n r，使
k 0 * k 1 ( * 1 ) k 2 ( * 2 ) k n-r ( * n-r ) 0,
则有
( k 0 k 1 k n-r ) * k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0,
两边左乘
A ，并注意到
(1)
A * b 0 , A i 0 , i 1, 2 , , n r ，有
( k 0 k1 k n-r ) b 0,
从而
( k 0 k 1 k n-r ) b 0,
(2)
k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0.
代入 (1) 式，有
由于 1 , 2 , , n-r 是 AX 0 的基础解系，因此
1 , 2 , , n-r
k 1 k 2 k n r 0，代入 ( 2 ) 式，得
是 线性无关的，故有
k 0 0 . 这就证明了 *, * 1 , * 2 , , * n-r 线性无关 .
注：在例15与例16中介绍的“两端左乘 A”的方法，希望读者能
用心体会并掌握它.
例17
证
设 A 为 n 阶方阵，证明
n
设 为 A X 0 的解，即
n
n ＋1
A X 0 的解，即
n
n
A X 0与 A
只需证明方程组
反之，设 为 A
r( A ) r( A
n 1
X 0 的解，即
A
).
X 0 同解 .
A 0 ，显然有
n
n 1
A
n ＋1
0；
0，若 不是
n ＋1
A 0 . 由例 15 知 , A , , A
n
k 1
n 1个 n 元向量线性无关，但这
是线性无关的，即
能的，从而必有
所以 r ( A ) r ( A
n
n
n 1
n
只需证明方程组
若 A 0，显然有
n 1
X 0 同解，
).
设 A 为 m n 阶矩阵，证明
例18
证
A 0 . 因此 A X 0 与 A
是不可
r ( A ) r ( A A ).
T
AX 0 与 A AX 0 同解 .
T
A A 0；反之，若
T
A A 0，则
T
( A ) ( A ) 0，从而 A 0 . 因此 AX 0 与 A AX 0
T
T
同解，所以 r ( A ) r ( A A ).
T
六. 应用题
利用方程组的理论可以解决向量间的线性表示问题及几何中线、
面关系问题.
例19
设 1 (1, 3 , 0 , 5 ) , 2 (1, 2 , 1, 4 ) , 3 (1, 1, 2 , 3 ) ,
T
T
T
(1, a , 3 , b ) .
T
(1) a , b 取何值时， 能用 1 , 2 , 3 线性表示？并求出表示
( 2 ) a , b 取何值时， 不能用 1 , 2 , 3 线性表示 .
解
设 x1 1 x 2 2 x 3 3，则有
1 2
x1
3 x 2 AX ,
x
3
式.
1
3
3
0
5
其中 A 1 2
1
2
1
4
1
x1
1
, X x 2 .
2
x
3
3
从而 能否用 1 , 2 , 3 线性表示转化为方程组
AX 是否
有解的问题 .
因为
1
3
A A
0
5
1
1
2
1
1
2
4
3
1
1
a
0
0
3
0
b
1
1
1
2
1
2
1
2
a 3
3
b 5
1
1
0
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
a3
.
a
b a 2
1
不能用 1 , 2 ,
故当 a 0 或 b a 2 时，方程组无解，从而
3 线性表示 .
可由 1 , 2 , 3 线
当 a 0 ，且 b 2 时，方程组有解，从而
性表示 . 此时
1
0
A
0
0
1
1
1
2
0
0
0
0
1
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
2
3
,
0
0
方程组的通解为
( 2 ,3, 0 ) k (1, 2 ,1) .
T
T
从而 可由 1 , 2 , 3 线性表示为
( 2 k ) 1 ( 3 2 k ) 2 k 3 , 其中 k 为任意常数 .
注：讨论向量 能否由向量组 1, 2, 3 线性表示，并进一步求
出表示式，实际上就是方程组是否有解并在有解时求出其通解
的问题.
例 20
设平面上三条不同直线
的方程分别为
l1： ax 2 by 3 c 0 , l1： bx 2 cy 3 a 0 , l1： cx 2 ay 3 b 0 .
当 a b c 0 时，讨论三条直线的位
解
考虑方程组
置关系 .
ax 2 by 3 c ,
bx 2 cy 3 a ,
cx 2 ay 3 b ,
(1)
由于 a b c 0，故
a
A b
c
a
2b
b
2c
又因为
2b
2c
2a
3c
a
3 a r3 r1 r2 b
0
3 b
2b
2c
0
3c
3 a .
0
2 ( ac b ) 2[ a ( a b ) b ]
2
2
[ 2 a 2 ab 2 b ]
2
2
[ a b ( a b ) ] 0 .
2
2
2
所以 r ( A ) r ( A ) 2，从而方程组
l1 , l 2 , l 3 交于一点 .
(1) 有惟一解，即三直线