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4-4
矩阵的逆
一、问题的提出
二、逆矩阵的概念和性质
三、逆矩阵的求法
四、小结
一.问题的提出
已知矩阵的运算:
1.矩阵的加法
2.矩阵的乘法
3.数乘矩阵
4.矩阵的减法
问题：能否定义矩阵的除法运算？
把除法运算理解成乘法运算的逆运算
在数的运算中，当数a  0 时， 有
1
1
aa  a a  1,
其中 a 1  1 为 a 的倒数，
（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，
单位阵 E相当于数的乘法运算中
的1， 那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1,
使得
AA1  A1 A  E ,
1
A
则矩阵
称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
引例 已知线性变换
 y1  x1  2 x2  x3

 y2  x2  4 x3
 y  x  2x
 3 1
2
用 y1 , y2 , y3 把 x1 , x2 , x3 表示出来，若记
1 2 1
 x1 
 y1 
A  0 1 4, X   x2 , Y   y2 


 
 
1 2 0
 x3 
 y3 
则线性变换可表示为
Y  AX
解出 x1 , x2 , x3 ，则得线性变换
 x1  8 y1  2 y2  7 y3

 x2  4 y1  y2  4 y3
x  y  y
 3
1
3
若记
 8  2  7
B   4 1
4


0  1
 1
由矩阵相乘可知：
AB  BA  E
一般的，设给定一个线性变换
 y1  a11 x1  a12 x2    a1n xn
y  a x  a x  a x
 2
21 1
22 2
2n n



 yn  an1 x1  an 2 x2    ann xn
它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵A ，若记
 a11 a12  a1n 
 x1 
 y1 
a

x 
y 
a

a
22
2n
, X   2 , Y   2 
A   21

 
 


a

x 
y 
a

a
 n1 n 2
 n
 n
nn 
则上述线性变换可表示为
Y  AX
按克拉姆法则，若 A  0 ，则由上述线性变换可解出
1
xi  ( A1i y1  A2i y2    Ani yn )
A
即 x1 , x2 ,, xn 可用 y1 , y2 ,, yn 线性表示为
 x1  b11 y1  b12 y2    b1n yn
x  b y  b y    b y
 2
21 1
22 2
2n n



 xn  bn1 y1  bn 2 y2    bnn yn
1
A ji ，并且这个表达式是唯一的。这是从
其中 bij 
A
y1 , y2 ,, yn 到 x1, x2 ,, xn 的线性变换，称为原线性变换的
逆变换。
若把此逆变换的系数记作 B ，则此逆变换也可以记作
X  BY
由此，可得 Y  AX  A( BY )  ( AB )Y
可见， AB 为恒等变换所对应的矩阵，故 AB  E
又
X  BY  B( AX )  ( BA) X
因此 BA  E ，于是有 AB  BA  E
二、逆矩阵的概念和性质
定义7 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B
,使得
AB  BA  E ,
则说矩阵A是可逆的，.
B
A
定义8 并把矩阵B称为A的逆矩阵
A的逆矩阵记作 A1 .
例
 1  1
 1 2 1 2
, B  
,
设 A
1 1 
  1 2 1 2
 AB  BA  E ,
 B是A的一个逆矩阵.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB  BA  E ,
AC  CA  E ,
可得 B  EB  CAB  C  AB   CE  C .
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
B  C  A 1 .
Def 9.
设矩阵A是n阶方阵
 a11 a12

a
a

21
22
A=
 

a
 n1 an 2
 a1n 

 a2 n 

 


 ann 
由其元素的代数余子式Aij组成的矩阵
 A11

 A12

A 


A
 1n
称为A的伴随矩阵
A21 
A22 
 
A2 n 
ij
An1 

An 2 




Ann 
定理3
矩阵 A 可逆的充要条件是 A  0 ，且
1 
1
A  A,
A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA 1  E .
故 A  A1  E  1,
当 A  0时,
所以 A  0.
当 A  0时,
 a11 a12  a1n   A11 A21  An1 



a a22  a2 n   A12 A22  An 2 
  21
AA   a A  a A     a A  A
1n 
 11 11  12 12  1n 

 

A1n aA2 nA  AAnn 
aan1A an
 
2 a Aann 
n1
n1
n2
 A






n2
A

O
nn
nn



,

A

O
A


A
A
AA  A A  A E  A  A  E ,
A A
按逆矩阵的定义得

A
A 
.
A
1
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A  0时, A称为奇异矩阵,当 A  0时, A称为
非奇异矩阵.
由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
推论
证明
若AB  E 或BA  E , 则B  A1 .
A  B  E  1,
故 A  0,
因而A1存在, 于是
B  EB  A1 AB  A1  AB
 A  1 E  A 1 .
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1

1 1
 A.
2 若A可逆, 数  0, 则A可逆, 且
1
A  A1 .
1

3 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
A B
1  B 1 A 1
证明
 ABB1 A1   ABB1 A1
1
 AEA 1  AA  E ,
1
1 1


 AB  B A .
推广
1
1
A1 A2 Am1  Am
A21 A1 .
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
证明
 A A
   A A
 A
 A
1 T
T

T 1
T
1
.
1 T
另外, 当 A  0时, 定义
A  E,
0
k为正整数
A
k
  A  .
T 1
T
 A
.
1 k
1 T
 E T  E,
当 A  0,  , 为整数时, 有


 
A A A
A 
 
,
 A .
5 若A可逆,则有 A  A .
1
1
证明
 AA 1  E
 A A 1  1
1
因此 A  A .
1
• Theorem4 A是一个s×n矩阵,如果P是
•
•
•
•
•
•
•
s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么
秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)
证明:由定理2有
秩(A)=秩(P-1PA)≤秩(PA)≤秩(A)
即 秩(A)≤秩(PA)
同理可证
秩(A)=秩(AQQ-1≤秩(AQ)≤秩(A)
秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)
可逆矩阵的作用
对照着方程 ax＝b, a≠0 时, 有解
x＝a-1 b, 得矩阵方程ＡＸ＝Ｂ, 其中
Ａ为可逆矩阵, 有解Ｘ＝Ａ-1Ｂ. 特别,
当Ｂ为ｎ×1 矩阵时, 这正是线性方 程
组解的公式的矩阵表示式. 由于矩阵的
乘法不满足交换律, 相应地, 对于矩阵
方程ＸＡ＝Ｂ, 当Ａ可逆时, 有解Ｘ＝
ＢＡ-1, 对于矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ, 当
Ａ,Ｂ可逆时,有解Ｘ＝Ａ-1ＣＢ-1.
三、逆矩阵的方法
待定系数法
伴随矩阵法
构造法(定义)
初等变换法(以后再讨论)
1.
利用待定系数法
例1
解
则
 2 1
 , 求A的逆阵.
设 A
  1 0
a b
 是 A 的逆矩阵,
设 B
c d
 1 0

 2 1  a b   
AB  

  0 1
  1 0  c d 
 2a  c 2b  d   1 0 



 b   0 1
 a
 2a  c  1,
 2b  d  0 ,


  a  0,
  b  1,
 a  0,
b  1,


 c  1,
 d  2.
又因为
AB
BA
 2 1  0  1   0  1  2 1   1 0 
,


 

 
  1 0  1 2   1 2   1 0   0 1 
所以
 0  1
A 
.
1 2 
1
2、利用伴随矩阵求逆矩阵
例2
 1 2 3


求方阵 A   2 2 1  的逆矩阵.
 3 4 3


1 2 3
1

A
存在.

0
,
解  A2 2 1
3 4 3
A11 
2 1
4 3
 2,
A12  
2 1
3 3
 3,
同理可得
A13  2, A21  6, A22  6, A23  2,
A31  4, A32  5, A33  2,
得
故
6  4
 2



A    3  6 5 ,
 2

2

2


3  2
6  4  1
 2




1
1
A1  A    3  6 5     3 2  3 5 2  .
A
2
 1


1

1

2  2 
 2
例3 下列矩阵A, B是否可逆? 若可逆, 求出其逆
矩阵.
 2 3 1 
 1 2 3




B  1 3
5 .
A   2 1 2 ,
 1 5  11
 1 3 3




1 2 3
解
1
2
3
A  2 1 2 0 3 4
1 3 3
0
1
0
1
2
3
 0 3 4
0
1
0
 A11 
1 2
A13 
2 1
3 3
1 3
同理可求得
3 4
1
 3,
0
 4 0, 所以A可逆 .
A12  
2 2
1 3
 4,
 5,
A21  3 , A22  0 , A23  1, A31  1,
A32  4 , A33  3.
 A11 A21 A31 

A 1
1
 A    A12 A22 A32 
A A

A
A
A
 13 23 33 

1 
 3 3

1
 4 0
4 .
4

5

1

3


2
3
由于 B   1 3
1
1
5  0,
5  11
故B不可逆 .
3.构造(用定义)
例4
设方阵A满足方程A2  A  2 E  0, 证明 :
A, A  2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明
由A  A  2 E  0,
2
A
1
A E
E
得A A  E   2 E  A
2
A E
 A
 1  A  0, 故A可逆 .
2
1
 A   A  E .
2
1
又由A2  A  2 E  0
  A  2 E  A  3 E   4 E  0
1


  A  2 E   A  3 E   E
 4

 A  2E 
1
1
 A  2 E   A  3 E   1,
故A  2 E可逆 .
4
1
3E  A
1
且  A  2E     A  3E  
.
4
4
例5
设三阶矩阵A, B满足关系:
1 2



1
A BA  6 A  BA, 且A  
14
 求B .


1
7


o
o
解
A 1 BA  BA  6 A
 A
1
 E BA  6 A  A
1
 B  6A  E  .
1
1
 E B  6 E
B  6 A  E 
1
1
1
 2 0 0   1 0 0  
 1 0 0

 




 6  0 4 0    0 1 0   6 0 3 0 






 0 0 6
0
0
7
0
0
1


 



1
1
0   6 0 0
 1 0 0
1 0



 

 6 0 3 0   6 0 1 3 0    0 2 0  .
 0 0 6
 0 0 1 6  0 0 1




 
特殊矩阵的逆矩阵
例6
解
1

0
已知A   0

0
0

因 A  5!  0,
0 0 0 0

2 0 0 0
1

0 3 0 0 求A .

0 0 4 0

0 0 0 5
故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1  A A ,
0
0
0
0 
2 345


1 3  4  5
0
0
0 
 0
1

0
0
1 2  4  5
0
0 

5! 
0
0
1 2  3  5
0 
 0
 0

0
0
0
1

2

3

4


1

0
 0

0
0

0
1 2
0
0
0
0
0
1 3
0
0
0
14
0
0
0
0 

0 
0 .

0 
1 5 
用逆矩阵求解矩阵方程
例7
设
 1 2 3
 1 3




 2 1
A   2 2 1 , B  
, C   2 0 ,
 5 3
 3 4 3
 3 1




求矩阵X使满足 AXB  C .
1 2 3
解
 A  2 2 1  2  0, B  2 1  1  0,
5 3
3 4 3
1
1
 A , B 都存在.
3  2
 1


1
且 A    3 2  3 5 2 ,
 1

1

1


 3  1
B 
,
 5 2 
1
1
1
1
1

A
AXBB

A
CB
又由 AXB  C
E
 X  A1CB 1 .
于是 X  A1CB 1
3  2  1 3 
 1


 3  1 
   3 2  3 5 2  2 0 

 5 2 
 1



1  1  3 1 

1 
1 1 
 2

 3  1  

  0  2 
   10  4  .
 0 2   5 2    10 4 




练习
 1  5
 3 2
EX1 解矩阵方程 1 
X  
;
1 4 
 1 4
 1  1 1  1 2  3

 

2 X  1 1 0    2 0 4 ;
 2 1 1  0  1 5 

 

 1  1 1  1  1 1  4 2 3

 
 

3   1 1 0  X  1 1 0    0  1 5  .
 2 1 1  3 2 1  2 1 1

 
 

解
 1  5
 3 2

X  

1 4 
 1 4
1
1
 1  5
给方程两端左乘矩阵 
 ,

1
4


E
1
1
 1  5  1  5
 1  5  3 2
得 
 
 X 
 

1 4  1 4 
  1 4   1 4
1
 1  5   3 2    4  5  3 2    17  28 
 X 
 
 

 
.
  1 4   1 4    1  1  1 4    4  6 
 1  1 1  1 2  3

 

2  X  1 1 0    2 0 4 
 2 1 1  0  1 5 

 

1
给方程两端右乘矩阵
得
 1  1 1


 1 1 0 ,
 2 1 1


 1 2  3  1  1 1 



X  2 0
4  1 1 0 
 0  1 5  2 1 1 



1
9  5
 2


   2  8 6 .
  4  14 9 


 1  1 1  1  1 1  4 2 3

 
 

3   1 1 0  X  1 1 0    0  1 5 
 2 1 1  3 2 1  2 1 1

 
 

1
 1  1 1


给方程两端左乘矩阵  1 1 0  ,
 3 2 1


1
 1  1 1


给方程两端右乘矩阵  1 1 0  ,
 3 2 1


1
 1  1 1   4 2 3  1  1 1 

 


得 X   1 1 0   0  1 5  1 1 0 
 3 2 1   2 1 1  3 2 1 

 


1
 1 3  1   4 2 3   1 3  1    13  75 30 



 

   1  2 1   0  1 5    1  2 1    9 52  21.
  1  5 2   2 1 1    1  5 2   21 120  47 




 
Ex2
设三阶矩阵A, B满足关系:
1 2



1
A BA  6 A  BA, 且A  
14
 求B .


1
7


o
o
解
A 1 BA  BA  6 A
 A
1
 E BA  6 A  A
1
 B  6A  E  .
1
1
 E B  6 E
B  6 A  E 
1
1
1
 2 0 0   1 0 0  
 1 0 0

 




 6  0 4 0    0 1 0   6 0 3 0 






 0 0 6
0
0
7
0
0
1


 



1
1
0   6 0 0
 1 0 0
1 0



 

 6 0 3 0   6 0 1 3 0    0 2 0  .
 0 0 6
 0 0 1 6  0 0 1




 
Ex3
0 0 a


已知A   0 b 0  abc  0，求A1.
c 0 0 


解：由于| A | abc  0，A可逆，
 0 0 1c 


1
A   0 b1 0 
1

 a 0 0
Ex4. 若 A3=2E, 则 A2-2A+4E 可 逆 , 并
求其逆矩阵.
解:由于A3=2E,有A3+8E=10E
A  8 E  ( A  2 E )( A  2 A  4 E )
1
2
1
( A  2 A  4E ) 
( A  2E)
10
3
2
Ex5：设A，B为n×n矩阵，证明：如果
AB=0，那么
秩（A）+秩（B）≤n
证明：若|A|≠0,存在A-1,左乘得到 B=0,则
秩（A）+秩（B）=n+0=n 等式成立.
若|A|=0, 秩(A)= r < n,
此时B的每一列向量是Ax=0的解向量,
所以 R(B)≤n-r, 从而
秩（A）+秩（B）≤n 等式成立.
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在
A  0.
1待定系数法;
逆矩阵的计算方法:

A
2利用公式A  ; (3) 初等变换法
A
1
矩阵的乘法不满足消去律, 但是,我们有
若ＡＢ＝ＡＣ, Ａ可逆, 则Ｂ＝Ｃ
注意:不要把Ａ≠Ｏ与│Ａ│≠0 (即Ａ可逆) 混同
思考题
若A可逆, 那么矩阵方程AX  B是否有唯一解
X  A1 B ? 矩阵方程 YA  B 是否有唯一解
1
Y  BA ?
思考题解答
答
是的. 这是由于A1的唯一性决定的.
•作业:P205-19、20