Transcript Document
4-4
矩阵的逆
一、问题的提出
二、逆矩阵的概念和性质
三、逆矩阵的求法
四、小结
一.问题的提出
已知矩阵的运算:
1.矩阵的加法
2.矩阵的乘法
3.数乘矩阵
4.矩阵的减法
问题:能否定义矩阵的除法运算?
把除法运算理解成乘法运算的逆运算
在数的运算中,当数a 0 时, 有
1
1
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数,
(或称 a 的逆);
a
在矩阵的运算中,
单位阵 E相当于数的乘法运算中
的1, 那么,对于矩阵 A ,如果存在一个矩阵A1,
使得
AA1 A1 A E ,
1
A
则矩阵
称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
引例 已知线性变换
y1 x1 2 x2 x3
y2 x2 4 x3
y x 2x
3 1
2
用 y1 , y2 , y3 把 x1 , x2 , x3 表示出来,若记
1 2 1
x1
y1
A 0 1 4, X x2 , Y y2
1 2 0
x3
y3
则线性变换可表示为
Y AX
解出 x1 , x2 , x3 ,则得线性变换
x1 8 y1 2 y2 7 y3
x2 4 y1 y2 4 y3
x y y
3
1
3
若记
8 2 7
B 4 1
4
0 1
1
由矩阵相乘可知:
AB BA E
一般的,设给定一个线性变换
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
y a x a x a x
2
21 1
22 2
2n n
yn an1 x1 an 2 x2 ann xn
它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵A ,若记
a11 a12 a1n
x1
y1
a
x
y
a
a
22
2n
, X 2 , Y 2
A 21
a
x
y
a
a
n1 n 2
n
n
nn
则上述线性变换可表示为
Y AX
按克拉姆法则,若 A 0 ,则由上述线性变换可解出
1
xi ( A1i y1 A2i y2 Ani yn )
A
即 x1 , x2 ,, xn 可用 y1 , y2 ,, yn 线性表示为
x1 b11 y1 b12 y2 b1n yn
x b y b y b y
2
21 1
22 2
2n n
xn bn1 y1 bn 2 y2 bnn yn
1
A ji ,并且这个表达式是唯一的。这是从
其中 bij
A
y1 , y2 ,, yn 到 x1, x2 ,, xn 的线性变换,称为原线性变换的
逆变换。
若把此逆变换的系数记作 B ,则此逆变换也可以记作
X BY
由此,可得 Y AX A( BY ) ( AB )Y
可见, AB 为恒等变换所对应的矩阵,故 AB E
又
X BY B( AX ) ( BA) X
因此 BA E ,于是有 AB BA E
二、逆矩阵的概念和性质
定义7 对于 n 阶矩阵 A ,如果有一个n 阶矩阵 B
,使得
AB BA E ,
则说矩阵A是可逆的,.
B
A
定义8 并把矩阵B称为A的逆矩阵
A的逆矩阵记作 A1 .
例
1 1
1 2 1 2
, B
,
设 A
1 1
1 2 1 2
AB BA E ,
B是A的一个逆矩阵.
说明 若 A 是可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵,则有
AB BA E ,
AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C .
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
B C A 1 .
Def 9.
设矩阵A是n阶方阵
a11 a12
a
a
21
22
A=
a
n1 an 2
a1n
a2 n
ann
由其元素的代数余子式Aij组成的矩阵
A11
A12
A
A
1n
称为A的伴随矩阵
A21
A22
A2 n
ij
An1
An 2
Ann
定理3
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ,且
1
1
A A,
A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆,即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
当 A 0时,
所以 A 0.
当 A 0时,
a11 a12 a1n A11 A21 An1
a a22 a2 n A12 A22 An 2
21
AA a A a A a A A
1n
11 11 12 12 1n
A1n aA2 nA AAnn
aan1A an
2 a Aann
n1
n1
n2
A
n2
A
O
nn
nn
,
A
O
A
A
A
AA A A A E A A E ,
A A
按逆矩阵的定义得
A
A
.
A
1
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为
非奇异矩阵.
由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
推论
证明
若AB E 或BA E , 则B A1 .
A B E 1,
故 A 0,
因而A1存在, 于是
B EB A1 AB A1 AB
A 1 E A 1 .
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1
1 1
A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
1
A A1 .
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
A B
1 B 1 A 1
证明
ABB1 A1 ABB1 A1
1
AEA 1 AA E ,
1
1 1
AB B A .
推广
1
1
A1 A2 Am1 Am
A21 A1 .
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
证明
A A
A A
A
A
1 T
T
T 1
T
1
.
1 T
另外, 当 A 0时, 定义
A E,
0
k为正整数
A
k
A .
T 1
T
A
.
1 k
1 T
E T E,
当 A 0, , 为整数时, 有
A A A
A
,
A .
5 若A可逆,则有 A A .
1
1
证明
AA 1 E
A A 1 1
1
因此 A A .
1
• Theorem4 A是一个s×n矩阵,如果P是
•
•
•
•
•
•
•
s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么
秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)
证明:由定理2有
秩(A)=秩(P-1PA)≤秩(PA)≤秩(A)
即 秩(A)≤秩(PA)
同理可证
秩(A)=秩(AQQ-1≤秩(AQ)≤秩(A)
秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)
可逆矩阵的作用
对照着方程 ax=b, a≠0 时, 有解
x=a-1 b, 得矩阵方程AX=B, 其中
A为可逆矩阵, 有解X=A-1B. 特别,
当B为n×1 矩阵时, 这正是线性方 程
组解的公式的矩阵表示式. 由于矩阵的
乘法不满足交换律, 相应地, 对于矩阵
方程XA=B, 当A可逆时, 有解X=
BA-1, 对于矩阵方程AXB=C, 当
A,B可逆时,有解X=A-1CB-1.
三、逆矩阵的方法
待定系数法
伴随矩阵法
构造法(定义)
初等变换法(以后再讨论)
1.
利用待定系数法
例1
解
则
2 1
, 求A的逆阵.
设 A
1 0
a b
是 A 的逆矩阵,
设 B
c d
1 0
2 1 a b
AB
0 1
1 0 c d
2a c 2b d 1 0
b 0 1
a
2a c 1,
2b d 0 ,
a 0,
b 1,
a 0,
b 1,
c 1,
d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0
,
1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1
A
.
1 2
1
2、利用伴随矩阵求逆矩阵
例2
1 2 3
求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵.
3 4 3
1 2 3
1
A
存在.
0
,
解 A2 2 1
3 4 3
A11
2 1
4 3
2,
A12
2 1
3 3
3,
同理可得
A13 2, A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
故
6 4
2
A 3 6 5 ,
2
2
2
3 2
6 4 1
2
1
1
A1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 .
A
2
1
1
1
2 2
2
例3 下列矩阵A, B是否可逆? 若可逆, 求出其逆
矩阵.
2 3 1
1 2 3
B 1 3
5 .
A 2 1 2 ,
1 5 11
1 3 3
1 2 3
解
1
2
3
A 2 1 2 0 3 4
1 3 3
0
1
0
1
2
3
0 3 4
0
1
0
A11
1 2
A13
2 1
3 3
1 3
同理可求得
3 4
1
3,
0
4 0, 所以A可逆 .
A12
2 2
1 3
4,
5,
A21 3 , A22 0 , A23 1, A31 1,
A32 4 , A33 3.
A11 A21 A31
A 1
1
A A12 A22 A32
A A
A
A
A
13 23 33
1
3 3
1
4 0
4 .
4
5
1
3
2
3
由于 B 1 3
1
1
5 0,
5 11
故B不可逆 .
3.构造(用定义)
例4
设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 :
A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明
由A A 2 E 0,
2
A
1
A E
E
得A A E 2 E A
2
A E
A
1 A 0, 故A可逆 .
2
1
A A E .
2
1
又由A2 A 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0
1
A 2 E A 3 E E
4
A 2E
1
1
A 2 E A 3 E 1,
故A 2 E可逆 .
4
1
3E A
1
且 A 2E A 3E
.
4
4
例5
设三阶矩阵A, B满足关系:
1 2
1
A BA 6 A BA, 且A
14
求B .
1
7
o
o
解
A 1 BA BA 6 A
A
1
E BA 6 A A
1
B 6A E .
1
1
E B 6 E
B 6 A E
1
1
1
2 0 0 1 0 0
1 0 0
6 0 4 0 0 1 0 6 0 3 0
0 0 6
0
0
7
0
0
1
1
1
0 6 0 0
1 0 0
1 0
6 0 3 0 6 0 1 3 0 0 2 0 .
0 0 6
0 0 1 6 0 0 1
特殊矩阵的逆矩阵
例6
解
1
0
已知A 0
0
0
因 A 5! 0,
0 0 0 0
2 0 0 0
1
0 3 0 0 求A .
0 0 4 0
0 0 0 5
故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
0
0
0
0
2 345
1 3 4 5
0
0
0
0
1
0
0
1 2 4 5
0
0
5!
0
0
1 2 3 5
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
1
0
0
0
0
0
1 2
0
0
0
0
0
1 3
0
0
0
14
0
0
0
0
0
0 .
0
1 5
用逆矩阵求解矩阵方程
例7
设
1 2 3
1 3
2 1
A 2 2 1 , B
, C 2 0 ,
5 3
3 4 3
3 1
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
解
A 2 2 1 2 0, B 2 1 1 0,
5 3
3 4 3
1
1
A , B 都存在.
3 2
1
1
且 A 3 2 3 5 2 ,
1
1
1
3 1
B
,
5 2
1
1
1
1
1
A
AXBB
A
CB
又由 AXB C
E
X A1CB 1 .
于是 X A1CB 1
3 2 1 3
1
3 1
3 2 3 5 2 2 0
5 2
1
1 1 3 1
1
1 1
2
3 1
0 2
10 4 .
0 2 5 2 10 4
练习
1 5
3 2
EX1 解矩阵方程 1
X
;
1 4
1 4
1 1 1 1 2 3
2 X 1 1 0 2 0 4 ;
2 1 1 0 1 5
1 1 1 1 1 1 4 2 3
3 1 1 0 X 1 1 0 0 1 5 .
2 1 1 3 2 1 2 1 1
解
1 5
3 2
X
1 4
1 4
1
1
1 5
给方程两端左乘矩阵
,
1
4
E
1
1
1 5 1 5
1 5 3 2
得
X
1 4 1 4
1 4 1 4
1
1 5 3 2 4 5 3 2 17 28
X
.
1 4 1 4 1 1 1 4 4 6
1 1 1 1 2 3
2 X 1 1 0 2 0 4
2 1 1 0 1 5
1
给方程两端右乘矩阵
得
1 1 1
1 1 0 ,
2 1 1
1 2 3 1 1 1
X 2 0
4 1 1 0
0 1 5 2 1 1
1
9 5
2
2 8 6 .
4 14 9
1 1 1 1 1 1 4 2 3
3 1 1 0 X 1 1 0 0 1 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
1
1 1 1
给方程两端左乘矩阵 1 1 0 ,
3 2 1
1
1 1 1
给方程两端右乘矩阵 1 1 0 ,
3 2 1
1
1 1 1 4 2 3 1 1 1
得 X 1 1 0 0 1 5 1 1 0
3 2 1 2 1 1 3 2 1
1
1 3 1 4 2 3 1 3 1 13 75 30
1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 52 21.
1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47
Ex2
设三阶矩阵A, B满足关系:
1 2
1
A BA 6 A BA, 且A
14
求B .
1
7
o
o
解
A 1 BA BA 6 A
A
1
E BA 6 A A
1
B 6A E .
1
1
E B 6 E
B 6 A E
1
1
1
2 0 0 1 0 0
1 0 0
6 0 4 0 0 1 0 6 0 3 0
0 0 6
0
0
7
0
0
1
1
1
0 6 0 0
1 0 0
1 0
6 0 3 0 6 0 1 3 0 0 2 0 .
0 0 6
0 0 1 6 0 0 1
Ex3
0 0 a
已知A 0 b 0 abc 0,求A1.
c 0 0
解:由于| A | abc 0,A可逆,
0 0 1c
1
A 0 b1 0
1
a 0 0
Ex4. 若 A3=2E, 则 A2-2A+4E 可 逆 , 并
求其逆矩阵.
解:由于A3=2E,有A3+8E=10E
A 8 E ( A 2 E )( A 2 A 4 E )
1
2
1
( A 2 A 4E )
( A 2E)
10
3
2
Ex5:设A,B为n×n矩阵,证明:如果
AB=0,那么
秩(A)+秩(B)≤n
证明:若|A|≠0,存在A-1,左乘得到 B=0,则
秩(A)+秩(B)=n+0=n 等式成立.
若|A|=0, 秩(A)= r < n,
此时B的每一列向量是Ax=0的解向量,
所以 R(B)≤n-r, 从而
秩(A)+秩(B)≤n 等式成立.
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在
A 0.
1待定系数法;
逆矩阵的计算方法:
A
2利用公式A ; (3) 初等变换法
A
1
矩阵的乘法不满足消去律, 但是,我们有
若AB=AC, A可逆, 则B=C
注意:不要把A≠O与│A│≠0 (即A可逆) 混同
思考题
若A可逆, 那么矩阵方程AX B是否有唯一解
X A1 B ? 矩阵方程 YA B 是否有唯一解
1
Y BA ?
思考题解答
答
是的. 这是由于A1的唯一性决定的.
•作业:P205-19、20