高二数学组优秀课件201106
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Transcript 高二数学组优秀课件201106
复习回顾:几种常见的平面变换
1 恒等变换
2 伸压变换
1 0
E
0
1
k 0
0 1
3 反射变换
1 0
0 1
4 旋转变换
cos
sin
1 0
0 k
1 0
0 1
1 0
0 1
0 1 0 1
1 0 1 0
sin
cos
cos (逆时针) sin
5 投影变换
1 0
0 0
0 0
0 1
6 切变变换
1 k
0 1
1 0
k 1
1 0
1 0
sin
cos (顺时针)
二阶矩阵的乘法
• 1. 二阶矩阵的乘法:
a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22
a a b b a b a b
a
b
a
b
21 22 21 22 21 11 22 21
21
12
22
22
• 2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的
两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
• 3.矩阵乘法的简单性质.
1).矩阵乘法不满足交换律;
2).矩阵乘法不满足消去律;
3).矩阵乘法满足结合律.
即:(AB)C=A(BC)
什么条件下可以
满足消去律呢?
例题1、
• 对于下列给出的变换对应的矩阵A,是否存
在矩阵B使得连续进行两次变换(先TA后TB)
的结果与恒等变换的结果相同?
(1) 以x轴为反射轴作反射变换;
(2) 绕原点逆时针旋转600作旋转变换;
(3) 横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸为原来的
2倍作伸压变换;
(4) 沿y轴方向,向x 轴作投影变换;
(5) 纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加,
且(x,y) (x+2y,y) 的切变变换.
逆矩阵的概念
1.逆矩阵的概念
对于二阶矩阵 A,B 若有
AB=BA=E
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵.
通常记 A的逆矩阵为 A-1
思考: A的逆矩阵有多少个?
逆矩阵的唯一性:
若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,
则逆矩阵是唯一的.
例题2、用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆
矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.
(1)
0 1
A
1
0
0 1
(3) C
1
0
1
(2) B 2
0
1
(4) D
1
0
1
0
0
问题:试问怎样的矩阵A存在A-1
结论: 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量
的一一映射时,它才是可逆的。
例如:例题2中矩阵D对应的变换不是一一映射,
故不存在逆矩阵。
2.逆矩阵的求法
方法1:几何变换法
方法2:待定矩阵法
5 1
例题3、 求矩阵 A
的逆矩阵.
7 3
练习 1:
用待定矩阵法求解
1 1
A= 2 4
的逆矩阵
2.逆矩阵的求法
方法1:几何变换法
方法2:待定矩阵法
5 1
例题3、 求矩阵 A
的逆矩阵.
7 3
a b
结论:一般地,对于二阶可逆矩阵 A=
(ad -bc 0)
c d
它的逆矩阵为
d
ad bc
-1
A
c
ad bc
b
ad bc
a
ad bc
练习 2:
3 1
1
1. A= 4 2 ,问 A 是否可逆?若可逆,求 A 。
2 1
1
A
2.A= 4 2 ,问 A 是否可逆?若可逆,求
。
a b
补充:对于二阶矩阵 A=
则
c d
(1)A可逆的充要条件是: ad -bc 0
(2)当 ad -bc 0 时,则
d
ad bc
-1
A
c
ad bc
b
ad bc
a
ad bc
二阶矩阵的乘法AB表示先后实施两
次几何变换。
问题:
那么连续实施两次几何变换的
逆变换是什么呢?
即:(AB)-1=?
3.二阶矩阵乘法的逆矩阵
•
若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则
AB 也存在逆矩阵,且
(AB)-1=B-1A-1
推广:(ABC)-1=C-1B-1A-1
注意:两个矩阵的次序不可以颠倒,一般地
(AB)-1=A-1B-1
例题4、
试从几何变换角度求矩阵AB的逆矩阵:
(1)
1 0
A
0 1
(2)
1 0
A
0 2
0 1
B
1 0
1
1
B
2
0 1
4.二阶矩阵满足消去律的条件
上节课遗留的一个问题:
对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?
•
已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若
矩阵 A 存在逆矩阵,则
B=C
- 1
证明:Q 矩阵A存在逆矩阵 \ A A = E
于是
B = ( A- 1 A )B = A- 1 ( AB ) = A- 1 ( AC )
= ( A- 1 A )C = C
课堂小结
1.逆矩阵的概念
对于二矩阵 A,B 若有
AB=BA=E
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 为 A-1
若二阶矩阵 A可逆,则逆矩阵是唯一的.
2.逆矩阵的求法: 几何变换法 待定矩阵法
对于二阶矩阵
a b
A=
c
d
则
ad -bc 0
(1)A可逆的充要条件是:
(2)当 ad -bc 0 时,则
d
ad bc
-1
A
c
ad bc
b
ad bc
a
ad bc
3.二阶矩阵乘法的逆矩阵
•
若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在
逆矩阵,且
(AB)-1=B-1A-1
4.二阶矩阵满足消去律的条件
•
已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若矩阵 A 存
在逆矩阵,则
B=C
思考:若二阶矩阵A 存在逆矩阵, 且 BA=CA , 那么
B = C一定成立吗?
课后巩固:
1.设 A,B 可逆,下列式子不正确的是(
1
1 1
(
AB
)
B
A
B.
1
1 1
(
AB
)
A
B
A.
1 1
(
A
) A
C.
)
2 1
1 2
(
A
)
(
A
)
D.
2.关于 y 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是
0 1
3.矩阵 1 1 的逆矩阵为
1 1
4.A= 0 1
1
3
2
2
3
1 ,则
2
2
1
A =
5.从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,
若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由:
1 0
1 0
1 0
(1)A= 0 1 ; (2)B= 0 1 ; (3)C= 0 0 ;
1 1
(4)D= 0 1 ;
6.已知
A=
2 0
(5)F= 0 1 ;
1
3
2
2
2
,B= 0
3
1
2
2
0
1 ,
2
2
x
y
1在 ( AB)1 变换作用下的图形。
求圆