Transcript 高二数学组优秀课件201106

复习回顾：几种常见的平面变换
1 恒等变换
2 伸压变换
1 0 
E

0
1


k 0 
0 1 


3 反射变换
 1 0
 0 1


4 旋转变换
cos 
 sin 

1 0 
0 k 


1 0 
0 1


1 0 
 0 1


 0 1   0 1
1 0  1 0 


 sin  
 cos 
cos   （逆时针） sin 
5 投影变换
1 0 
0 0 


0 0 
0 1 


6 切变变换
1 k 
0 1 


1 0
k 1


1 0 
1 0 


sin  
cos  （顺时针）
二阶矩阵的乘法
• 1. 二阶矩阵的乘法：
 a11 a12  b11 b12   a11  b11  a12  b21 a11  b12  a12  b22 
 a a  b b    a  b  a  b

a

b

a

b
 21 22   21 22   21 11 22 21
21
12
22
22 
• 2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的
两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
• 3.矩阵乘法的简单性质.
1）.矩阵乘法不满足交换律；
2）.矩阵乘法不满足消去律；
3）.矩阵乘法满足结合律.
即：(AB)C=A(BC)
什么条件下可以
满足消去律呢?
例题1、
• 对于下列给出的变换对应的矩阵A,是否存
在矩阵B使得连续进行两次变换(先TA后TB)
的结果与恒等变换的结果相同?
(1) 以x轴为反射轴作反射变换;
(2) 绕原点逆时针旋转600作旋转变换;
(3) 横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸为原来的
2倍作伸压变换;
(4) 沿y轴方向,向x 轴作投影变换;
(5) 纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加,
且(x,y) (x+2y,y) 的切变变换.
逆矩阵的概念
1.逆矩阵的概念
对于二阶矩阵 A,B 若有
AB=BA=E
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵.
通常记 A的逆矩阵为 A-1
思考： A的逆矩阵有多少个？
逆矩阵的唯一性：
若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,
则逆矩阵是唯一的.
例题2、用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆
矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.
(1)
0 1 
A

1
0


0 1
(3) C  

1
0


1
(2) B   2

0
1
(4) D  
1

0

1
0
0
问题：试问怎样的矩阵A存在A-1
结论： 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量
的一一映射时，它才是可逆的。
例如:例题2中矩阵D对应的变换不是一一映射，
故不存在逆矩阵。
2.逆矩阵的求法
方法1：几何变换法
方法2：待定矩阵法
5 1
例题3、 求矩阵 A  
的逆矩阵.

7 3
练习 1：
用待定矩阵法求解
1 1 
A＝  2 4


的逆矩阵
2.逆矩阵的求法
方法1：几何变换法
方法2：待定矩阵法
5 1
例题3、 求矩阵 A  
的逆矩阵.

7 3
a b 
结论：一般地，对于二阶可逆矩阵 A= 
(ad -bc  0)

c d 
它的逆矩阵为
 d
 ad  bc
-1
A 
 c
 ad  bc
b 
ad  bc 

a 
ad  bc 
练习 2：
3 1
1


1． A＝  4 2  ，问 A 是否可逆？若可逆，求 A 。
2 1
1


A
2．A＝  4 2  ，问 A 是否可逆？若可逆，求
。
a b 
补充：对于二阶矩阵 A= 
则

c d 
（1）A可逆的充要条件是： ad -bc  0
（2）当 ad -bc  0 时，则
 d
 ad  bc
-1
A 
 c
 ad  bc
b 
ad  bc 

a 
ad  bc 
二阶矩阵的乘法AB表示先后实施两
次几何变换。
问题：
那么连续实施两次几何变换的
逆变换是什么呢？
即：(AB)-1=？
3.二阶矩阵乘法的逆矩阵
•
若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则
AB 也存在逆矩阵,且
(AB)-1=B-1A-1
推广：(ABC)-1=C-1B-1A-1
注意:两个矩阵的次序不可以颠倒，一般地
(AB)-1=A-1B-1
例题4、
试从几何变换角度求矩阵AB的逆矩阵:
(1)
1 0 
A

0 1
(2)
1 0 
A

0 2
0 1
B

1 0 
1

1
B
2


0 1 
4.二阶矩阵满足消去律的条件
上节课遗留的一个问题：
对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?
•
已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若
矩阵 A 存在逆矩阵,则
B=C
- 1
证明：Q 矩阵A存在逆矩阵 \ A A = E
于是
B = ( A- 1 A )B = A- 1 ( AB ) = A- 1 ( AC )
= ( A- 1 A )C = C
课堂小结
1.逆矩阵的概念
对于二矩阵 A,B 若有
AB=BA=E
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 为 A-1
若二阶矩阵 A可逆,则逆矩阵是唯一的.
2.逆矩阵的求法： 几何变换法 待定矩阵法
对于二阶矩阵
a b 
A= 

c
d


则
ad -bc  0
（1）A可逆的充要条件是：
（2）当 ad -bc  0 时，则
 d
 ad  bc
-1
A 
 c
 ad  bc
b 
ad  bc 

a 
ad  bc 
3.二阶矩阵乘法的逆矩阵
•
若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在
逆矩阵,且
(AB)-1=B-1A-1
4.二阶矩阵满足消去律的条件
•
已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若矩阵 A 存
在逆矩阵,则
B=C
思考：若二阶矩阵A 存在逆矩阵, 且 BA=CA , 那么
B = C一定成立吗？
课后巩固：
1.设 A,B 可逆，下列式子不正确的是（
1
1 1
(
AB
)

B
A
B.
1
1 1
(
AB
)

A
B
A.
1 1
(
A
) A
C.
）
2 1
1 2
(
A
)

(
A
)
D.
2.关于 y 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是
0 1
3.矩阵 1 1 的逆矩阵为



1 1 
4.A＝ 0 1  

1
3
 
2
2 
3
1  ，则
2
2 
1
A =
5.从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，
若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由：
1 0 
1 0 
1 0 
（1）A= 0 1 ; (2)B= 0 1 ; (3)C= 0 0 ;
1 1
(4)D= 0 1 ;
6.已知


A＝ 

2 0
(5)F= 0 1 ;
1
3
 
2
2
2 
，B＝ 0
3
1 
2
2 
0
1  ，
2
2
x

y
 1在 ( AB)1 变换作用下的图形。
求圆