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第十一章、矩阵与线性方程组
第一节、矩阵的概念与运算
第二节、矩阵的初等变换
第三节、逆矩阵
第四节、方阵行列式
本章学习要求
• 1、了解矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和
矩阵等价的概念.
• 2、理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵
的秩和逆矩阵的方法.
• 3、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.
• 重点：矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、
线性方程组的解.
• 难点：矩阵的初等变换、矩阵的秩的定义及计算
、线性方程组有解的条件及应
第一节、矩阵的概念与运算
• 一、矩阵的概念
• 二、几种特殊的矩阵
• 三、矩阵的运算
一、矩阵的概念
• 矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个重要的数
学概念，给出矩阵定义之前，先看几个例子.
• 例1 某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一
、二月份的生产与销售情况如下表：
一月
二月
甲种作业本
乙种作业本
丙种作业本
1000
1500
5000
3000
2000
4000
1000 5000 2000 


1500
3000
4000


成本价
甲种作业本
乙种作业本
丙种作业本
 1.2

 1.4
 1.5

1.2
1.4
1.5
2 

2.2 
2.4 
销售价
2.0
2.2
2.4
例2 设含有n个未知数，m个方程的线性方程组
 a11 x1  a12 x2  ......  a1n xn  b1
 a x  a x  ......  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

......


 am1 x1  am 2 x2  ......  amn xn  bm
(1)
aij (i  1,2,... , m; j  1,2,... , n)和常数矩阵bi (i  1,2,... , m;)
如果把它的系数
按原来的位置和顺序写出，就得到一个矩形数表：
 a11 a12 ...... a1n b1 


 a21 a22 ...... a2 n b2 


......


 a a ......a b 
mn 3 
 m1 m 2
(2)
方程组（1）完全有它的系数和常数项决定，
具体来说，方程组（1）完全有矩阵（2）唯
一确定。因此，为讨论方便，常把矩形表
（2）作为方程组（1）的代表进行研究。
以上的探讨可以得到如下定义.
m n个数
定义 由
排成 的矩形表
aij (i  1,2, , m; j  1,2, , n)
 a11 a12 ...... a1n

 a21 a22 ...... a2 n
 ......

 am1 am 2 ......amn
叫做
m行n列
...
...






矩阵，简称 m  n 矩阵。
记作
,其中 aij 称为矩阵元素，
A  (aij )mn i
aij 的第二
的 第一个下标称为行标,
个下标 j 称为列标。矩阵通常用大写英
a
文字母A，B，C…或（ aij）（ b ），
（ c ）表示。
ij
ij
ij
例如
2

3

5
4
3
0
0

6 
是一个2×4矩阵，记作 A24
二、几种特殊的矩阵
• 1.行矩阵——只有一行的矩阵，此时m=1
An   a11
a12
a1n 
2.列矩阵——只有一列的矩阵，此时n=1
Am1
 a11 
 
a12 


 
 
 a1n 
3.方阵——行数和列数相等的矩阵
0 0
 0 0 （二阶方阵）
 
1

2

0
1
2
0
 a11 a12 ...... a1n 


 a21 a22 ...... a2 n （n阶方阵)

 ......



 an1 an 2 ......ann 
1

2 （三阶方阵）

0
4.零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵，简记
作0 如
 0 ... 0 
 0 0


 0 0
 0


0


 0


0 00


0 00
5.对角矩阵——主对角线上的元素不全为零，
其它的元素都为0的方阵，简记作A。
2 0 0 


0
0
0


0 0  9


0 0


 0 2
 a1

0


0
0
a2
0
0

0


an 
6.单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对
角形矩阵，简记 I 如：
1 0

  I2
0 1
 1 0...... 0 


0
1......0

I
n
 ......



 0 0......1 
1 0 0


0
1
0

  I3
0 0 1


7.上三角形矩阵——主对角线下方元素全为
零、上方的元素不全为0的方阵。如：
2 1 2


0
1
0


 0 0 1


 a11 a12 ...... a1n 


 0 a22 ...... a2 n 
 ......



 0 0 ...... ann 
8.下三角形矩阵——主对角线上方的元素全
为零，下方的元素不全为0的方阵。
2 0 0


4
1
0


5 3 7 


 a11 0

 a21 a22


 an1 an 2
0

0


ann 
9.同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的
两个矩阵，称为同型矩阵。如
1
A
0
0

C  1
0

0 1
1 1
 B
3 7 
0 0
5 4
7 8 9


2 3 D  
 1 2 3



0 0
1
4
1 1

0 0
只有矩阵 A 与矩阵 B 同型
三、矩阵的运算
• 1.相等矩阵
• 若 A、B两矩阵同型 且对应位置上A、B 的元
素相等，则称 A、B相等，记作A=B。
• 注意：同型是相等的必要条件。
0 0 0

 0 0
0 0 0  0 0

0 0 0 


 1
1 1   
 1
 2 0 0

  2 0
0 2 0  0 2

0 0 2 


1 0 0
1 0 


0
1
0

 

0
1

 0 0 1


例2 已知
 x  2 y  x z  7
 3x z  1 z  7 
 B A
 且A  B求x, y, z的值。
A
 0

 0 x z 1 
1
5




 x  2  3x
 y  x  z 1  x  1


解：
得y  2
 1 x
z  4
 5  z  1 
2.矩阵的转置
把矩阵A所有的行依次换成同顺序的列后所得
到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 A/或AT
2
A
0
1 /  2 0 
 A  
1
1 1
性质：( A/ )/  A
( I / )/  I
3. 矩阵的加法
定义 设A =(aij ) , B =(bij ) 都是 m×n 矩阵,
矩阵 A 与B 的和记成 A + B, 规定为
注意：只有同型矩阵才能相加。
• 例3 某工厂生产的甲、乙、丙三种产品，一、二两月在A、B、C三个
地区的销售如表
•
销售地
• 销量
• 产品 一月
二月
•
A
B
C
A
B
C
• 甲 98
24
42
55
19
44
• 乙 39
15
22
43
53
38
• 丙 22
15
17
11
40
20
• 将销售写成矩阵形式为
•
一月份
 98 24 42 


 39 15 22 
 22 15 17 


二月份
 55 19 44 


 43 53 38 
 11 40 20 


一、二两月份合计在各地区的销售量如下
表
• 销售地
• 销量
• 产品
•
A
B
C
• 甲 98+55
• 乙 39+43
• 丙 22+11
24+19
15+53
15+40
42+44
22+38
17+20
一、二两月份合计在各地区的销售量的矩阵
形式为
 98  55 24  19

 39  43 15  53
 22  11 15  40

42  44  153
 
22  38    82
17  20   33
43
68
55
86 

60 
37 
这说明：两个矩阵相加就是把两个矩阵的所有对应元素相加。
类似地，如果我们求一月份比二月份多销售量的产品数，应为
 98  55

 39  43
 22  11

24  19
15  53
15  40
42  44   43
 
22  38    4
17  20   11
5
38
25
2 

16 
3 
这说明：两个矩阵相减就是把两个矩阵的所有对应元素相减。
矩阵的加法运算满足规律
•
•
•
•
1. A + B = B + A (交换律)
2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律)
3. A + 0 = A
4. 设A = ( aij ) ,记 – A = ( − aij ) , 称 – A 为 A 的负矩阵,
易知
• A + ( − A ) = 0规定 A − B = A + ( − B )
• 例4 若
 1

A 5
 1

3
1


2, B  3
0
0


求A+B，A-B
1 

0 ,
1 

 11 3 1   2 4 

 

解：A  B   5  3 2  0    8 2 
 1  0 0  1   1 1

 

3 1   0 2 
 1 1

 

A  B   5  3 2  0    2 2
 1  0 0  (1)   1 1 

 

例5 已知
0 2 4


/
2）A  A/
A   4 1 2  求（1）A+A（
 3 2 1 


 0 2 4  0 4
 

解：（1）A+A/   4 1 2    2 1
 3 2 1   4 2
 

 0 2 4  0 4
 

（2）A  A/   4 1 2    2 1
 3 2 1   4 2
 

3   0 6
 
2   6 2
1   1 0
3   0
 
2  2
1   7
1

0
2 
2 7 

0 4 
4 0 
4. 数乘矩阵
• 前面例3中二月份各种产品销售量都是一月份两
倍则二月份销售量矩阵为
 55  2 19  2

 43  2 53  2
 11 2 40  2

44  2   110 38
 
38  2    86 106
20  2   22 80
88 

76 
40 
数乘矩阵的运算规律：
1   A     A    A
3   A  B   A  B
 2      A   A   A
5.矩阵的乘法
例6 某学校、后两年计划建造教学楼与宿舍楼，有
关建筑面积及单位面积材料平均耗用量如下表
教学楼建筑面积/100
宿舍楼建筑面积/100
明年
20
10
后年
30
20
教学楼
宿舍楼
钢材/t
水泥/t
2
18
1.5
15
木料/m3
4
5
因此，明、后两年三种建筑材料的耗用量如下表
钢材/t
水泥/t
木料/m3
明年
20×2+10×1.5=55
20×18+10×15=510
20×4+10×5=130
后年
30×2+20×1.5=90
30×18+20×15=840
30×4+20×5=220
上述三个数表用矩阵表示为
 2 18 4 
 20 10 


A
 B

30
20


1.5 15 5 


 20  20  20     55 510 130 

 

C 

 

 30   30   30      90 840 220 

 

• 可以看出矩阵C中第一行第一列的元素55等
于矩阵A的第一行所有元素与矩阵B的第一
列各对应元素的乘积之和，即
55=20×2+10×1.5
• 矩阵C中第二行第一列的元素90等于矩阵A
的第二行所有元素与矩阵B的第一列各对应
元素的乘积之和，即90=30×2+10×1.5
• 其余照此类推。矩阵A和B之间的这种关
系，可以表达成
 20

 30
 2 18
10  

20  
 1.5 15
4


5 
 20    20   20    




 30     30     30     


 55


 90

510
840
130 


220 
• 定义 设矩阵 A  (aik )ms , B  (bkj )s ，定义矩阵A与矩阵B的
乘积为 C  (Cij )m , 其中 Cij 是矩阵A的第 i行所有元素与
矩阵B的第 j列各对应元素的乘积之和，即
• 矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，即AB=C
• 求两个矩阵乘积的运算叫做矩阵的乘法。
• 由上述定义可以简记为 ：
 m行   s行   m行 




s
列
n
列
n
列


 

例7 已知
 1 0

A
 2 3

2 
0


,
B


1
5
1 

2 

3 
4 
求AB和BA
解：因为A的列数与B的行数相同，所以A与B可以
相乘。同理B与A可以相乘。
2 
 1 0 2  0



AB  
1
3


 2 3 1  5
4 


(1)2) 0 
 (1)  0  0  

  10 6 

 8 9 


 
2

2






2  1 0 2 
0



BA   1
3 

5

4 

 2 3 1 
 0  (1)         2)  4 6 2 

 

     
    
      5 9 1 
 5
  3 12 6 









 

从以上例题的结果表明：矩阵乘法不满足交换律
例8 已知
2 0

A

1 3
验证
1
0 7


, B   4 2


2 
2 0
1

3 

1 
( AB)  B A
/
/
/
 2 0 1  1 7 1  0 14


 
证： 因为 AB  
 4 2 3   


 
1
3
2
2
0
1


 17 13
 0
17 


/
所以（AB）
  14
13 



3
10


 2
1
 1 4 2




/
又因为 A   0
3  ，B /   7 2 0 
 1 3 1 



1
2




 2
1  1 4 2   0
17 


 

/ /
所以B A   0
3   7 2 0    14
13 


  1 3 1   3
10

1
2






即
/
（AB）
 B / A/
3



10 
矩阵乘法满足以下运算规律
（1）分配律 A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA：
（2）结合律 （AB）C=A（BC），（AB）=A（B）（其中 为常数）
（3）（AB）/  B / A/
（4） AI =I A=A（其中I 是单位矩阵）
例9 已知
 3
 1
A   2 1 , B    , C    , 求（
A B  C）
 2
2
解法1：因为
 3   1  2 
 2
B+C=        所以（
A B  C）= 2 1   （8）
 2  2   4
 4
 3
 1
解法1：因为（
A B  C）=AB+AC= 2 1     2 1   （8）（
 0）（
 8）
 2
2
第二节
矩阵的初等变化
• 一、 矩阵的初等变换的概念
• 二、 初等矩阵
• 三、 矩阵的秩
一、 矩阵的初等变换的概念
• 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩
阵的秩的有利工具。
• 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行
（列）作过三种变换——“初等变换”.
• 首先分析用消元法解线性方程组的初步。例题，
解线性方程组
x  x  x  4
(1)
2
3
 1

(2)
 4 x1  4 x2  x3  7
 x  2x  x  1
(3)
1
3
2


时( 1) - 4] +( 2) , ( 1)   得
 x1  x2  x3  4
（4）

（5）
 3 x3  9
 3 x  2 x  3 （6）
3

2

（5）
 ]后，在交换（5）和（6）方程得

（4）
 x1  x2  x3  4

（5）即求出x1  2, x2  1, x3  3
 3 x2  2 x3  3

x3  3 （6）

• 在上面求解过程中我们对方程组依次作了一些变
化和化简，所以作的变化有以下三种：
• （1）交换方程组中某两个方程组的位置；
• （2）用一个非零的乘以组中的每一个；
• （3）求出未知数的值；
• 以上例题可记
1

à = 4
1

1
4
2
1
1
1
4

7,
1 
• 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为
矩阵的行(列)初等变换.
• （1）对换变换 对换矩阵的任意两行（列）（对
换 i,j记作rij )
• （2）被乘变换 用非零常数λ 乘以矩阵的某一行
（列）（用 λ乘以第 j行记作rj(λ) )
• （3）被加变换 把矩阵中某一行（列）所有元素
的k倍加到另一行（列）的对应元素上去（第j行
的k被加到第 i行上，记作 ri+j(k))
• 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初
等变换.
• 定义2 若矩阵A经过有限次初等变换后成矩阵B，
则称矩阵A与B等价, 记作 A ~A ．
•
矩阵之间的等价关系有下列性质:
(1) 自反性： A ~A
• (2) 对称性： 若A~B则B ~A
• (3) 传递性： 若A~B，B~C则A~C
二、 初等矩阵
• 定义 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵,
称为初等矩阵．
•
三种初等变换对应着三种初等矩阵.
1. 初等对换矩阵
对单位矩阵I进行第1种初等变换，即对换I的
第 列两行后得到的矩阵
1








I (ij )  









1
0
1
1
1
1
0
1

















1 
初等对换矩阵 I(i,j)是对单位矩阵I进行对换变换 rij而得到的。
2.初等倍乘矩阵
对单位矩阵I进行第2种初等变换，即用非零
常数 λ乘以I的第i 行后得到的矩阵
1




I (i (λ))  





1
λ
1









1 
初等倍乘矩阵 I (i(λ)) 是对单位矩阵I进行倍乘变换
ri (λ) ，而得到的。
3. .初等倍加矩阵
对单位矩阵I进行第3种初等变换，即I中的第 j
行的K倍加到第i行的对应元素而得到的矩阵
1




I (i  j (k))  





1
k
1









1 
初等倍加矩阵 I (i  j (k)) 是对单位矩阵I进行
倍加变换
ri  j ( k ) ，而得到的
例如：设矩阵
 a11 a12 a13 a14 


A   a21 a22 a23 a24 
a a a a 
 31 32 33 34 
 0 1 0  a11 a12 a13 a14   a21 a22 a23 a24 


 

I (12) A   1 0 0  a21 a22 a23 a24    a11 a12 a13 a14 
 0 0 1  a a a a   a a a a 

 31 32 33 34   31 32 33 34 
 1 0 0   a11 a12 a13 a14   a11 a12 a13 a14 


 

I (3(λ)) A   0 1 0   a21 a22 a23 a24    a21 a22 a23 a24 
 0 0 λ   a a a a   λa λa λa λa 
32
33
34 

  31 32 33 34   31
a12
a13
a14 
 1 0 0  a11 a12 a13 a14   a11


 

I (2  I (k )) A   k 1 0  a21 a22 a23 a24    a21  ka11 a22  ka12 a23  ka13 a24  ka14 
 0 0 1  a a a a   λa
λa32
λa33
λa34 
31

 31 32 33 34  
• 对矩阵 Am×n 进行初等变换行（列）变换相当于
对左右乘相应m(n)阶初等矩阵，即
• （1）对换A的第 i，j两行等同于 I (ij ) A ；
• （2）用非零常数λ 乘以A的第 i行等同于
I (i(λ)) A
；
• （3）A的第 j乘以常数k加到第i 行等同于
I (i  j (k)) A
• 三、 矩阵的秩
• 矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线
性方程组的解等方面起着非常重要的作用.
• 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，
每个台阶只有一行即是非零行的行数，阶
梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后
面的第一个元素为非零元，也就是非零行
的第一个非零元.若非零行的第一个非零元
为1，且这些非零元所在的列的其他元素都
为0，则称矩阵阶梯矩阵。
• 例如，
1
0 1 0

0


A  0 0 1, B  

0





0
2
1
0
0
1
2
0
0
0
3
0
0
2

2
1

0
定义 若矩阵A等价于阶梯形矩阵B，
则B的非零行的行数r叫做矩阵的秩，
记作R（A）r
规定R（0）=0(零矩阵0没有非零行)
 1

 2 0 5 2
 3
A
,
B


 2
 2 4 1 0 

 0
求(1) R ( A); (2) R ( B ); (3) R ( AB )
1
4
2
5
0
6
1
1
0 

3 
4 

2
解：（1）因为
 2
A
 2
所以
2  r21(1)  2


4 1 0 —0
R ( A)  2
0
5
0
5
4
6
2

2
（2）因为
4
0 r
 1 1
 1
21( 3)

 r31( 2 ) 
3

2
5

3

 0
B
 2
0 6 4  —  0



1
1
2 
 0
 0
所以
R( B)  3
1
4
1 17
2
2
1
1
0 r
 1 1
3 2 ( 2 )


3  r42 ( 1)  0 1
4 — 0


2
 0 0
0 
 1 1
r
1


17 3  43(  2 )  0 1
32 10  —  0


16 5 
 0 0
4
0 

17 3 
32 10 

0
0
4
（3）因为
 2
AB=
 2
所以
0
5
4
1
 1 1

2   3 2

0 2
0

1
 0
R ( AB )  2
4
5
6
1
0 

3   8

4  16

2 
4
20
10
6
24  r21( 2 )  8


8  —  0
4
20
18
46
24 

56 
第三节
• 一、逆矩阵的概念
• 二、逆矩阵的性质
• 三、逆矩阵的求法
逆矩阵
一、逆矩阵的概念
• 在数的运算中，当 a  0时有 a1a  1在矩阵的运
算中，单位阵 I 相当于数的乘法运算中的1,那么
，对于矩阵A是否存在一个矩阵 A-1 使得
• AA-1=A-1A=I成立 ？为此有下面的逆矩阵的概念.
• 定义：对于 n 阶方阵 A ，如果有一个 n 阶方阵
B 使得AB=BA=I则说方阵A 是可逆的，并把矩
阵 B叫做A的逆矩阵，记做A-1。
例如：对于方阵
7 4
 1 4 
 7 4  1 4   1 0 
A   ，B  
 有 AB   
  I
2 1
 2 7 
 2 1  2 7   0 1 
 1 4  7 4   1 0 
BA  
      I即AB  BA  I .所以A可逆，B也可逆，且
 2 7  2 1   0 1 
 1 4  1  7 4 
A 
，B   
 2 7 
2 1
-1
例1设方阵
 1 4 3 
 2 2 3




A   1 5 3 ，B   1 1 0  验证B是否是A的逆矩阵.
 1 6 4 
 1 2 1 




解：因为
 1 4 3  2 2 3   1 0 0 


 

AB   1 5 3  1 1 0    0 1 0   I
 1 6 4  1 2 1   0 0 1 


 

所以B是A的逆矩阵，即A1  B
二、逆矩阵的性质
•
•
•
•
•
•
•
•
由逆矩阵的定义得出可逆矩阵以下性质
性质1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
1 1
（
A
-1
性质2 矩阵 A 的逆矩阵是A，即 ）  A
1
（AB）
 B 1 A1
性质3 若两个同阶方阵A和B都可逆，则AB可逆并且
（A/）1 （A1）/
性质4 若矩阵A可逆，则 λ 0则（λA）  1 A
λ
性质5 若矩阵A可逆，且数 .
关于逆矩阵，还有如下的结论：
（1）初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍然是初
等矩阵。
• （2）n阶方阵矩阵A是可逆矩阵当且仅当A等价于n阶单
位矩阵，当且仅当A表示为若干个初等矩阵的乘积。
1
1
三、逆矩阵的求法
上面的结论（2）给出了利用矩阵的初等变换求可逆
方阵矩阵 的一种方法。如果A可逆，则A必等价于
单位矩阵。
进行一系列初等变换
 A I  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  I A1 
例2 求方阵
 1

A 2
 3

1 

1 0 的逆矩阵
2 5 
1 0
 1 0 1

解：A   2 1 0
0 1
 3 2 5
0 0

0
1

——  0
0

r32 ( 2 )

1
r32 ( 2 )

——  0

0

0
1
1
0
2
2
0
1
1
0
0
1
0  r2r 1( 2 )  1
 31( 3) 
0  ——  0
 3
1 


1
1
0 0


1 1 0  ——  0
0
7 2 1 


5
1

1  
2
2

5
1 1 
所以
7
1 
1

2
2 
r
1
13(  )
2
r23(1)
0

0
2 5
3 0 1 
5
1
0 1

1  
2
2

1 0
5
1
1 
0 2
7
2
1 


1
 5

1

 2
2


A- 1   5
1 1 
 7
1 
1


2 
 2
0
1
1
2
1
2
0
1
• 由逆矩阵的求法可以看出：n阶方阵矩阵A 可逆的充分必要条件是R
（A）=n，即可逆方阵的秩等于其阶数。因此，可逆方阵又叫满秩方
阵而不可逆方阵叫降秩方阵。
• 为了给出用逆矩阵解线性方程组的方法，下面介绍线性方程组的矩阵
表示方法.
• 例如：
• 线性方程组
 a11 x1  a12 x2  ......  a1n xn  b1
a x  a x  ......  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

......

 am1 x1  am 2 x2  ......  amn xn  bm
(1)
a1n 
 a11 a12


a
a
a
2n 
A   21 22
,X




a
a
a
a
 m1 m 2 m3 m 4 
如果令
 x1 
 b1 
 
 
x
b2 
2



,B 
 
 
 
 
x
 n
 bm 
则根据矩阵乘法和矩阵相等的概念，
可将线性方程组写成AX=B方程中的未知数矩阵X
的问题
当一个线性方程组的未知数和方程个数相同且其
系数矩阵可逆时，可用逆矩阵方法求解。具体方
法是：
A AX  A B
先把线性方程组写成矩阵方程形式，然后在将它
1
1
A
AX

A
B
的两边都乘
，即得
1
A
于是，矩阵方程的解，
即原线性方程组的解是
X  A1B
1
1
例3
解方程组

x1 
x3  1


2 x1  x2
2

 3 x  2 x  5 x  5
1
2
3


解
设
0
1 
 1
 x1 
 1 






A=  2
1
0  ，X   x2  , B   2 
 - 3 2 - 5
x 
 5 


 3


则方程组可以写成AX  B
其解为
X=A- 1B
由例2知
 5
 2

 5
 7

 2
1
2

A 1
1
1  所以原方程的解为
1 
1

2 
1
 5
1
 
 2
 2 
2  1 





-1
X  x2  A B   5
1
1   2    2 
 3 
 7
1 
5 




1


2 
 2
即 x1 =2,
x2 =- 2, x3 =- 3
1

例4解方程组AXB=C，其中
1 2 3
 1 3
2
1






A   2 1 2  , B  
,C   2 0
 5 3
1 3 0
0 1




解 因为
9
7
 6

 19 19 19 


2
3
4
1
，B 1   3 1 所以用A1左乘B 1右乘方程AXB  C的两边得
A 



 19
19 19 
 5 2 


7
1
5


 19 19 19 
9
7
 6
 91

 19 19 19 
 19
1
3




3

1


2
3
4


 2 0
  62
X  A1CB 1  


  5 2   19
 19
19 19  



  0 1 

7
1
5


  65
 19 19 19 
 19
34 
19 

24 
19 

27 

19 
第四节
方阵行列式
• 一、方阵行列式的定义
• 二、行列式的性质
• 三、行列式的应用
一、方阵行列式的定义
• 行列式的理论起源于解线性方程组，因此线性代
数中行列式是一个重要的基本工具，本节将介绍
行列式的相关知识
• 1.二阶和三阶行列是
• 下面从线性方程组出发学习行列式的概念
• 如
 a11 x1  a12 x2  b1
(1) 
（）
1
a
x

a
x

b
 21 1 22 2 2
用加减法消元解线性方程组（），可得
1
(a11a22  a12 a21 ) x1  b1a22  b2 a12

(a11a22  a12 a21 ) x2  a11b2  a21b1
如果a11a22  a12 a21  0则方程（1）的解为
b1a22  b2 a12

x

 1 a a a a

11 22
12 21

 x  a11b2  a21b1
 2 a11a22  a12 a21
（2）
a a 
为了便于表示上述结果，把二阶方阵A= 11 12 的行列式的定义为
 a21 a22 
det ( A) =a11a22  a12 a21; 这里 det 是英文 det wr min ant (行列式）的前三个字母，我们用两根竖线和矩阵的元素来表示行列式：
det ( A) =
a11 a12
a21 a22
 a11a22  a12 a21单独地也把
a11 a12
a21 a22
叫做主对角线，从右上角到左下角的对角线叫做次对角线，
就是主对角线上的两个元素之积减去次对角线上的两个元素
之积的差。即二阶行列式表示排成二行，二列的四个数在规
定运算下的一个数值。
利用二阶行列式的定义，（2）式中的分母和两个分子可分
别表示为
a11a22  a12 a21
b1a22  b2 a12
a11

a21
b1

b2
a11
a11b2  a21b1 
a21
a12
a22
a12
a22
b1
b2
• 若令
a11 b1
b1 a12
a11 b1
D
; D1 
; D2 
; 则当D  0时，二元线性方程组（）的解可以表示为
1
a21 a22
b2 a22
a21 b2
x1 
D1
D
, x2  2
D
D
例1 用行列式解线性方组
2 x  4 y  1

 x  3y  2
解：因为D 
所以x1 
2 4
1 3
 64  2  0
D1 5
D 3
  ; x2  2 
D 2
D 2
D1 
1 4
2 3
 3  8  5
D2 
2 1
1 2
 4 1  3
 a x  a x  a x b
 11 1 12 2 13 3 1
a21x1 a22 x2  a23 x3 b2

 a31x1 a32 x2  a33 x3 b3
的解，把三阶方阵
a
a
a 
11
12
13 

A  a
a
a 的行列式定义为
21
22
23 

a
a
a 
 31 32 33 
（3）
a
a
a
11 12 13
a
a
a
a
a
a
22 23
21 23
21 22
1

1
1

2
1

3
def ( A)  a
a
a (1) a 
 (1) a
 (1) a
21 22 23
11 a
12
13 a
a
a
a
a
31 32
32 33
31 33
a
a
a
31 32 33
 a a a  a a a  a a a a a a a a a a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
a
a
22 23
其中
a
a
32 33
•
Aij
的余子式 M ij 乘以 (1)
代数余子式，记作
可以表示
•
i j
Aij  (1)i j Mij
后，称为元素 aij 的
即 这样以来def(A)就
det( A)
a11
a21
a12
a22
a13
a23  a11 A11  a12 A12  a13 A13
a31
a32
a33
 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12 a21a32  a13a22a31
• 同样，也单独称
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a31
a32
a33
aij
为三阶行列式
三阶行列式同样是在规定运算下的一个数值，而且它的计算
可以转化为二阶行列式计算。
a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a11a23a32  a12a21a33  a13a22a31
叫做三阶行列式的展开式.
aij（ i,j=1,2,3)为第i 行第 j列的元素。
利用三阶行列式的概念，当D≠0时，三元线性方程组
（3）的解也同样可以表示为
D
D
D
x1 
1
D
, x2 
2
D
, x3 
3
D
其中D是方程组（3）的系数行列式，D1,D2,D3 是用常数项
b1,b2,b3 构成的一列数分别替换D中第一、第二、第三列的
元素所得的三阶行列式，即
a11
D  a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 ,
a33
b1
D1  b2
b3
a11
D2  a21
a31
b1
b2
b3
a13
a23 ,
a33
a11
D3  a21
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
a13
a23 ,
a33
b1
b2 .
b3
线性方程组（1）（3）的唯一解分别称为二元、
三元线性方程组求解的克拉墨法则
例2 用克拉墨法则解线性方程组
 2 x1  x2  x3  2

 x1  x2  4 x3  0
3x  7 x  5 x  1
2
3
 1
解
因为
2 1 1
D 1
1
3 7
2
2
D2  1 0
3 1
4 =69  0，
5
1
4  23
5
所以方程组的解为
D1 69

x

 1 D  69  1

D2 23 1

x



 1
D 69 3

D3 23
1

x




 1 D
69
3

2
D1  0
1 1
1
1 7
4 =69，
5
2 1
2
D3  1 1 0 =- 23，
3 7 1
二、行列式的性质
• 为了进一步讨论二、三阶行列式，下面不加证明地给出行
列式的一些基本性质。
a11 a12 a13
• 定义 将三阶行列式
•
D  a21
a31
a22
a32
a23
a33
a11 a21 a32
• 中的行与列依次互换所得到的新行列式
D /  a12 a22 a32
a13 a23 a33
• 叫做D的转置行列式。显然D也是 D / 的转置行列
式
性质1
行列式D与它的转置行列式 相等，即
D  D/
例如，
a11 a12
a21 a22
 a11a22  a12a21 
a11 a21
a12 a22
 a11a22  a12a21
说明：在行列式中，行与列具有相同的地位，凡是
对行成立性质对列定成立；反之也正确
性质2 对换行列式的任意两行两列，行列式的 值
仅改变符号。
例如，二阶行列式
a21 a22
a11 a12
 a21a12  a22 a11  (a11a22  a12a21 )  
a11 a12
a21 a22
推论1 如果行列式中某两行（列）对应元素相同，
则此行列式的值为零。
性质3 用一常数K乘行列式的某行（列）的各元素，
等于用数K乘此行列式。
例如，二阶行列式
a11
a12
ka21 ka22
 a11ka22  a12 ka21  k (a11a22  a12 a21 )
推论2 行列式中某一行（列）的各元素的公因子
可以提到行列式记号的外面。
推论3 行列式中某一行（列）的所有元素全为零，
则此行列式的值为零。
推论4 行列式中某一行（列）的各元素对应成比
例，则此行列式的值为零。
性质4 行列式中某一行（列）的各元素都是两项之和，
则此行列式等于把这些两项和各取一项构成相应的行
（列）元素，而其余行（列）元素与行列式对应元素
相同的两个行列式之和。
例如
a11
a12
 a11 (b22  c22 )  a12 (b21  c21 )  (a11b22  a12b21 )  (a11c22  a12c21 )
b21  c21 b22  c22
a11 a12 a11 a12


b21 b22 c21 c22
推论6 行列式中某一行（列）的各元素加上另一
行（列）的对应元素的K倍，则行列式的值不变。
例3 利用行列式的性质计算下列行列式：
3
1
2
(1) D1  290 106 196
3
5
解
a b
(2) D2  b  c
bc
ca
ca
a b
ca
a b
bc
2
3
1
2
3
1
（1）290 106 196  300  10 100  6
3
5
（2）D2
=
c1  2(1)  3(1)
2
5
0
0
bc
ca
ca
a b  0
0
a b
bc
3
2
3
200  4  10
2
5
1
6
2
4  0  0  0
3
2
三、行列式的应用
1.逆矩阵的另一种求法
以上一个具体实例给出逆矩阵的另一种方法。
例4 求三阶方阵的逆矩阵
 1 2 3


A   2 0 1
 1 1 0 


解 设A的逆矩阵为A- 1 =( xij ) , 则由AA- 1 =I 即
 1 2 3   x11 x12


 2 0 1   x21 x22
 1 1 0   x

  31 x32
得以下三个方程
x13   1
 
x23    0
x33   0
0
1
0
0

0
1 
 x11  2 x21  3 x31  1

 2 x11  0 x21  x31  0
 x  x  0 x  0
21
31
 11
（1）
 x12  2 x22  3 x32  1

 2 x12  0 x22  x32  0
 x  x  0 x  0
22
32
 12
（2）
 x13  2 x23  3 x33  1

 2 x13  0 x23  x33  0
 x  x  0 x  0
23
33
 13
（3）
解方程组（1），（2），（3），便可得到逆矩阵A- 1的各个元素，这三个方程组的系数行列式都是
1
A  2
2
0
1 1
3
1  3  0得方程组（1）的解为
0
1
1
2
x11   , x21   , x31 
3
3
3
同理，方程组（2）和（3）的解为
x12  1, x22  1, x32  1,
2
5
4
x13  , x23  , x33   ,
3
3
3
一般得，设n阶方阵A=(aij)的行列
式 A  0 则A有唯一的逆矩阵存在，
且
A1
 A11
1 

A 
 A1n
An1 

,
ann 
An1 
 A11


其中方阵 
,
A

a
nn 
 1n
叫做方阵A的伴随矩阵，记作A* .
它的第j行i列的元素是A的第i行j列的元素
aij的代数余子式Ai j .
例7 求矩阵的逆矩阵：
 1
A
 3
2
；
4
解 因为
det（A）
1 2
3 4
 10  0所以A1存在。又由于 det（A）中各元素的代数余子式分别为
1 2
A11 （ 1）11 4  4，A12 （ 1）（
 3） 3，A21 （ 1）21 2  2，A22 （ 1）221  1，
 A11
因此A  
 A11
*
1
2

A21   4 2  - 1 1 * 1  4 2   5
5
故A  A  





A22   3 1 
A
10  3 1   3 1 


 10 10 