Transcript 第三节矩阵的初等变换

§3
矩阵的初等
变换
知识点回顾：克拉默法则
设
 a11 x1  a12 x2 
a x  a x 
 21 1
22 2


 an1 x1  an 2 x2 
 a1n xn  b1
 a2 n xn  b2
(1)
 ann xn  bn
结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则
该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）
结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的
系数行列式必为零. （P.24定理4'）
用克拉默法则解线性方程组的两个条件： 线性方程组的
解受哪些因素
(1) 方程个数等于未知量个数；
的影响？
(2) 系数行列式不等于零.
一、矩阵的初等变换
引例：求解线性方程组
 2 x1  x2  x3  x4  2,
 x  x  2 x  x  4,
 1
2
3
4

 4 x1  6 x2  2 x3  2 x4  4,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
①
②
③
④
 2 x1  x2  x3  x4  2,
 x  x  2 x  x  4,
 1
2
3
4

 4 x1  6 x2  2 x3  2 x4  4,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
①
①
②
③
④
②
③÷2
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 2 x  x  x  x  2,
 1
2
3
4

 2 x1  3 x2  x3  x4  2,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
①
②
③
④
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 2 x  x  x  x  2,
 1
2
3
4

 2 x1  3 x2  x3  x4  2,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
①
②
③
④
②－③
③－2×①
④－3×①
 x1  x2  2 x3  x4

2x 2  2 x 3  2 x 4


 5 x 2  5 x 3  3x 4


3 x 2  3 x 3  4 x4
 4, ①
 0, ②
 6, ③
 3. ④
 x1  x2  2 x3  x4

2x 2  2 x 3  2 x 4


 5 x 2  5 x 3  3x 4


3 x 2  3 x 3  4 x4
 4, ①
 0, ②
 6, ③
 3. ④
② ÷2
③＋5×②
④－3×②
 x1  x2  2 x3  x4

x 2  x 3  x4


2 x4


x4
 4, ①
 0, ②
 6, ③
 3. ④
 x1  x2  2 x3  x4

x 2  x 3  x4


2 x4


x4
③
 4, ①
 0, ②
 6, ③
 3. ④
④
④－2×③
 x1  x2  2 x3  x4  4,

x2  x3  x4  0,


x4  3,


0  0.
①
②
③
④
 x1  x2  2 x3  x4  4,

x2  x3  x4  0,


x4  3,


0  0.
①
②
③
④
恒等式
 x1  x3  4,

取 x3 为自由变量，则  x2  x3  3,
 x  3.
 4
 x1   c  4 
 1  4 
  

   
x
c

3
1  3 
2




令 x3 = c ，则 X 

c

.
 x3   c 
 1  0 
  

   
 x4    3 
 0   3 
三种变换：
交换方程的次序，记作 i
j
；
以非零常数 k 乘某个方程，记作 i ×k ；
一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .
其逆变换是：
i
j
i ×k
i ×k j
结论：
1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后
i
j
的方程组同解.
i ÷k
2. 在上述变换过程中，实际上只
对方程组的系数和常数进行运
i －k j
算，未知数并未参与运算．
定义1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
对调两行，记作 ri  rj ；
以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri  k ；
某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri  krj .
其逆变换是：
ri  rj
ri  rj ;
ri  k
ri  k;
ri  krj
ri  krj .
初等行变换
初等变换
初等列变换
把定义中“行”换成“列”，就得到矩阵初等列变换的定
义．
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
 2 x1  x2  x3  x4  2,
 x  x  2 x  x  4,
 1
2
3
4

 4 x1  6 x2  2 x3  2 x4  4,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
 2 1 1 1 2 


1

2
1
4
1

B
 4 6 2 2 4 


 3 6 9 7 9 
增广矩
阵
结论：
对原线性方程组施行的变换可以
转化为对增广矩阵的变换.
 2 x1  x2  x3  x4  2,
 x  x  2 x  x  4,
 1
2
3
4

 4 x1  6 x2  2 x3  2 x4  4,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
①
②
1 1 1
② 1
1 2
1

③ 4 6
2 2

④ 3
6 9 7
① 2
r1  r2
r3  2
③÷2
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 2 x  x  x  x  2,
 1
2
3
4

 2 x1  3 x2  x3  x4  2,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
2

4
B
4

9
1 2
1
②  2 1 1
1

③  2 3
1 1

④ 3
6 9 7
① 1
4

2
 B1
2

9
 x1  x2  2 x3  x4  4,
 2 x  x  x  x  2,
 1
2
3
4

 2 x1  3 x2  x3  x4  2,
 3 x1  6 x2  9 x3  7 x4  9.
1 2
1

1
②  2 1 1
1 1
③  2 3

6 9 7
④ 3
① 1
②－③
r2  r3
③－2×①
④－3×①
r3  2r1
r4  3r1
 x1  x2  2 x3  x4

2x 2  2 x 3  2 x 4


 5 x 2  5 x 3  3x 4


3 x 2  3 x 3  4 x4
4

2
 B1
2

9
 4, ①  1
1 2
1 4

 0, ②  0
2 2
2
0

 B2
 6, ③  0 5
5 3 6 


 3. ④  0
3 3
4 3 
 x1  x2  2 x3  x4

2x 2  2 x 3  2 x 4


 5 x 2  5 x 3  3x 4


3 x 2  3 x 3  4 x4
1 2
1 4
 4, ① 1


2 2
2
0
 0, ② 0
 B2
5 3 6 
 6, ③ 0 5


3 3
4 3 
 3. ④ 0
r2  2
② ÷2
r3  5r2
r4  3r2
③＋5×②
④－3×②
 x1  x2  2 x3  x4

x 2  x 3  x4


2 x4


x4
 4, ①  1
 0, ②  0

 6, ③  0

 3. ④  0
1 2 1 4 

1 1 1 0 
 B3
0
0 2 6 

0
0 1 3 
 x1  x2  2 x3  x4

x 2  x 3  x4


2 x4


x4
③
 4, ①  1

 0, ②  0
 6, ③  0

 3. ④  0
④
④－2×③
 x1  x2  2 x3  x4  4,

x2  x3  x4  0,


x4  3,


0  0.
1 2 1 4 

1 1 1 0 
 B3
0
0 2 6 

0
0 1 3 
r3  r4
r4  2r3
1 2 1 4 


0
②  0 1 1 1
 B4
0 1 3 
③ 0 0


0 0
0
④ 0 0
① 1
 x1  x2  2 x3  x4  4,

x2  x3  x4  0,


x4  3,


0  0.
1 2 1 4 


0
1

1
1
0
② 
B
4


0 1 3
③ 0 0


0 0
0
④ 0 0
① 1
r1  r2
r2  r3
1

0
0

0
0 1 0
4

1 1 0
3
 B5
0 0 1 3 

0 0 0
0
1

0
0

0
B5 对应方程组为
0 1
1 1
0 0
0 0
 x1  x3

 x2  x3

x4

0
4

0
3
 B5
1 3 

0
0
 4,
 3,
 3.
 x1   c  4 
 1  4 
  

   
x
c

3
1  3 
2





令 x3 = c ，则 X 
c

.
 x3   c 
 1  0 
  

   
 x4    3 
 0   3 
备注
 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
数乘矩阵、矩阵乘法
矩阵的转置
方阵的行列式
＋
×
T（上标）
|∙|
 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换
初等列变换
2、矩阵之间的等价关系
r
行等价，记作 A ~ B
A
有限次初等行变换
有限次初等列变换
B
c
列等价，记作 A ~ B
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
A
有限次初等变换
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性
A~ A ；
对称性
若 A ~ B，则 B ~ A ；
传递性
若 A ~ B, B ~ C，则 A ~ C．
1

0
0

0
行阶梯形矩阵：
1 2 1 4 

1. 可画出一条阶梯线，线的
1 1 1 0 
 B4
下方全为零；
0
0 1 3 

2. 每个台阶只有一行；
0
0 0
0
r1  r2
r2  r3
1

0
0

0
3. 阶梯线的竖线后面是非零
行的第一个非零元素.
行最简形矩阵：
0 1 0
4

4. 非零行的第一个非零元为1;
1 1 0
3
 B5 5. 这些非零元所在的列的其
0 0 1 3 

它元素都为零.
0 0 0
0
1

0
0

0
0 1 0
4
行最简形矩阵：

1 1 0
3
4. 非零行的第一个非零元为1;
 B5
0 0 1 3 
5. 这些非零元所在的列的其

它元素都为零.
0 0 0
0
c3  c4
c4  c1  c2
c5  4c1  3c2  3c3
1

0
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
标准形矩阵：

0
 F 6. 左上角是一个单位矩阵，其
0
它元素全为零.

0
 Er
F 
O
O

O  mn
标准形矩阵由m、n、r三个参
数完全确定，其中 r 就是行阶
梯形矩阵中非零行的行数.
三者之间的包含关系
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
标准形矩阵
结论
任何矩阵
有限次初等行变换
行阶梯形矩阵
有限次初等行变换
行最简形矩阵
有限次初等变换
有限次初等列变换
标准形矩阵
二、初等矩阵
定义2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩
阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵.
(1)对调单位阵的两行（列）；
(2)以常数 k≠0 乘单位阵的某一 行（列）；
(3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到
另一 行（列） ．
(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列），记作 Em( i, j )．
(2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列），记作 Em(i(k))．
(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 记作 Em(ij(k))．
(1) Em( i, j )
1

0
E5   0

0
0

0
1
0
0
0

0
0

0
0 0 0 1 
1

0
E5   0

0
0

0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0 0
0
0
0
1
r3  r5
0

0
0  c3  c5

0
0 1 
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0

0
1  记作 E5(3, 5)

0
0 1 0 0 
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0

0
1

0
0 1 0 0 
0
0
0
0
0
0
0
1
(2) Em(i(k))
1

0
E5   0

0
0

0
1
0
0
0

0
0

0
0 0 0 1 
1

0
E5   0

0
0

0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

0
0 0 0 1 
0
0
1
0
0
0
0
1
r3  k
c3  k
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0

0
0  记作 E5(3(5))

0
0 0 0 1 
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0
0
k
0
0
0
0
1
0

0
0

0
0 0 0 1 
0
0
k
0
0
0
0
1
(3) Em(ij(k))
1

0
E5   0

0
0

0

0
r3  r5  k
0

0
0 0 0 1 
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1

0
0

0
0

0

0
k  记作 E5(35(k))

0
0 0 0 1 
0
1
0
0
0
0
1
0
以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列．
 1 0 0 0 0
1 0



0
1
0
0
0


0 1
c53  k  0 0
E5   0 0 1 0 0  c53  ?



 0 0 0 1 0
0 0
 0 0 0 0 1
0 0



0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
k0 

0
0k 0 1 
0
0
0
1
A34
 a11

  a21
a
 31
a12
a13
a22
a32
a23
a33
a14 

a24 
a34 
 1 0 0


E3 (2, 3)   0 0 1 
 0 1 0


 1 0 0   a11


E3 (2, 3) A34   0 0 1   a21
 0 1 0 a

  31
a12
a13
a22
a32
a23
a 33
 a11

  a31
a
 21
a14 

a34 
a24 
a12
a13
a32
a22
a33
a 23
a14 

a 24 
a34 
A34
 a11

  a21
a
 31
a12
a13
a22
a32
a23
a33
a14 

a24 
a34 
 a11
A34 E4 (2, 3)   a21
a
 31
a12
a22
a32
a13
a23
a 33
 a11

  a21
a
 31
a13
a12
a23
a33
a22
a 23
1

0

E4 (2, 3) 
0

0
1
a14  
 0
a24 
0

a34  
0
a14 

a24 
a34 
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0

1
0
1
0
0
0

0
0

1
结论:
性质1 设A是一个 m×n 矩阵，
对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的
左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；
对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的
右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
口诀：左行右列.
初等变换
初等变换的逆变换
初等矩阵
?
因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都
是
 1 0 0 0 0
 1 0 0 0 0
 1 0 0 0 0
可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，

0
E5   0

0
0


1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 0 0 1 
r3  r5

0
0

0
0


1 0 0 0
0 0 0 1

0 0 1 0
0 1 0 0 
E5 (3,5)E5
所以 E5 (3,5)1  E5 (3,5) ．
一般地， E(i , j )1  E(i , j ) ．
r3  r5

0
0

0
0


1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 0 0 1 
E5 (3,5) E5 (3,5) E5
 E5 (3,5) E5 (3,5)
 E5
因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都
是
 1 0 0 0 0
 1 0 0 0 0
 1 0 0 0 0
可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，

0
E5   0

0
0


1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 0 0 1 
r3  k

0
0

0
0


1 0 0 0
0 k 0 0

0 0 1 0
0 0 0 1 
E5 (3(k )) E5
  1 
所以 E5 (3(k ))  E5  3    ．
  k 
1
  1 
一般地，E ( i ( k ))  E  i    ．
  k 
1
r3 ?
k

0
0

0
0


1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 0 0 1 
  1 
E5  3    E5 (3(k )) E5
  k 
  1 
 E5  3    E5 (3( k ))
  k 
 E5
因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都
是
1 0 0 0 0
可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，
1 0 0 0 0
 1 0 0 0 0

0
E5   0

0
0


1 0 0 0 c  c k
5
3
0 1 0 0

0 0 1 0
0 0 0 1 

0
0

0
0



1 0 0 0 c  c  (k ) 0
5
3
?
0
0 1 0 k


0 0 1 0
0
0
0 0 0 1 

E5 E5 (35(k ))
所以 E5 (35(k ))1  E5 (35(k )) ．
一般地， E(ij(k ))1  E(ij(k )) ．

1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 0 0 1 
E5 E5 (35(k ))E5 (35(k ))
 E5 (35(k )) E5 (35(k ))
 E5
初等变换
初等矩阵
初等变换的逆变换
初等矩阵的逆矩阵
?
初等矩阵的逆矩阵是：
E(i , j )1  E(i , j );
  1 
E (i (k ))  E  i    ;
  k 
1
E(ij(k ))1  E(ij(k )).
定理
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,
P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可逆
矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．
r
推论1
方阵 A 可逆的充要条件是 A ~ E .
推论2
方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆
矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B .
三、初等变换的应用
设A是方阵，E是同阶单位阵.若
r
( A, E ) ~( E , X )
1
A
 X.
则A是可逆矩阵且
例1
 1 2 0
设 A   1 1 1  ，求 A 1 .
 2 1 1 


解：
 1 2 0 1 0 0


( A, E )   1 1 1 0 1 0 
 2 1 1 0 0 1 


 1 2 0 1 0 0


~  0 1 1 1 1 0 
 0  5 1 2 0 1 


r2  r1
r3  2 r1

1 
0 2 1
1
2
0
1
0
0
r3 (  ) 1


4
r3  5 r2

 ~  0 1 1 1
~  0 1 1 1 1 0 


 0 0  4 3 5 1 
3


0 0 1 

4

2
0 

1 0 
5
1
 
4
4
1

1 0 0 2

r1  2 r3
1

~ 0 1 0
r2  r3 
4

0 0 1  3

4

1

2
1
4
5
4
 1
 2

1
1

所以，A可逆且 A 
 4

 3
 4

1

2
1
4
5
4
1 
2 

1

4

1
 
4
1 
2 

1

4

1
 
4
作
P42
业
1.（3）; 2.（3）;
4.（2）；