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§3一4、矩阵的秩 (Rank of Matrix)
一、矩阵秩的概念
把m×n矩阵A的每一行看成一个向量,那么
矩阵A可看成是行向量的组合,每一列看成一
个列向量,那么矩阵A可看成是列向量的组合.
Def 15.
矩阵行向量的秩称为行秩
矩阵列向量的秩称为列秩
任何矩阵
把它变为行阶
数是唯一确定的
A m  n , 总可经过有限次初等行
变换
梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行
.
引理 : 如果齐次线性方程组
 a 11 x 1  a 12 x 2    a 1 n x n  0 ,

 a 21 x 1  a 22 x 2    a 2 n x n  0






a x  a x    a x  0
m2 2
mn
n
 m1 1
系数矩阵 A 的秩 r  n , 那么线性方程组有非零
Theorem
4 .矩阵的行秩等于矩阵的
定义
矩阵的秩  
  矩阵行秩
列秩 .
 矩阵的列秩
解
• Theorem 5.n×n矩阵
 a 11

 a 21
A


a
 n1
a 12
a 22

an2
 a1n 

 a 2n 




 a nn 
• 的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.
• 推论:齐次线性方程组An×nx=0有非零解的充
分必要条件是|A|=0.
定义 16
在 m  n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（ k  m ,
k  n ），位于这些行列交叉
处的个 k
变它们在
A 中所处的位置次序而得
称为矩阵
A 的 k 阶子式 .
m  n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
2
元素 , 不改
的 k 阶行列式，
Cm  Cn 个.
k
k
Theorem 6 一矩阵的秩为r的充分必要条件是
矩阵中有一个r阶子式不等于零,所有r+1阶子
式全等于零.
定义
设在矩阵
式 D ，且所有
A 中有一个不等于
0 的 k 阶子
r  1 阶子式（如果存在的话
）全等
于 0，那末 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数
称为矩阵
A 的秩，记作
R ( A ) .并规定零矩阵的秩
等于零 .
m  n 矩阵 A 的秩 R ( A ) 是 A 中不等于零的
子式的最高阶数
.
对于 A ， 显有 R ( A )  R ( A ).
T
T
r
例1
解
1

求矩阵 A   2

4
在 A 中，
1
2
2
3
2
3
7
3 

 5  的秩 .

1 
 0.
又  A 的 3 阶子式只有一个

R ( A )  2.
A ， 且 A  0，
2

0
例2 求矩阵 B  
0

0
解 

2
1
0
3
3
1
2
0
0
4
0
0
0
 2

5
的秩 .

3

0
B 是一个行阶梯形矩阵，
其非零行有
B 的所有 4 阶子式全为零
.
1
而 0
3
0
0
3
 2  0,
4

R ( B )  3.
3 行，
 1

已知 A   0

 2
例3
解 
1
3
0
2
3
2
2
1
0
1
 2  0,
2

3 ，求该矩阵的秩．

5
计算A的3阶子式，
2
1
3
2
1
3
2
0
2
 1  00,
2
 20 ,  1
3
2
0
0
5
 0.
1
2
 R  A   2.
3
0
1
1
2
2
 00,
3 
1
3  0,
2
5
2
1
5
另解

 1

对矩阵 A   0

 2
 1

 0

 2
3
2
2
1
0
1
3
2
2
1
0
1
2 1
 
3 ~ 0
 
5 0
2

3  做初等变换，

5
3
2
2
1
0
0
2

3 ,

0
显然，非零行的行数为2，
 R  A   2.
此方法简单！
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初
等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
矩阵经过初等变换秩保持不变.
证 先证明：若 A 经一次初等行变换变为
B，
则 R ( A )  R ( B ).
设 R ( A )  r ，且 A 的某个 r 阶子式 D r  0 .
ri  r j
ri  k
当 A    B 或 A  
  B 时，
在 B 中总能找到与
D r 相对应的子式
D r ,.
由于 D r  D r 或 D r   D r 或 D r  kD r ,
因此 D r  0，从而 R ( B )  r .
r  kr
i
当A 
j  B 时，分三种情况讨论：
（1） D r中不含第 i 行；
（ 2） D r中同时含第 i 行和第 j 行；
（ 3） D r中含第 i 行但不含第 j 行；
对 ( 1 ), ( 2 ) 两种情形，显然
B 中与 D r 对应的
子式 D r  D r  0 , 故 R ( B )  r .
对情形 ( 3 )，



D r  ri  kr j  ri  k r j  D r  k Dˆ r ,



若 Dˆ r  0 ,
因 Dˆ r 中不含第
非零子式 ,
i 行知 A 中有不含第

R(B )  r.
i 行的 r 阶
若 Dˆ r  0 ,
则 D r  D r  0 , 也有 R ( B )  r .
若A经一次初等行变换变为B，则 R( A)  R( B ).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A,
故也有 R( B )  R( A).
因此 R( A)  R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经
有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设 A 经初等列变换变为
B , 也有 R ( A )  R ( B ).
设 A 经初等列变换变为
T
则 A 经初等行变换变为
B,
T
B ,
R ( A )  R ( B ),
T

T
且 R ( A )  R ( A ), R ( B )  R ( B ),
T

T
R ( A )  R ( B ).
综上 , 若 A 经有限次初等变换变为
B( 即
A ~ B ), 则 R ( A )  R ( B ).
证毕
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
例4
3

3
设 A
2

1
秩，并求
2
0
5
2
3
6
0
1
5
6
4
1
0 

 1
, 求矩阵 A 的

3

4 
A 的一个最高阶非零子式
解 对 A 作初等行变换，变成行
．
阶梯形矩阵：
3

3
A
2

1
r1  r4
2
0
5
2
3
6
0
1
5
6
4
1
1

3
2

3
0 

 1
 3

4 
6
4
1
2
3
6
0
1
5
2
0
5
4 

 1
 3

0 
3

3
A
2

1
r1  r4
r2  r4
2
0
5
2
3
6
0
1
5
6
4
1
1

0
2

3
0 

 1
 3

4 
6
4
1
4
3
1
0
1
5
2
0
5
4 

 1
 3

0 
3

3
A
2

1
r1  r4
r2  r4
r3  2 r1
r4  3 r1
2
0
5
2
3
6
0
1
5
6
4
1
1

0
0

0
0 

 1
 3

4 
6
4
1
4
3
1
 12
9
7
 16
12
8
4 

1 
 11 

 12 
r3  3 r2
r4  4 r2
r4  r3
1

0
0

0
1

0
0

0
6
4
1
4
3
1
0
0
4
0
0
4
6
4
1
4
3
1
0
0
4
0
0
0
4 

 1
 8

 8
4 

 1
 8

0 
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R ( A )  3 .
求 A 的一个最高阶子式

R ( A )  3,
.
知 A 的最高阶非零子式为
A 的 3 阶子式共有
3阶 .
C 4  C 5  40 个 .
3
3
考察 A 的行阶梯形矩阵，
记 A  ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ), 则矩阵 B  ( a 1 , a 2 , a 4 )的行
阶梯形矩阵为
1

0
0

0
6
4
0
0
 1

1 
4 

0 

R ( B )  3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个 .
计算 B 的前三行构成的子式
3
2
5
3
2
5
2
0
5  2
0
5
3
2
6
0
11
 2
6
2
5
6
11
 16  0 .
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵

A  0, 
R( A)  n,
A，
A 的最高阶非零子式为
故 A 的标准形为单位阵
可逆矩阵的秩等于阶数
为满秩矩阵
E,A ~ E.
，故称可逆矩阵
. 奇异矩阵为降秩矩阵
A,
.
例5
 1

 2
设A 
 2

 3
2
2
4
8
4
2
6
0
 1
1

 
0 
 2
,b 

 3
3

 
 6
4
求矩阵 A 及矩阵 B  ( A b )的秩 .
解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为
~ ~
~
B  ( A , b ),
~
则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，
~ ~
~
故从 B  ( A , b ) 中可同时看出
R ( A ) 及 R ( B ).
 1

 2
B 
 2

 3
r2  2 r1
r3  2 r1
r4  3 r1
1

0
0

0
2
2
1
4
8
0
4
2
3
6
0
6
2
2
1
0
4
2
0
2
1
0
6
3
1

2
3

4
1

0
5

1
r2  2
r3  r2
r4  3 r2
r3  5
r4  r3
1

0
0

0
2
2
1
0
2
1
0
0
0
0
0
0
1

0
0

0
2
2
1
0
2
1
0
0
0
0
0
0
 R ( A )  2,
R ( B )  3.
1

0
5

1
1

0
1

0
三、小结
1. 矩阵秩的概念
R(A)＝r  矩阵行向量的秩等于r
 矩阵列向量的秩等于r
 矩阵A中有r阶不等于零的子式，
而所有r＋1阶子式全为零
 A的行阶梯形矩阵中有r个非零向量
A的最简形矩阵是Er＋0
2.
求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(2)初等变换法
思考题
1、若R(A)＝r，是否A中所有r阶子式或(r-1)
阶子式不为零？
2、设A是矩阵B中划下去1列得到的矩阵，则
矩阵A的秩与矩阵B的秩满足什么关系？
3、R(A)＝0的充分必要条件是什么？
4、若矩阵A中存在k阶不等于零的子式，
则 R(A)满足什么关系？
5、若矩阵A中所有k阶子式全为零，
则R（A）满足什么关系？
作业：P154－15、16