Transcript 高等代数精品课程教学实验课件九

《高等代数》数学实验
(实验九)
问题提出
矩阵和行列式是一对孪生兄弟，都是从研
究线性方程组的问题引出来的。矩阵的逆和矩
阵的秩与行列式的求值息息相关。矩阵和行列
式是《高等代数》的最重要内容，它们有着广
泛的应用。熟练掌握行列式的计算、求矩阵的
秩、求矩阵的逆是十分必要的。
实验目的
1、掌握矩阵秩的概念及算法 ；
2、掌握逆矩阵的概念及算法 ；
3、掌握行列式的概念及行列式
的计算。
预备知识
1、矩阵的秩
2、矩阵的逆阵
3、行列式的计算
前 进
1、矩阵的秩
返 回
一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做
这个矩阵的秩。
矩阵秩的求法，主要有两种：
(1)利用矩阵秩的的定义；
(2)利用初等变换，把矩阵化为行最简形式
或对角阵，不全为零的元素的行数就是矩阵的秩。
2、矩阵的逆阵
返 回
设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使
AB  BA  E 成立，则称方阵A可逆，且把B称为
A的逆矩阵。
矩阵A存在逆阵  A  0
求矩阵的逆阵通常有两种方法：
（1）伴随矩阵法
（2）初等变换法
返 回
3、行列式的计算
行列式的计算主要有两种方法
（1）化为三角形行列式计算，主要是采用初
等变换，把行列式化为三角形行列式进行计算。
（2）按行（列）展开
 ai1 Ai1  ai 2 Ai 2    ain Ain
D
a1 j A1 j  a2 j A2 j    anj Anj
i  1,2,, n(按第i行展开)
j  1,2,, n(按第j列展开)
主要是采用初等变换，把行列式的某行或某列
化成很多零，然后按该行（列）展开，以达到降阶
的目的。
实验内容与要求
1、掌握矩阵秩的概念及算法 ；
2、掌握逆矩阵的概念及算法 ；
3、掌握行列式的概念及行列式
的计算。
命令详解
函
数
意
义
Det[A]
求矩阵A的行列式
NullSpace[A]
给出奇次线性方程组AX=0的基础解系
Length[NullSpac
给出奇次线性方程组AX=0的基础解系的维
e[A]]
数
Inverse[A]
求矩阵A的逆矩阵
操作演示（一）
例1 求行列式
3
1 1 2
5 1
3 4
D
2
0
1 1
1 5 3 3
实例演示
操作演示（二）
实例演示
例2 计算四阶Vandermonde行列式
1
a
2
a
3
a
1
b
2
b
3
b
1
c
2
c
3
c
1
d
2
d
3
d
操作演示（三）
实例演示
例3 计算n阶行列式
x
1
0

0
0
0
x
1

0
0
0
D

0

x

 0
 
0

0
0
0

1
an
x
an 1 an  2  a2
x  a1
操作演示（四）
例4 解线性方程组
 x1  x2  2 x3  3 x4  1
3 x  x  x  2 x  4
 1 2
3
4

2 x1  3 x2  x3  x4  6
 x1  2 x2  3 x3  x4  4
实例演示
操作演示（五）
实例演示
例5 求A的逆阵矩阵
1 1 4  3
4
0
A 1
1
0
0
1
2 3
1 2
2
0
0
5
0
0
1
2
1
1
操作演示（六）
实例演示
例6 （教材P160第6题） 取怎样的值时，
线性方程组有唯一解，没有解，有无穷解。
 x1  x2  x3  1

 x1  x2  x3  
 x  x  x  2
3
 1 2
作业
1、求行列式的值
1 5
3
0 1
2
(1) D 
5 1  3
4 3 1
2
4
0
2
1 4 9
4 9 16
(2) D 
9 16 25
16 25 36
16
25
36
49
1 2 1


2、（教材P205的第3题）求矩阵 A   3 4  2 
5  3 1 


的秩，若有逆矩阵求之。
3、（教材P205的第4题）求A的逆矩阵。
1 1  2  3  4


0 1 1  2  3
A  0 0
1 1  2


0
1 1
0 0
0 0

0
0
1


4、 （教材P159第5题） 取怎样的值时，线性方程组有解？
 x1  x2  2 x3  3 x4  2
 2
 x1  3 x2  2 x3  x4  1
 3 x  x  2 x  x  1
3
4
 1 2