Transcript 第5讲 - 应用数学家园

工程数学线性代数第5讲
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1
例1 某厂向三个商店发送四种产品的数
量可列成矩阵
 a11 a12

A  a21 a22

a
 31 a32
a13
a23
a33
a14 

a24

a34 
其中aij为工厂向第i店发送第j种产品的数量.
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵
 b11
b
B   21
 b31
b
 41
b12 
b22 

b32 

b42 
其中bi1和bi2为第i种产品的单价和重量.
2
 a11 a12

A  a21 a22

a
 31 a32
a13
a23
a33
a14 

a24

a34 
 b11
b
21

B
 b31
b
 41
b12 
b22 

b32 
b42 
此例中A与B的乘积AB=C=(cij)32为向三
个商店所发产品的总值及总重量所构成
的矩阵, 即ci1为向第i店所发产品的总值,
ci2为向第i店所发产品的总重量.
3
例2 四个城市间的单向航线如图所示.
若令
1
4
1, 从i市到j市有1条单向航线,
aij  
0,从i市到j市没有单向航线,
2
3
则上图可用矩阵表示为
0
1
A=(aij )  
0
1

1 1 1
0 0 0

1 0 0

0 1 0
4
1, 从i市到j市有1条单向航线,
aij  
0,从i市到j市没有单向航线,
则上图可用矩阵表示为
0
1
A=(aij )  
0
1

有
2
0
A2  
1
0

1 1 1
0 0 0

1 0 0
0 1 0 
1 1 0

1 1 1

0 0 0
2 1 1 
1
4
2
3
记A2=(bij), 则bij为从i
市经一次中转到j市
的单向航线数
5
1
4
 2 1 1 0
0 1 1 1

A2  
1 0 0 0
0 2 1 1
2
3


记A2=(bij), 则bij为从i市经一次中转到j市的单向航线
数. 例如
b23=1, 从2市经一次中转到3市的单向航线只有一条
(213)
b42=2, 从4市经一次中转到2市的单向航线有2条
(412,432)
b11=2,过1市的双向航线有两条(121,141).
b33=0, 过3市没有双向航线.
6
例3 n个变量x1,x2,…,xn与m个变量
y1,y2,…,ym之间的关系式
 y1  a11 x1  a12 x2   a1n xn ,
 y a x a x  a x ,
 2
21 1
22 2
2n n


 ym  am1 x1  am 2 x2   amn xn
(2)
表示一个从变量x1,x2,…,xn到变量y1,y2,…,ym
的线性变换, 其中aij为常数. 线性变换(2)的
系数aij构成矩阵A=(aij)mn.
7
 y1  a11 x1  a12 x2   a1n xn ,
 y a x a x  a x ,
 2
21 1
22 2
2n n


 ym  am1 x1  am 2 x2   amn xn
线性变换可表示为矩阵乘法
Y=AX,
其中
 x1 
 y1 
x 
y 
2
2 


A  (aij ), X 
,Y 
 
 
x 
y 
 n
 m
(2)
8
 x1 
 y1 
x 
y 
2
2 


A  (aij ), X 
,Y 
 
 
x 
y 
 n
 m
列向量(列矩阵)X表示n个变量x1,x2,…,xn,
行向量Y表示m个变量y1,y2,…,ym, 线性变
换Y=AX, 把X变成Y, 相当于用矩阵A去左
乘X得到Y.
9
y
O
P
P1
x
1 0
 x
用矩阵 A  
左乘向量OP   , 相当

0 0
 y
于把向量OP 投影到 X 轴上.
10
y
P1
j
O
P
q
x
 cos j  sin j 
用 矩 阵 A
左 乘 向 量

 sin j cos j 
 x
OP   , 相当于把向量OP 旋转j角.
 y
11
 cos j  sin j 
进一步还可推知, 以 A  
左

 sin j cos j 
乘向量OP , 应把向量OP 旋转 n 个j角, 即旋
n
n
转 nj 角 , 而 旋 转 nj 角 所 对 应 的 矩 阵 为
 cos nj  sin nj 
 sin nj cos nj  .


12
例6 证明
n
 cos j  sin j   cos nj  sin nj 
 sin j cos j    sin nj cos nj 

 

证 用数学归纳法, 当n=1时, 等式显然成立.
设n=k时成立, 即设
 cos j
 sin j

 sin j   cos kj


cos j   sin kj
k
 sin kj 

cos kj 
要证n=k+1时成立, 此时有
13
k 1
 cos j  sin j 
 cos j  sin j   cos j  sin j 
 sin j cos j    sin j cos j   sin j cos j 



 

 cos kj  sin kj  cos j  sin j 

 sin j cos j 
sin
k
j
cos
k
j



 cos kj cos j  sin kj sin j  cos kj sin j  sin kj cos j 


sin
k
j
cos
j

cos
k
j
sin
j

sin
k
j
sin
j

cos
k
j
cos
j


 cos( k  1)j  sin( k  1)j 

.

 sin(k  1)j cos( k  1)j 
k
等式得证.
14
四、矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到
一个新矩阵, 叫做A的转置矩阵, 记作AT.
例如矩阵
1 2 0
A

 3 1 1 
的转置矩阵为
1 3 

T 
A = 2 -1


0 1 


15
矩阵的转置也是一种运算, 满足下述运算
规律(假设运算都是可行的):
(i) (AT)T=A;
(ii) (A+B)T=AT+BT;
(iii) (lA)T=lAT;
(iv) (AB)T=BTAT.
16
下面证明(AB)T=BTAT.
设A=(aij)ms, B=(bij)sn, 记AB=C=(cij)mn,
BTAT=D=(dij)nm. 按矩阵相乘公式有
s
c ji   a jk bki
k 1
而BT的第i行为(b1i,…,bsi), AT的第j列为
(aj1,aj2,…,ajs)T, 因此
s
s
k 1
k 1
dij   bki a jk   a jk bki ,
所以 dij=cji (i=1,2,…,n,j=1,2,…,m),
即D=CT, 亦即
BTAT=(AB)T
17
例7 已知
 1 7 1
 2 0 1


,B  4 2 3 ,
A



2
3
1


2 0 1 


求(AB)T.
18
解法1 因为
 1 7 1
 0 14 3 
 2 0 1 

,
4 2 3 
AB  




2
3
1
  2 0 1  17 13 10 



所以
 0 17 


T
( AB )  14 13 .


 3 10 


19
解法2
 1 4 2  2 1   0 17 





T
( AB )  7 2 0 0 3  14 13 ,

 


 1 3 1  1 2   3 10 

 


20
设A为n阶方阵, 如果满足AT=A, 即
aij=aji (i,j=1,2,…,n)
那么A称为对称矩阵, 简称对称阵.
对称阵的特点是: 它的元素以对角线为对
称轴对应相等.
21
例8 设列矩阵X=(x1,x2,…,xn)T满足XTX=1, E
为n阶单位阵, H=E-2XXT, 证明H是对称阵,
且HHT=E.
(必须注意到XTX=x12+x22+…+xn2)是一阶方
阵, 也就是一个数, 而XXT是n阶方阵.)
22
证
HT=(E-2XXT)T
=ET-2(XXT)T
=E-2XXT=H.
所以H是对称阵.
HHT=H2=(E-2XXT)2
=E-4XXT+4(XXT)(XXT)
=E-4XXT+4X(XTX)XT
=E-4XXT+4XXT=E
23
五、方阵的行列式
定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列
式(各元素的位置不变), 称为方阵A的行
列式, 记作|A|或detA.
应该注意, 方阵与行列式是两个不同的概
念, n阶方阵是n2个数按一定方式排成的
数表, 而n阶行列式则是这些数(也就是数
表A)按一定的运算法则所确定的一个数.
24
由A确定|A|的这个运算满足下述运算规
律(设A,B为n阶方阵, l为数):
(i) |AT|=|A|;
(ii) |lA|=ln|A|;
(iii) |AB|=|A||B|.
25
证明 |AB|=|A||B|:
设A=(aij), B=(bij). 记2n阶行列式
a11
a1n
O
an1
ann
A O
D

,
1
b11
b1n  E B
1
1 bn1
bnn
可知D=|A||B|
26
a11
a1n
O
D
an1
ann
1
b11
b1n
1 bn1
bnn

A
O
E
B
,
1
而在D中以b1j乘第1列, b2j乘第2列,…, bnj乘
第n列, 都加到第n+j列上(j=1,2,…,n), 有
A C
D
.
E O
其中C=(cij), cij=b1jai1+…+bnjain. 故C=AB
27
再对D的行作rjrn+j(j=1,2,…,n), 有
D
A
C
E O
 (1)
n
E O
A
C
,
从而有
D=(-1)n|-E||C|=(-1)n(-1)n|C|=|AB|.
于是
|AB|=|A||B|.
证毕
由性质(iii), 对于n阶矩阵A,B, 一般来说
ABBA, 但总有
|AB|=|BA|
28
例9 行列式|A|的各个元素的代数余子式
Aij所构成的如下矩阵
An1 
 A11 A21
A

A22
An 2
12
*

A 


A

Ann 
 1n A2 n
称为A的伴随矩阵, 简称伴随阵. 试证
AA*=A*A=|A|E.
29
证 设A=(aij), 记AA*=(bij), 则
bij=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=|A|dij
故 AA*=(|A|dij)=|A|(dij)=|A|E.
类似有
n


*
A A    Aki akj   (| A | d ij ) | A | E .
 k 1

30
六、共轭矩阵
当 A=(aij)为复矩阵时, 用 aij 表示 aij 的共轭复
数, 记
A  (aij ).
A称为 A 的共轭矩阵.
共轭矩阵满足下述运算规律(设 A,B 为复矩
阵, l为复数, 且运算都是可行的):
(i) A  B  A  B;
(ii) l A  l A
(iii) AB  AB
31
§3 逆矩阵
32
设给定一个线性变换
 y1  a11 x1  a12 x2   a1n xn ,
y  a x  a x   a x ,
 2
21 1
22 2
2n n


 yn  an1 x1  an 2 x2   ann xn .
(7)
它的系数矩阵是一个n阶矩阵A, 若记
 x1 
 y1 
x 
y 
X   2  ,Y   2  ,
 
 
x 
y 
 n
 n
(7)可记作
Y=AX
(8)
33
Y=AX
(8)
以A的伴随阵A*左乘上式两端, 并利用例
9的结果, 可得
A*Y=A*AX, 即 A*Y=|A|X.
记
1 *
B
A 上式可记作
| A|
X=BY.
(9)
(9)式表示一个从Y到X的线性变换, 称为
线性变换(8)的逆变换.
34
Y=AX
(8)
X=BY
(9)
用(9)代入(8), 可得
Y=A(BY)=(AB)Y.
可见AB为恒等变换所对应的矩阵, 故
AB=E. 用(8)代入(9)得
X=B(AX)=(BA)X,
知有BA=E. 于是有
AB=BA=E
由此引入逆矩阵的定义.
35
定义7 对于n阶矩阵A, 如果有一个n阶矩
阵B, 使
AB=BA=E
则说矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的
逆矩阵, 简称逆阵.
36
如果矩阵A是可逆的, 那么A的逆阵是惟
一的. 这是因为: 设B,C都是A的逆阵, 则
有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
所以A的逆阵是惟一的.
因此可以用一个记号来表示它.
A的逆阵记作A-1. 即若AB=BA=E, 则
B=A-1.
37
定理1 若矩阵A可逆, 则|A|0.
证 A可逆, 即有A-1, 使AA-1=E, 故
|A||A-1|=|E|=1, 所以|A|0.
38
定理2 若|A|0, 则矩阵A可逆, 且
1 *
1
A 
A,
(10)
| A|
其中A*为矩阵A的伴随阵.
证 由例9知 AA*=A*A=|A|E,
因|A|0, 故有
1 *
1 *
A
A 
A A  E,
| A|
| A|
所以, 按逆阵的定义, 即知A可逆, 且有
1 *
1
A 
A
证毕
| A|
39
当|A|=0时, A称为奇异矩阵, 否则称为非
奇异矩阵. 由上面的两定理可知, A是可
逆矩阵的充分必要条件是|A|0, 即可逆
矩阵就是非奇异矩阵.
40
推论 若AB=E(或BA=E), 则B=A-1.
证 |A||B|=|E|=1, 故|A|0, 因而A-1存在, 于
是
B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1(E)=A-1.
证毕
因此, 如果很辛苦地算出一个A的逆, 只
需要验算AB=E, 或者BA=E就足够 , 一些
证明题要证明某个矩阵是另一个矩阵的
逆也是只要证明它们满足上两式中的一
个就行.
41
方阵的逆阵满足如下运算规律:
(i) 若A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1=A.
(ii) 若 A 可逆, 数l0, 则lA 可逆, 且
1 1
1
(l A)  A
l
(iii) 若A,B为同阶矩阵且均可逆, 则AB亦可
逆, 且 (AB)-1=B-1A-1.
证 (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,
由推论, 即有(AB)-1=B-1A-1.
42
由归纳法可将(iii)延伸到k个可逆矩阵
A1,A2,…,Ak, 满足
1
1
1 1
( A1 A2 Ak )  Ak
A2 A1
如果这k个矩阵都是一样的,都是A, 则还
可以得到性质
(Ak)-1=(A-1)k
因此可记A的负幂次记号
A-k=(Ak)-1=(A-1)k
并规定 A0=E. 因此可逆矩阵再加负幂
次仍然满足 AlAm=Al+m, (Al)m=Alm,
其中l,m都是整数(包括负整数)
43
(iv) 若A可逆, 则AT亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T
证 AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,
所以
(AT)-1=(A-1)T
证毕
44
a b
例 10 求二阶矩阵 A  
的逆阵.

c d
 d b 
*
解 |A|=ad-bc, A  
.

 c a 
当|A|0 时, 有
1 *
1  d b 
1
A 
A 
.


| A|
ad  bc  c a 
45
例11 求下面方阵A的逆阵
 1 2 3


A 2 2 1


 3 4 3


1 2 3 1 2 3
解
| A | 2 2 1  0 2 5  2  0
3 4 3
0 2 6
46
 1 2 3


A 2 2 1


 3 4 3


解 |A|=20, A可逆, 计算|A|的余子式
M11=2,M12=3,M13=2,
M21=-6,M22=-6,M23=-2,
M31=-4,M32=-5,M33=-2.
 M 11

*
A   M 12

 M
 13
 M 21
M 22
 M 23
M 31   2 6 4 



 M 32  3 6 5
 

M 33   2 2 2 
47
 1 2 3
 2 6 4 




*
A  2 2 1 ,| A | 2, A  3 6 5




 3 4 3
 2 2 2 




所以
 1

1 *
3
1
A 
A  
| A|
 2
 1

2 

5

3
2
1 1 
3
48
例12 设
 1 2 3
 1 3
 2 1




A  2 2 1 ,B  
,C  2 0





5
3


 3 4 3
3 1




求矩阵X使其满足
AXB=C
解 从A,B的行列式都不为零可知它们都可
逆, 因此用A-1左乘上式两端, B-1右乘上式两
端, A-1AXBB-1=A-1CB-1,
即
X=A-1CB-1,
49
 1
 3
A1   
 2
 1

于是
2 

 3 1
5
1
, B  
3
.

2
 5 2 
1 1 
3
2 
 1 3

 3 1
5 

 2 0 
3
  5 2 
2  

3
1

1 1  
1 1 
 2 1 
 3 1 



 0 2 

10

4

  5 2  

0 2 
 10 4 




50
 1
 3
X  A1CB 1   
 2
 1

3
作业
第54页
第11题,第12题,第13题
(鼓励用网页程序做)
51