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数学悖论 2013级光电子专业 马菁池 数学悖论 • 关于悖论目前没有一个非常恰当的定义 悖论的历史 • 悖论的历史源远流长，它的起源可以一直 追溯到古希腊和中国先秦时代。“悖论” 一词源于希腊文，意为“无路可走”，转 义是“四处碰壁，无法解决问题”。 • 说谎者悖论可能是最早的悖论。 • 克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides） 说了一句很有名的话：“所有克利特人都 说谎。” 悖论的几种形式 1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际 上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实 际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是 却导致逻辑上自相矛盾。 • 我们现在通过几个有趣的悖论实例，展示 几种经典的悖论，并尝试探讨悖论产生的 原因。 数学归纳法 • 所有人都是秃顶。 • 无论多少谷粒都不能称之为堆。 • 当n=1时显然成立。 • 假设当n=k时成立，即有k根头发的人是秃 头。 • 当n=k+1时，由于增加一根头发不影响是否 是秃头的性质。 • 所以当n=k+1时，命题也成立。 • 所以所有人都是秃头。 所有女孩都是梳辫子 • 如果任何 n 个女孩之中，至少有一个是蓝 眼睛时，那么这 n 个女孩便都是蓝眼睛 的”。 说谎者悖论的变种 1、徽章和涂写：颁发一枚勋章，勋章上写着： 禁止授勋！ 2、涂写一个告示：不准涂写！ 3、一个招牌上写：“不许读这个招牌” 4、一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐 部。 5、“一切规则都有例外” 6、“所有知识都值得怀疑。” • 为什么这些叙述会产生矛盾？ • 它们均违背了它们自己所提出的要求。 鳄鱼悖论 一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小 孩。鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？ 答对了，我就把孩子不加伤害地还 给你。 母亲该怎样回答？ 母亲：呵呵！ 你是要吃掉我的孩子的。 分析 • • • • 鳄鱼的许诺包含两层内容， 一是前提条件(妈妈猜对或者猜错)， 二是鳄鱼的行动(吃掉小孩或者放掉小孩)， 鳄鱼将根据前提条件来采取相应的行动，也就是 说，许诺的 （前提条件）决定了 (鳄鱼的行动)。 然而问题在于，妈妈猜测的对象恰好是鳄鱼的行 动，这就意味着，妈妈猜测的对错是由鳄鱼的行 动决定的，鳄鱼可以让妈妈猜对(照着妈妈的猜测 去做)，也可以让妈妈猜错(违背妈妈的猜测去做)， 即鳄鱼许诺的 (鳄鱼的行动)又反过来决定 (前提条 件) • 在鳄鱼的许诺中，既是前提决定结果，又 是结果决定前提，形成了一种直接循环 （其实是自我指谓的一种） • 可以很容易发现，鳄鱼悖论与前面的悖论 具有同样的逻辑构成，这种类型的悖论可 以用一个式子来表达： 这与反证 法有什么 联系？ • “如果A，那么非A。 • 这实质上是悖论产生的一种原因： • 否定性的自我指谓。 • 目前几乎所有的悖论都与自我指谓有关。 • 自我指谓包含两种：直接循环和间接循环。 柏拉图：苏格拉底下面要 • 引入否定性的概念与悖论的产生有很大联 说的这句话真的。 系。 苏格拉底：柏拉图刚才说 的话是假的。 意想不到的老虎 公主：父亲，我可以和迈克结婚吗？ 国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门 后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。 迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事 先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那 扇门才知道。这只老虎将是料想不到的。 • 你能否通过分析，判断哪 个门后面有老虎？ • 迈克看着这些门，对自己说道：如果 我打开了四个空房间的门，我就会知 道老虎在第五个房间。可是，国王说 我不能事先知道它在哪里。所以老虎 不可能在第五个房间里。 • 五被排除了，所以老虎必然在其余四 个房间之一。那么在我开了三个空房 间之后，老虎必然在第四个房间。可 是，这样它就不是预料不到的了。所 以四也被排除了。 • 按同样的理由，迈克证明老虎不能在 第三、第二和第一个房间。迈克十分 快乐。 • 迈克：哪个门的背后也不会有老虎。 如果有，它就不是料想不到的。这不 符合国王的允诺。国王总是遵守诺言 的。 • 迈克证明了不会有老虎之后，就冒冒失失 地去开门了。使他惊骇的是，老虎从第二 个房间中跳了出来。 • 这是完全出乎意料的。这一切表明国王遵 守了他的诺言。 这是怎么回事？ • 大多数人承认迈克推理的第一步是正 确的，即那只老虎不可能在最后一个 房间。可是，一旦承认这是严格的推 理，迈克其余的推理就跟着成立。因 为，假若老虎不可能在最后一个房间， 那么同样的理由将排除它在倒数第二 间，第三间，一直到其余各房间。 • 然而，很容易证明迈克推理的第一步也是 错的。假定他打开了所有房门，只余下最 后一个门。这时，他能准确地推断说最后 一个房间里没有老虎吗？不能！因为，如 果他这样推断，他也许会打开这个房门， 发现有一个料想不到的老虎在其中！ • 其实，即使问题中只有一个房间，整个悖 论也仍存在！ • 所以，问题集中在两个方面： • 1、意想不到到底是什么意思？ • 2、老虎存在还是不存在？ 这个悖论是一种认知悖论 • 这一种悖论与语境和认知主体及其背景知 识有关,因而可将它们统称为认知悖论或语 用悖论。 • 这种悖论与知道、相信、怀疑、犹豫这类 认识论概念以及真假这类语义概念相关, • 并且与命令、答应、允诺或希望这一类指 导行动的话语或态度有关。 • 意想不到的老虎这则悖论有很多其他形式 的故事。不知什么原因，它第一次是发表 在四十年代初，说的是一个教授的故事。 这位教授宣布下一周的其一天要举行一次 • “意料之外的考试”。 纽科姆悖论 一天，一个由外层空间来的超级生物欧米加在地 球着陆。 欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。 他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会 选择哪一个。 欧米加用两个大箱子检验了很多人。 箱子A是透明的，总是装着1千美元。箱子B不透 明，它要么装着1百万美元，要么空着。 欧米加告诉每一个受试者,你有两种选择，一种是 你拿走两个箱子，可以获得其中的东西。可是， 当我预计你这样做时，我就让箱子B空着。你就 只能得到1千美元。 另一种选择是只拿走一个箱 子B。如果我预计你这样做时，我就放进箱子B中 1百万美元。你能得到全部款子。 •你会选择哪种方式？ • 男孩决定只拿箱子B。他的理由是—— 男：我已看见欧米加尝试了几百次，每次 他都预计对了。凡是拿两个箱子的人，只 能得到l千美元。所以我只拿箱子B，就可变 成一个百万富翁。 • 这个女孩决定要拿两个箱子，她的理由 是—— 女：欧米加已经做完了他的预言，并已离 开。箱子不会再变了。如果是空的，它还 是空的。如果它是有钱的，它还是有钱。 所以我要拿两个箱子，就可以得到里面所 有的钱。 • 男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女孩的论据明 显起来，要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱，也许 空着，这是不会再改变的。如果有钱，它仍然有钱；如果 空着，它仍然空着。让我们思考一下这两种情况。 如果B中有钱，女孩只拿箱子B，她得到1百万美元。如果 她两个箱子都要，就会得到1百万加1千元。 如果B箱空着，她只拿B箱，就什么也得不到。但如果她 拿两个箱子，她就至少得到1千美元。 因此，每一种情况下，女孩拿两个箱子都多得1千元。 • 悖论对数学家说：“解决我，否则我吞掉你的系 统。”体系中出现悖论，往往意味着体系不够健 全，悖论的提出都震撼了数学的基础,但由此也对 数学理论的发展起了巨大的推动作用甚至会带动 其他学科的兴起和完善。。 • “古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展 提供了食粮。” ——N·布尔巴基 • 我们也有理由相信，在阴霾过后数学将迎来更加 灿烂的未来 谢谢大家！