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数学悖论与三次数学危机
金慧萍
义乌工商职业技术学院
（一）什么是悖论？
1. 先来听听一个“鳄鱼与小孩”的故事

一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个
小孩

鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？
答对了，我就把孩子不加伤害地
还给你。
这位母亲应该怎样回答呢？？？

1.“鳄鱼与小孩”的故事

聪明的母亲回答说：
呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。

鳄鱼：呣…我怎么办呢？鳄鱼碰到了难题：
如果我把孩子交还你，你就说错了，我应该
吃掉他；可是我如果把孩子吃掉了，你就说
对了，我又得把孩子还给你？

拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交
回了母亲，母亲一把拽住孩子，
跑掉了。

鳄鱼说：他妈的！要是她说
我要给回她孩子，我就可以
美餐一顿了。
2、什么是悖论？

笼统地说：
悖论是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。

悖论在很多情况下表现为：
由它的真，可以推出它为假，
由它的假，则可以推出它为真。
3. 悖论是极其重要的！

毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论
今天我就要来介绍这三个数学悖论，它们在数学发展中产生了
巨大的影响，即引发了三次数学危机。
通过这三个数学悖论与三次数学危机的介绍，同学们会明了：
① 悖论不但迷人，而且是数学的一部分，并为数学的发展提供
了重要而持久的助推力。
② 数学的发展真是一波三折，数学的严谨是一代又一代数学家
努力的结果，数学的抽象更是千锤百炼而成的。
（二）什么是危机？
具体
危机是一种激化的、非解决
与抽象
不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾无处不
逻辑
在，不可避免！
与直观
在整个数学发展的历史上，
贯穿着矛盾的斗争与解决。
危机产生、解决、又产生、 存在
解决…，无穷反复的过程不断 与构造
推动着数学的发展，这个过程
连续
也是数学思想获得重要发展的
与离散
过程。
正与负
数学中
的矛盾
有穷
与无穷
加法
与减法
微分
与积分
有理数
与无理数
实数
与虚数
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
数学之旅一
毕达哥拉斯悖论
理
始
开
航行
定
勾股
机
危
学
数
次
一
救
摆脱
危境
克索
多
欧
拯
斯的
第
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
1. 勾股定理
两条直角边的平方和等于斜边的平方和
c
a
勾股定理：
a b c
2
2
2
b
是人类最伟大的数学发现，
是欧氏几何中最著名的定理，
它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
勾股定理是谁最早发现的？
--------是中国最早发现与认识勾股定理的。
据历史资料记载，夏禹（公元前2140-前2095）治水时，已用到了勾股定理的计算方
法，他是世界上有历史记载的第一个与勾股定理有关的人。
我国最早的一部天文数学著作《周髀算经》记载着：公元前1100年西周时，周公与
商高的一段对话，“…折矩以为勾广三，股修四，经隅五”，即勾三，股四，弦五。
弦
标竿(股)
2
2
勾 +股 =弦
2
日影(勾)
这就是勾股定理这个名称的来历，也有人称勾股定理为“商高定理”。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
2.毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派




毕达哥拉斯（公元前585-前500），古希腊著名
哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家。
人们把他神话为是太阳神阿波罗的儿子。
毕达哥拉斯先后到过：埃及、古巴比伦、印度等
国家学习数学、天文等方面的知识。
毕达哥拉斯创建了一个合“宗教、政治、学术”
三位一体的神秘主义派别，即毕达哥拉斯学派。
这一学派在古希腊赢得很高的声誉，并产生了相
当大的政治影响，其思想在当时被认为是绝对权
威的真理。
在我国，公元三世纪，吴人赵爽，给出了勾股
定理的最早证明。这种证明，被全世界数学家
公认为是“最省力的证明方法”。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

据西方国家记叙，毕达哥拉斯是最早证明了勾股定理。

据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一百头牛以作庆贺。因些，
在西方称这个定理为“毕达哥拉斯定理”，还有一个带有神秘色彩的
称号“百牛定理”。
“万物皆数”---是该学派的基本信条：
他们认为“万物都可归结为整数或整数之比”，他们相信宇宙
的本质就是这种“数的和谐”。
即他们认为世界上只有整数和分数，除此以外，就不再有别的数了。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
3. 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
具有戏剧性和讽刺意味的是，正是毕达哥拉斯在数学上的这一
最重要的发现，却把自己推向了两难的尴尬境地。
他的一个学生希帕索斯，他勤奋好学，富于钻研，在运用勾股
定理进行几何计算的过程中发现：当正方形的边长为1时，它的对
角线的长不是一个整数，也不是一个分数，而是一个新的数。
线
对角
1
？

这个数就是我们现在熟知的
无理数
1
2。
2
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
这个发现不但对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，
它对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机。小小 2
的出现，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，在当
时的数学界掀起了一场巨大风暴，产生了极度的思想混
乱，因此导致了当时人们认识上的“危机”，历史上称
之为第一次数学危机。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

4.欧多克索斯的拯救与第一次危机对数学发展的影响


帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧
多克索斯（公元前408-前355）迈出的。
解决方式：把数与量分开，在数的领域，仍然只承认
整数或整数之比；借助于几何方法，来处理几何量，
通过创立欧多克索斯的比例理论，消除毕达哥拉斯悖
论引发的数学危机，从而拯救了整个希腊数学。
直到19世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质
被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中
合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另
一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动
了数学及其相关学科的发展。
首先，第一次数学危机表明，直觉、经验及至实验都是不可靠
的，推理证明才是可靠的。从而创立了古典逻辑学。
其次，第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，由此建立
了几何公理体系，欧氏几何学就是在这时候应运而生的。
最后，第一次数学危机让人们认识到无理数的存在，通过许多
数学家的努力，直到19世纪下半叶才建立了完整的实数理论。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
数学之旅二
贝克莱悖论
现
发
分的
始
开
行
微积
机
危
学
航
数
次
第二
胜利凯
展
旋
微积
发
分的
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
1. 微积分的发现---早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想。
在西方：
 数学之神，阿基米德（公元前287-前212），通
过一条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早期
微积分思想的发现者，微积分是奠基于他的工作
之上才最终产生的。
在东方：
 中国古代数学家，刘徽（公元263左右），一项
杰出的创见是对微积分思想的认识与应用。刘
徽的微积分思想，是中国古代数学园地里一株
璀璨的奇葩。其极限思想之深刻，是前无古人
的，并在极长的时间内也后无来者。
直到十七世纪，
作为一门新学科的
微积分已呼之欲出。
最早迈出这一步
的是一位科学巨人:
牛顿。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机




牛顿（1642—1727）是英国伟大的
数学家、物理学家、天文学家和自
然哲学家。
牛顿是：从物理学出发，运用集合
方法，结合运动学来研究微积分。
莱布尼茨（1646—1716）德国最重
要的数学家、物理学家、历史学家
和哲学家。
莱布尼茨却是：从几何问题出发，
运用分析学方法研究微积分。
微分和积分
(即求切线
与求面积)
是互逆的两
种运算。
这是微积分
建立的关键
所在。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
2. 贝克莱悖论与第二次数学危机
不过，在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完
善。因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教
贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。
如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一，十
分含糊，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨
的也不能自圆其说。
例如，牛顿当时是这样求函数的导数的：
 ( x   x ) 2  x 2  2 x x  (  x ) 2   y
最后取
x  0
x

， 就得函数的导数为
[( x   x )  x ]
2
y  2 x
2
。
x
 2 x  x
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
贝克莱对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的，他揭示
了早期微积分的逻辑漏洞。然而在当时，微积分理论由于在实践与
数学中取得了成功，已使大部分数学家对它的可靠性表示信赖，相
信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此贝克莱所阐述的
问题被认为是悖论，即著名的贝克莱悖论。
由于这一悖论，十分有效地揭示出微积分基础中包含着
逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，一场新的
风波由此掀起，于是导致了数学史中的第二次数学危机。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
17世纪
3. 微积分的发展
牛顿、莱布尼兹
建立了微积分
19世纪
18世纪
发展微积分
泰勒、贝努利兄弟、欧拉
等数学英雄
完
微
善
分
积
阿贝尔
波尔查诺
柯西
维尔斯特拉斯
分析注入严密性
戴德金
皮亚诺
分析算术化
分析时代
极限理论、实数理论、集合论
有了这三大理论，
使微积分学这座人类数
学史上空前雄伟的大厦
建立在牢固可靠的基础
上，从而结束了二百多
年数学中的混乱局面，
同时宣告第二次数学危
机的彻底解决，数学家
们终于赢来了胜利凯旋
之日。
三、罗素悖论与第三次数学危机
数学之旅三
罗素悖论
论
集合
始
开
行
机
危
学
航
数
次
三
第
新的发
展
化
集
理
合公
三、罗素悖论与第三次数学危机
康托尔：是20世纪数学发展影响最深的数学家
1.康托尔与集合论之一。1845年出生于圣彼得堡，早在学生时代，就
显露出非凡的数学才能。然而，一开始其父亲却希
望他学工程学，他是1862年进入苏黎世大学，学数
学的，第二年转入柏林大学，1867年以优异成绩获
得了柏林大学的博士学位，其后，一直在哈雷大学
教书。
然而，康托尔的观点并未被同时代所接受，特
别是康托尔的老师克罗内克。他猛烈攻击康托尔的
研究工作，把它看做一类危险的数学疯狂，同时还
竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一
个职位。长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战，使得
康托尔的精神终于在1884年春崩溃了，在他一生中，
这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会赶进
精神病医院这个避难所。最后于1918年1月，他在
哈雷精神病医院逝世。
简单介绍集合论
三、罗素悖论与第三次数学危机
整体一定大于部分
-----这是人们传统的观念
康托尔下了一个定义：“如果能够根据某一法则，
使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系，那
么，集合M与集合N等势或者说具有相同的基数。”
按照这一定义，于是有：
自然数集、正偶数集、自然数的平方
等集合的数目一样多，都是可数集。
数轴上稀稀落落的自然数集与密密麻麻
的有理数集也可建立一一对应的关系。
所以部分能够等于整体。
另外：无理数集、实数集是不可数集。
两条不同长度的线段，区间（0，1）上的点
与单位正方形上的点，直线与整个平面、与
n维空间等都可建立一一对应关系。
最后，康托尔用“超限基数”与“超限序数”一起来刻画了无限，描绘
出一幅无限王国的完整图景，它充分体现了康托尔那惊人的想像力。
三、罗素悖论与第三次数学危机
1891年克罗内克去世之后，康托尔的阻力一
下子减少了。到1897年，召开的第一次国际数学
家大会，数学家们开始对集合论的认可。一直到
了20世纪初，集合论在创建20余年后，才最终
获得了世界公认。康托尔所开创的全新的、真正
具有独创性的理论得到了数学家们的广泛赞誉。
1900年，在巴黎召开的第二次国际数学
家大
会上，法国著名数学家庞加莱曾兴高采烈地宣布
“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大
厦，今天，我们可以说，数学已经达到了绝对的
严格。”
然而好景不长，
正当人们为集合论的
诞生而欢欣鼓舞之
时，一串串数学悖论
却冒了出来，一个震
惊数学界的消息传
出：集合论是有漏洞
的！于是又搅得数学
家心里忐忑不安。
三、罗素悖论与第三次数学危机
2.罗素悖论与第三次数学危机
在1901年，罗素构造了一个集合S，
罗素（1872-1970），英国数
学家、哲学家。出身于贵族家庭， S由一切不是自身元素的集合所组成。
父母早亡，与祖父祖母生活在一起。 罗素问：S是否属于S？然而回答却
11岁就开始学习欧氏几何
陷入两难境地。如果S属于S，根据S的
（他说：这是他生活中的一件大事，
定义，S就不属于S；反之。如果S不属
犹如初恋般的迷人），18岁考入剑桥
大学，学习数学与哲学。48岁那年，于S，同样根据定义，S就属于S；于是
作为一位蜚声国际的哲学家，应邀 无论如何都是矛盾的。
来中国讲学一年，1950年还获得诺
------这就是罗素悖论！
贝尔文学奖。
三、罗素悖论与第三次数学危机
罗素悖论有多种通俗版本，其中最著名的是罗素于1919年给出的------“理发师悖论”。
在某村，一个理发师宣布了这样一条原则：
他只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。
问：理发师是否可以给自己刮胡子？
如果他给自己刮胡子，那他就不符合他的原则，
他就不应该给自己刮胡子；如果他不给自己刮
胡子，按他的原则，他就应该给自己刮胡子。
于是，无论如何也是矛盾的,看来，没有任何人
能给理发师的刮胡子。
罗素悖论的出现，就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，它动摇了整个数学大厦
的基础，震撼了整个数学界，从而导致了第三次数学危机。
数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》一书上写道：“对一位科学家来说，
他所遇到的最令人尴尬的事，莫过于是他的工作即将完成时，它的基础崩溃了，罗素
悖论正好把我置于这种境地。”于是终结了近12年的刻苦钻研。
三、罗素悖论与第三次数学危机
3.集合公理化与数学新发展
然而，许多数学家对集合论乃至整个数学的基础
策梅罗（1871-1953）， 产生了疑虑，这一疑虑并没有随着集合论公理化体
是德国数学家，他早于罗素
系的建立而消除。1900年到1930年左右，众多数
发现了罗素悖论，只是他将
学家卷入到一场大辩论当中------兔、蛙、鼠之战.
这一悖论只告诉希尔伯特，
没有公开发表。1908年，策
罗素为代表的逻辑主义-----兔子
梅罗发表著名论文《关于集
希尔伯特为代表的形式主义------青蛙
合论基础的研究》，建立了
布劳威尔为代表的直觉主义------老鼠
第一个集合论公理体系。
哥德尔（1906-1978），数学家，逻辑学家。
随着集合公理化体系的建
立，罗素悖论被成功排除了， “哥德尔不完全性定理”，结束了三大学派的论战，
因而从某种程度上来说，第三 兔蛙鼠全都成了输家，数理逻辑成了最后的赢者，
次数学危机比较圆满地解决了。并开辟了数理逻辑发展的新时代，因此直接造成了
数学哲学研究的“黄金时代”。
结束语
历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产
生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着
人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是
科学发展的源泉之一。
第一次数学危机使人们发现了无理数，建立了完整的实数理论，欧
氏几何也应运而生并建立了几何公理体系。
第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和集合论
三大理论的产生与完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上。
第三次数学危机，使集合论成为一个完整的集合论公理体系（即
ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。
结束语

事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完美起来的，旧
的矛盾解决了，新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们便
不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。

数学发展的历史就表明，每一次危机的消除都会给数学带来许多
新的内容、新的认识，甚至是革命性的变化。数学家对悖论的研
究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的
出现，不单是给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展
带来新的生机和希望。
谢谢同学们！