Transcript 史宁中校长- 数学思想漫谈

漫谈数学的基本思想
史宁中
东北师范大学，长春，130024
一、数学思想与数学文化
文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。
数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。
思想是本质的，无思想则无文化。
《数学课标》：双基→四基、两能→四能
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题
大学的数学教学\包括数学文化教育\要关注培养学生
的思维方法。因为
创新：知识技能 + 思维方法。
思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。
通常认为的数学思想方法\不是数学思想\：
等量替换、数形结合、分类、递归、转换；
配方法、换元法、加强不等式。
二、数学的基本思想
数学产生与发展所依赖的思想；
学习数学以后具有的思维能力。
抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。
推理：促进数学内部的发展；推理能力强。
模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强。
抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。
得到：数学研究的对象概念和对象之间的关系概念；
运算方法和运算之间的运算法则。
亚里士多德：
数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中
那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的
量的定义，不是作为存在而是作为关系。
存在性假设\多边形→三角形\
引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。
数量的第一步抽象
数量 → 数。 2匹马、2头牛 → 2。
数量的本质多与少 → 数的本质大与小
→ 刻画大小的序关系
→ 自然数、加法
有理数 ≡ 分数：部分与整体；线段长度之比
加法 → 四则运算；逆运算 → 数域的扩充
自然数 → 整数、有理数、实数
如何定义实数？运算？连续性？
抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现；
唯名论(亚里士多德)，数学是发明。
抽象了的东西是存在的：抽象的存在（形而上、形而下）。
数量的第二步抽象
变量、极限运算 \如何理解、如何解释\
导数：牛顿(1676\1666)提出，最初的解释是利用无穷小。
问题：什么样的函数可导？
→ 明确函数定义 + 明确极限定义 → 符号表达
1755年，欧拉的变量说，初中。\抽象不够\ 问题
f1(x) = shi2x + cos2x 和 f2(x) = 1
表达是一个函数，还是两个函数？
1851年，黎曼的对应说，高中。\新概念和物理背景\
函数 → 对应 → 集合
集合：所要研究对象的全体？ \罗素悖论\
极限运算
1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。
可以理解：当 n → ∞ 时1/n → 0；
很难理解：当 n → ∞ 时
x→0。
函数连续，当 x → x0 时 f(x) → f(x0) ？
1. 任何数列 xn → x0 ，都有f(xn) → f(x0)。
2. 任意ε﹥0，存在δ ﹥0，当
︱x - x0︱﹤ δ 时︱f(x) → f(x0)︱﹤ ε
则称 f(x) 在 x0 处连续。
两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？
清晰定义实数 → 清晰定义无理数 → 重新定义有理数
有理数：分数形式 → 小数形式（有限+无限循环)
无理数：无限不循环小数\如何判断(百,千)\
实数 ≡ 有理数 + 无理数
如何计算： √2·√3 =√2·3 ？用小数验证？
√-2·√-3 = √(-2)· (-3)？
如何理解：连续 ≡ 实数与数轴一一对应？
1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。
\解决实数的运算\
假定有理数列 an → √a, bn → √b 。
根据极限的性质有
an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b
则有理数列{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 }确定实数a·b
所以有理数列{an·bn}确定实数 √a·b，即
√a·√b = √a·b
1872年，戴德金分割。\解决实数的连续性\
算术公理化系统：
九个公理(皮亚诺，1889年)，定义了自然数和加法。
证明 4≠3。第7公理：a=b，则a+1=b+1；
第8公理：a+1≠1。
集合公理化系统：
九个公理：ZF系统(策梅罗1908年\ 弗兰克尔《集合论基础》)
定义：用符号表达的集合、空集、关系、运算；
# 选择公理(几乎所有数学分支的基本定理)。
→ 实现了数学的符号化、形式化、公理化。
形式化与直观的矛盾 \数学是创造\
\直观认为\ 集合测度至少要满足下面四个条件：令Ω是由实数
集合构成的类，m是类中的集合测度，那么
1 零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。
2 单调性。对于Ω中的两个集合A和B，如果B⊆A，那么
m(B)≦m(A)。
3 可列可加性。对于Ω中的两个集合A和B，如果A∩B=O，那么
m(A∪B)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。
4 平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平
移变换，则这两个集合的测度相等，即
B≡B(c,A)={b=c+a;a∈A} → m(B)=m(A)。
\直观认为\ 用区间长度来定义集合测度是自然的，即定义：
m((a,b]) = b-a。
如果不满足，原因不在定义而在标准。检验四个条件。
条件1：零测度。
因为单点集 (a,a]是一个空集，则 m((a,a])=0。
条件2：单调性。区间长度显然满足。
条件3：可列可加性。
令 A = {an；n=1,2,……}
则 m(A) = m(a1∪a2∪ ……)
= ∑m(an) = 0。
条件4：存在不可测的反例 \！？\
令A=[0,1]，对A中的实数a和b，如果a-b为有理数，则称这两
个数具有“亲近”关系，记为a～b。
对于a∈A，用E(a) 表示A中所有与a具有“亲近”关系的数的集
合，称之为亲近集合。显然：
• 如果a～b，则E(a) = E(b)，即元素之间具有“亲近”关系，则对
应的亲近集合相等；
• 如果a～b不成立，则E(a)∩E(b) = O，即元素之间不具有“亲近”
关系，则对应的亲近集合的交为空集。
根据选择公理，
在每个亲近集合中选出一个元素组成一个新的集合，用C表示。
则集合E(a)∩C中只能含有一个元素。
令区间 [-1,1]中有理数排列：c1, c2,……,cn, ……。
令 Cn≡B(cn,C) 表示集合C对于cn的平移。令：
∪Cn = C1∪ C2∪ ……。
所以，
任意 c∈∪Cn 必有 -1≦c≦2，则∪Cn⊆[-1,2]；
任意 a∈[0,1]，b表示E(a)的元素，a-b=cn，[0,1]⊆∪ Cn。
这样就可以得到
根据条件2，1 ≦ m(∪Cn) ≦ 3。
根据条件4，m(Cn) = m(C) 。
如果也满足条件3，m(∪Cn) = ∑m(Cn) = ∑m(C)。
矛盾：
如果m(C) = 0，则 m(∪Cn) = 0；
如果m(C)﹥0， 则 m(∪Cn) = ∞。
原因：
1.有些集合不能用基于区间长度的测度(勒贝格测度)进行度量。
2.有些测度不满足条件3，即可列可加性；
3.有限制地使用选择公理。
解决方案
德国数学家卡拉西尔德瑞（C.Caratheodory,1873-1950）：
首先，在一个由集合所构成的类上定义一个基于区间长度的
集合测度(外测度)，允许这个集合测度不满足条件3。
然后，用外测度对类中的集合进行度量，如果满足条件3 #，
称这个集合勒贝格可测，定义这个外测度为这个勒贝格测度。
# 虽然许多教科书中不是直接定义的，但是条件3总是可以不需
要任何附加条件就被推导出来。
一般来说，这个定义不符合逻辑。
因为，一个集合是否可测的“判断”发生在实际“操作”之
后。
与其称为“判断”还不如称其为“验证”更为恰当。
\幸亏数学家们证明了一个重要的性质\
所有开集和闭集都是勒贝格可测的，也就是说，我们通常遇
见的集合都是勒贝格可测的。
这是以法国数学家鲍莱尔（E.Borel, 1871-1956）的名字命
名的一个重要性质。
应当有限制地使用选择公理，比如，限制在可列个集合。
图形的第一次抽象
欧几里得《几何原本》描述定义：点、线、面、角。
关系术语：相交、平行、垂直、全等。
度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦)。
带来的问题
点：两条直线交于一点？
平行：两条永远不相交的直线？
全等：两个图形重合？
修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何）
无数（罗巴契夫几何）
没有（黎曼几何）
A：三角形。高斯曲率在 A 上的积分 = 三个角的和 – π。
图形的第二次抽象
希尔伯特《几何基础》：桌子、椅子、啤酒杯
符号定义：A，a，α
关联公理：两点唯一决定一条直线、三点平面
顺序公理：直线上一个点在两个点之间、直线通过三角形两个边
合同公理：线段相等、角相等、三角形边角边全等
平行公理：一条直线
连续公理：阿基米德公理（无穷集合）
公理体系：独立性、相容性、完备性
1931年哥德尔：两个不完全性定理。\算数公理体系完备与相容\
推理：一种思维过程。
思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维。
命题：可以进行判断的话语。
推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。
命题 + 判断的四种形式：是是、是否、非是、非否。
逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性。
有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。
无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。
逻辑推理 = 演绎推理 + 归纳推理
• 爱因斯坦： 西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那
就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系(表现在欧几里德几何
中)，以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系(表现在
文艺复兴时期)。
• 杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学
习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳
能力。
演绎推理：命题范围由大到小，结果是必然的。
亚里士多德：出发点和三段论(大前提、小前提、结论)
\数学归纳法、反证法、计算逻辑(冯·诺依曼)\
论证基础：
同一律：A就是A。\集合、等量的等量还是等量(换元法等)\
矛盾律：A与非A不能同时成立。\在反证法的证明过程中\
排中律：A与非A必有一个成立。\反证法的依据\
论证形式：
已知A求证B。A和B都是确定命题。\不能用于创新\
文艺复兴之后，培根、休谟、穆勒相继。
归纳推理：命题范围由小到大，结果是或然的。
\不完全归纳法、类比法、实验、试验、调查\
功能：通过条件预测结果；通过结果探究成因。
数学：结果是看出来的，而不是证出来的。
代数：哥德巴赫猜想、费尔马大定理（归纳）。
几何：庞加莱猜想（类比）。
归纳教学的例子：尝试。
为得到公式 a2 – b2 = (a-b)(a+b)
首先进行化简，令 b=1。变化 a 可以得到：
22 – 1 = 4 - 1 = 3
32 – 1 = 9 - 1 = 8
42 – 1 = 16 - 1 = 15
52 – 1 = 25 - 1 = 24
62 – 1 = 36 - 1 = 35
因为 8 = 2×4，15 = 3×5，24 = 4×6 ，35 = 5×7，
可以想到 a2–1 = (a-1)(a+1)，然后考虑一般的 b。
从自然数的前 n 项和公式出发，得到平方和、立方和公式。
模型：构建数学与外部世界的桥梁。\数学的应用\
叙述的是一个用数学语言表达的实际故事。
方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。
比如，方程叙述的是量相等的故事。\距离=速度×时间\
用数学语言定义概念。\F=ma\
桥梁双方：数学 + 现实。\流行病模型，投入产出模型\
各种场合：参数 + 约束。\自由落体模型中的重力加速度\
冯·诺伊曼：
数学思想来源于经验，这一点是比较接近真理的。
真理实在太复杂，对之只能说接近，别的都不能说。
数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历
它本身所特有的生命。事实上，认为数学是一门创造
性的、受审美因素支配的学科，比认为数学是一门别
的、特别是经验的学科要更确切一些。
换句话说，在距离经验本源很远的地方，或者在
多次抽象的近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的
危险。
符号化、形式化、公理化的目的是为了更好的表达，对于数学
的本身的发展，这些都不是本质的。
数学的表达是符号的，但教学应当是物理的；
证明是形式的，但教学应当是直观的；
体系是公理的，但教学应当是归纳的。
让学生、特别是基础教育阶段的学生
体验数学思想，积累思维经验，培养他们会
理解 → 理解、思考、质疑、假设、验证 → 创新。
3. 统计基本思想
统计学与数学都是利用抽象的概念和符合，但有所不同。
立论基础 数学：公理、假设；
统计：数据、模型。
推理方法 数学：演绎推理；
统计：归纳推理。
判断准则 数学：对与错；
统计：好与坏。
一个袋子里有5个球，其中有4个白球和1个红球，让学生有放回
地摸球。
概率：验证出现白球的可能性4/5。\不可操作\
统计：不告诉学生背景，预测
1.白球多还是红球多？
2.比例大概是多少？
[7/10,9/10]，80%需要20次，90%需要60次。
3.如果有5个球，白球有多少？
估计的好坏与样本量有关，与方法有关。
因此，可以认为：
统计学是一门收集和分析数据的科学与艺术。
科学：基础是假说。验证与时间、地点、个性无关。
艺术：基础是标准。因人而异，因价值观而异。
对现有的学科大体可以分类：
自然学科：科学。\物理，化学，生物，地质\
人文学科：艺术。\文学，历史，绘画，音乐\
社会学科：科学与艺术。\经济，统计，心理，社会\
更一般的：哲学、数学。
关于《数学课程标准》的若干思考
谢 谢！