Transcript 高等数学D

第三章 关于代数和
几何的几个专题
一、求导数：
(1) f ( x)  4 x  2 x  1
3
2
(2) f ( x)  e x ln x
(3) f ( x)  cos(x 4 )
(4) f ( x)  (cos x)
(5) f ( x)  cos(4 x)
 x2
(6) f ( x)  e
4
(7) f ( x)  (5x3  1)6
(8) f ( x)  ln(2 x  1)
3
(9) f ( x)  1  2x
sin x
(10) f( x) 
x
二、求f(x)=sinx在
点x=pi/6处的切线
方程。
矩阵与变换
什么是矩阵？
例：方程组  2 x  x  1
1
2


 x1  3 x2  2
可以把它写成
其中
 2 1   x1   1 

 x    
 1 3  2   2 
 2 1   x1   2 x1  x2 

  x    x  3x 
 1 3  2   1
2 
 2 1   x1   2 x1  x2 

  x    x  3x 
 1 3  2   1
2 
矩阵
向量
由此可定义矩阵和向量的乘法
 a11 a12  x1   a11 x1  a12 x2 

   

 a21 a22  x2   a21 x1  a22 x2 
变换
矩阵乘以向量相当于
对这个向量作了一个
变换
例如：1、压伸变换
1 0 
x

 x    
 0 1   y   y 

2
2

 1 0  x   x 

    
 0 2  y   2 y 
(x, 2y)
(x, y)
y
(x, )
2
y
y
2
x
2、特别地，有如下恒等变换
 1 0  x   x 

    
 0 1  y   y 
单位矩阵
3、反射变换
 1 0  x   x 

    
 0 1 y    y 
(x, y)
(-x, y)
 1 0  x    x 

    
 0 1  y   y 
y
x
-x
-y
(x, -y)

类似的有
 1 0   0 1 

,

 0 1  1 0 
……
4、旋转变换
 0 1 1   0   0 11  1

     , 
    
 1 0  0   1   1 0 1  1 
(-1, 1)
1
(1, 1)
1
1
-1
1
5、剪切变换
1

0
1

0
1 1   1 
     ,
1 0   0 
 1 11  2 

     ,
 0 1 1  1 
1 0  1
    
1 1   1
1
1
1
1
2
类似的剪切变换还有：对于k>0,
 1 k   1 0   1 0 

, 
, 

 0 1   k 1   k 1 
6、投影变换
 1 0  x   x 

    
 0 0  y   0 
(x, y)
(x, 0)
还有
1
2

1

2
1
 x y
2  x   2 
   

1  y   x  y 



2
 2 
y=x
(x, y)
(1, 0)
类似还有
 1
0 0  2

, 
0 1   1

 2
1
 
2

1 

2 
变换的合成（矩阵乘法）
例：
 e f  a b  x   e f  ax  by 


   


 g h  c d  y   g h  cx  dy 
 e(ax  by)  f(cx  dy) 


 g (ax  by)  h(cx  dy) 
 (ea  fc) x  (eb fd) y   ea  fc eb  fd  x 


 
 ( ga  hc) x  (gb hd) y   ga  hc gb  hd  y 
矩阵乘法
e

g
f  a b   ea  fc eb  fd 



h  c d   ga  hc gb  hd 
矩阵乘法不满足交换律：
例：  0 1  1 0   0  1 



2
1

1
1

0


 
0 0

2  1
0
0
0

1

 

1 
1
1 0 
2
2

0 
1

0

逆变换
例：压伸变换
x
1 0 
 x    , 1

 0 1   y   y   0
2
2

1 0 
1 0
 x   1
1   


 y 0
 0 2 0
2

 x
0   x 
 y    ,
2
 y
2
x
0   x 
 y    
2
 y
2
1
1 0
由此可知


0 2 0

是恒等变换，记作
1
1 0


0 2 0

0

1
2
0
I
1
2
这两个变换互为逆变换，这两个矩阵互为逆矩
阵。
一般地，若矩阵A和矩阵B相乘为单位阵，即若
AB=BA=I，则A和B互为逆矩阵。把B记作 A 1
1
1
AA  A A  I
问题：
1
(AB)  ?
1
1
1
1
1
1
ABB A  AIA  AA  I
1
1
B A AB  BIB  BB  I
由此可知，
1
1
1
(AB)  B A
利用矩阵求解方程
利用
1 0 
1 0
  1 0
1 



0
2
0
1

 0



2
可求方程组
1 0 
1 0 

 x    a, 1 0
  x    1 0  a 

 0 1   y   b   0 2   0 1   y   0 2 
 b 

2

2
I
 x   1 0  a   a 
 
    
 y   0 2  b   2b 
一般地，若 Ax  b , 其中A为矩阵，b, x为向量，
1
则
xA b
布尔代数
例：
1、电路中两个串联开关，1表示接通，0表示
断开，分别用x, y表示两个开关的状态，xy表
示串联线路的状态。则只有当x=y=1时，
xy=1
2、电路中两个并联开关，1表示接通，0表示
断开，分别用x, y表示两个开关的状态，x+y
表示串联线路的状态。则只有当x=1或者y=1
时，x+y=1
3、对A,B两个开关引入新开关A’，当A接通时，
A’断开，当A断开时，A’接通,即x=1当且仅当
x’=0。把x’叫做x的逆反状态，也称x’是x的逆
反运算。
布尔代数
现在脱离电路，考虑对于{0,1}上的三种运算，
第一类：和我们熟知点的、过去学过的许多运
算相同的那些性质。比如：
xy=yx,
x+y = y+x,
——交换律
(xy)z=x(yz)， (x+y)+z = x+(y+z) ——结合律
第二类：引入新的逆运算，产生新的性质：
xx’=0, x+x’=1,(xy)’=x’+y’ (x+y)’=x’y’
第三类：和过去粗如果运算性质不同的性质。
比如：1+x=1, x 2  x, x  x  x
几何部分
三等分角
 非欧几何

推广：若一个集合上定义了三种运算，这些运
算满足{0,1}上布尔代数的性质，那么我们就
称它是一个布尔代数。
关于微分、定积分，积分，导数的应用。
2 x
y

x
1、 e ,求dy
2、 ( x  x  1)dx
 /4
3、0 (sin x  cos x)dx
2
2
4、1
(
1
1
 x x  )dx
x
x x
1
x
e
5、0 dx
6、第40页第五题
三等分角

问题：只限于用圆规和直尺，要求：
1) 作一个立方体的边长，使其立方体的体积
是一个给定立方体的体积的二倍(简称倍方问
题);
2) 把任意一个角三等分(简称三等分角问题)；
3) 作一个正方形的边长，使其正方形的面积
等于一个给定圆的面积(简称化圆为方问题)。

在漫长的历史中始终无法解决这三个问题，
从而人们开始怀疑者三个问题是无法解决的。
问题是，如何说明一个问题是无法解决的？
这里只讨论三等分角这一问题。问题的界定：
1、如果允许用圆规和直尺意外的工具，任意三
等分一个角的方法是有的。
2、即使只限于用圆规和直尺，我们也有条件：
直尺只能用来画直线，不允许用直尺做别的用
处。比如，不允许在直尺上标出刻度，因为如
果允许直尺作别的用处，三等分任意一个角是
可以做到的。

3、有一些角，比如  , 2 ，可以用圆规和直尺把
它们三等分。但我们的问题是：能否用圆规和
直尺三等分任意一个角。因此我们需要说明，
存在一个角，无法用圆规和直尺三等分。
问题的转化：
任取一个线段，把它看作单位长。如果我们能
作一个角 度为  的角，我们就可以作长度为
cos的角；反之，如果我们能作一条长度为
cos 的线段，那我们也可以作一个角度为 
的角。
因此，问题转化为：给定一个单位长度的线
段，仅用圆规和直尺无法作某个长度的线段问
题。
为简单起见，我们称“作长度为a的线段”为
“作实
数a”。
想法：

找出可以用圆规和直尺能作的所有实数的范
围，然后说明我们要作的实数不在这个范围
之内。
有理数域、数域
数域：一个数集，如果对其中任意两个数作加、
减、乘、除(规定0不能作除数)得到的数仍在这
个几何里，那么就称这个几何为数域。
 有理数集合构成一个数域。
 有理数域是可以做图的。

已有长度为a和b的两个线段，用圆规和直尺可
以作长为a+b,a-b,ab和a/b的线段。长为ab、
a/b的线段如下图所示。
D
D
b
1
B
ab
C
o
A
a/b B
C
o
A
a
1
a
b
长为ab
长为a/b
m
由于任意有理数都可以表示成两个整数m,n的商 n ，
由此可知，任意有理数都是可以作图的。
a 的作图
若长是a的线段是给定的，则可以作
a
D
A
1
B a
C
由此可知，我们可以作数域F={ a  b 2 |, a, b  Q }，
其中Q为有理数。
进一步，我们可以作数域 {r  t s | r, t,s  F}
中的任意一个数。称 {r  t s | r, t,s  F}为F的扩域。
从有理数出发，可以找到一系列的扩域。
可以证明，仅用尺规作图，得到的数要么在原
来的数域F中，要么在F的扩域中。
因而可得，仅用尺规作图，可作的图存在于从
有理数域出发，按上述方法产生的一系列扩域
中，且仅在这些扩域中。
三等分角是不可能的

现在我们说明：三等分角 是不可能的。
3
3
利用三角公式 cos3  4cos   3cos 
1
和 cos 60  ，可知 cos 20 满足 方程
2
8x  6 x  1  0
3
令 y  2 x 得 y3  3 y  1  0
只需说明这个方程的根是不可作图的。
方程的特点
第一,这个方程没有有理根；
第二，这个任意给出从有理数域出发的一列扩
域： Q  F0  F1    Fn
其中 Fk  {a b s | a,b,s  Fn1, s  Fn1}
如果方程的根属于其中的某一个Fk , 那么这个
方程一定在 Fk 1 中也有根。（证明略）
从而可知，方程的根是不能作图的。
数学与密码

在军事、社交和商业活动中，往往需要对传
送的信息进行加密。如何对信息进行加密和
解密，是密码学的主要课题。目前加密和解
密的工具是数学。这里介绍一下加密和解密
的思想。
一、早期信息的传输

利用文字的书写方式，改变文字的顺序，或
采用机械的格式把信息隐藏起来。
例如藏头诗：
名不出众貌不扬
落脚天宫找玉皇
孙猴自封齐天圣
山寨之中称大王
例：
不
山 在
高

仙
有
是
则
名
斯
陋
室
吾
唯 德
馨
山仙是吾山在有则斯陋唯德高名室馨

例：漏格板加密方式
信息加密的一般提法
加密密钥E
明文x
信道
密文y
解密秘钥D
密文y
明文x
凯撒码

由于改变文字书奴性的方式保密性不理想，
人们采用的更多的方式是代码的方法，即用
代码来替代信息中的词或字。
例如：明文：我去乌鲁木齐
代码：用“北京”代替“乌鲁木齐”，“你”
代替“我”，“来”代替“去”，
则密码变为：你去北京
凯撒码：
明文：a b c d e f g……
密文：d e f g h i j……
则若明文为 goodmorning
密文变为
jrrgpruqlqj
 任意选定一个字母与字母a对应，就得到一种
加密方式，这里一共有25种加密方式。“25”称
为密钥量。不同的密钥体系，对应相应的密钥
和密钥量。密钥量越大，密码体系越好。

凯撒码的数学表示
明文：
a b c… v w x y z
明文代码： 01 02 03… 22 23 24 25 26
密文代码： 04 05 06… 25 26 01 02 03
明文代码+3变为密文代码，超过26的除以26取
余数。
另外，我们还可以设计在明文代码上依次加上
一个不规则的数列，这样使得密文很难被破译。

公开密钥体系：
 由于一个人会和很多人通信，就需要保存很多密钥，
且密钥需要经常更换，这使得保密工作不易做好。
 20世纪七十年代，出现公开密钥体系，克服了以上
缺点。它的思想是：把密钥E取作单向函数，尽管
公开，别人知道了加密密钥E，但很难求其逆映
射—解密密钥D。
注：单向函数是指这个函数的逆映射很难求得。
 在通信上，理想的单向函数E需要满足：用现有的
最好的计算机和已研制出的最好的算法，在规定的
保密时间内无法求出E的反函数D。
利用单向函数来建立公开密钥体系：
假设某公司为2000个用户Ak (k=1,2,…2000)提
供加密解密通信服务。首先，公司制造2000对
加密密钥和解密密钥( Ei , Di )(i=1,2,…,2000)。
公司将解密密钥Ei 发给第i个用户，加密密钥公
开。
当用户A1要把信息x发给A2时，操作程序如下：
(1) 用户A1在公钥簿上查找到A2的公钥E2；
(2) 用E2对信息x加密，得到y=E2(x),将密文y发给A2;
(3) A2收到y用自己的私钥D2进行解密，得到x。

几何公理化体系非欧几何


欧几里得的《原本》：从5条公理和5条公设出发，
设法把几何的其他结果，用逻辑推理的方法全部推
导出来。
原本对后世产生了巨大影响。这种影响决不仅仅限
于数学，它几乎遍及所有领域。例如：牛顿的《自
然科学的哲学原理》，爱因斯坦的《相对论》，哲
学家斯宾诺莎的《伦理学——附几何论证》，马尔
萨斯的“人口论”，美国《独立宣言》等。中世纪，
很多神学家还曾企图用这种体系来证明上帝的存在。
公理体系
公理体系需要具备：
 相容性，即互相不能矛盾；
 完备性，即由公理出发可以推出体系中所有
命题；
 独立性，即不能由其中一些公理推导出另外
一些公理。
非欧几何



欧几里得《原本》的第五公设——平行公设是否独
立的讨论，引发了数学的天翻地覆的变化，引发了
人类历史上的一场革命。
第五公设：如果一条直线和另外两条直线相交，并
且在同侧所交的两个内角之和小于两个直角，那么，
这两条直线无限延长后必在该侧相交。这相当于说，
过直线外一点只能引一条直线和该直线平行。
第五公设说明两条直线在无限远的地方不会相交，
这在直观上不显然。欧几里得大概自己也意识到了
这一点，在他自己的体系中，尽量推后使用第五公
设，能不用尽量不用。





人们希望能够去掉这一公设，即希望能从其他公理
和公设中推导出“平行公设”，即希望它不是独立
于其他公理和公设的。
经过几百年的努力失败后，人们开始怀疑，证明
“平行公设”不独立于其他公理和公设是不可能的，
即“平行公设”是独立的。
高斯、罗巴契夫斯基和鲍耶在19世纪提出新的几何
体系——罗巴契夫斯基几何。罗氏几何用如下命题
代替了“平行公设”：
平面上过直线外一点至少可以引两条直线与该直线
不相交。
黎曼几何：任何两条直线都是相交的，不存在平行
直线。
……
到底哪种是真理？
在数学内部，欧几里得几何、罗巴切夫斯基
几何和黎曼几何等都是正确的数学体系，或
者说，都是正确的数学模型。当我们用数学
模型来描述现实世界时，所谓真理是指，哪
种模型描述的更确切，更好而已，这取决于
你所描述的现实世界的具体情况。
 典型的例子是球面几何。在球面上，任何两
条直线必相交。它和平面上的黎曼几何等价。
它不同于欧几里得几何，比如：球面三角形
的内角和大于180度。我们生活在球面上，我
们的现实空间是用黎曼几何来描述的。

罗巴切夫斯基几何也适用于描述宇宙中大的
空间。
 非欧几何的出现表明，我们可以建造完全不
同的、甚至结论彼此互相冲突的逻辑体系，
它们自身没有矛盾，都是数学上的真理。也
就是说，数学上的真理不是绝对的。

公理的相容性和完备性



歌德尔证明：对于包含自然数在内的任何具 有相
容性的形式体系，“该体系具有相容性”这一命题
在这个体系中是不可证明的。
他的结果表明：任何一个数学分支都无法做到完全
的公理推演，而且没有一个体系能够保证自身没有
矛盾。
这表明了数学公理体系的局限性，使得人们对数学、
对真理有了更深的认识，使得数学朝着更新的方向
发展。