Transcript 史宁中课程标准解读与初中数学教学

课程标准解读与
初中数学教学
东北师范大学
史宁中
2013. 9
报告目录
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一、修改过程简述
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二、课程标准解读
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三、对数学教学的要求
一、修改过程简述
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修改过程
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2001年，颁布课程标准、启动新一轮的课程改革
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2005年 3月，两会期间对数学课程标准出现争论
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2005年 6月，教育部成立数学课程标准修订工作组
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2006年10月，完成初稿
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2011年 2月，根据教育部的要求进行最终修改
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修订组成员。由14人组成，包括：

数学教授 6 人：
史宁中（组长，东北师范大学）、柳彬（北京大学）、
李文林（中国科学院）、顾沛（南开大学）、张英伯（北
京师范大学）、王尚志（首都师范大学）；
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数学教育教授 5 人：
马云鹏（东北师范大学）、马复（南京师范大学）、黄翔
（重庆师范大学）、刘晓玫（首都师范大学）、张丹（北
京教育学院）；
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数学教研员 1 人：杨裕前（江苏常州教育研究室）；

数学教师 2 人：张思明（北京大学附属中学）、储瑞年
（北京师范大学附属中学）。
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2005年 6月，在教育部 9 楼会议室召开会议
数学课程标准修订组正式成立。
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周济部长到会
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陈小娅副部长讲话

基本要求
1. 遵循《基础教育课程改革纲要》确定的基础教育课程
改革的基本理念；
2. 总结新一轮课程改革实施经验；
3. 使数学课程标准更加完善；
4. 使数学课程标准便于实施。
在广泛调查的基础上，第一次会议在吉林松花湖畔召开。
确定了课程标准修改原则；进行了大体分工。

坚持基础教育课程改革大方向；

使得标准更加准确、规范、明了、全面；

更适合于教材编写、教师教学、学习评价；

进一步处理好以下几个关系：
1.关注过程和结果的关系；
2.学生自主学习和教师讲授的关系；
3.合情推理和演绎推理的关系；
4.生活情境和知识系统性的关系。
二、课程标准解读
把握好三个问题（参见《课程标准解读》的序言）
1.如何理解课标
由教学大纲到课程标准的变化：教育理念、三维目标
2.如何理解数学
一般性、严谨性、应用的广泛性（抽象、推理、模型）
3.如何理解数学教育
基础性、普及性、发展性（不仅知识技能，也包括思维）
目标：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
能力：发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题
1.由教学大纲到课程标准：教育理念的转变
过去的理念：以知识为本（结果的教育）
关心问题是：
应当教那些内容
应当教到什么程度
考核内容是：
规定的内容是否教了
学生的掌握是否达到要求
教学目标是：
基础知识（概念记忆与命题理解）扎实
基本技能（证明技能与运算技能）熟练
教学形式是:
课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）
现代的理念：以人为本、育人为本（纲要）
以学生的发展为本（结果的教育 + 过程的教育）
不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能。
还要培养学生的基本数学素养（素质教育的核心）
数学的眼睛、数学的思维、数学的语言
要让学生感悟数学的思想
积累思维的经验和实践的经验
课程目标：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题
场景：操场有10名男同学，6名女同学
发现问题可以是现实的，提出问题应当是数学的
2. 如何理解数学：数学是研究数量关系和空间形式的科学
科学与艺术的区别
数学研究的东西不仅是现实的，也有发明，比如，
复数、四元数、高维空间、向量：教科书需要数学
数学的特征依赖数学的基本思想
数学思想不是：配方法、换元法、消元法、待定系数法
划归、转换、分类、数形结合、函数、方程
数学基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想
学习过数学与没有学习数学的思维差异
抽象、推理、模型
数学教学的责任：会抽象、会推理
通过抽象：把研究对象、以及对象之间的关系形成概念
数量与数量关系、图形与图形关系
从现实世界到数学内部，数学具有一般性
通过推理：从假设前提出发，通过推理得到数学的结果
逻辑推理：演绎推理、归纳推理
促进数学自身合理发展，数学具有逻辑性
通过模型：解决现实世界中的与数量和图形有关的问题
用数学的语言讲述现实世界的故事
从数学内部到现实世界，数学具有应用性
得到数学的基本特征：
一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）
3.如何理解义务教育阶段的数学教育
义务教育阶段的数学教育也具有三性
基础性、普及性、发展性
大多数学生未来并不从事数学工作
应当如何学习知识和技能：教学方法
除知识技能外还能得到什么：数学素养（思维方式）
一个人的成功依赖三个因素：知识、机遇、思维方式
一个好的思维方式的养成依赖于经验的积累
三、对数学教学的要求
培养学生的总体目标：

成为合格的公民
附小：学习的兴趣、良好的学习、良好的身心素质
附中：向上的精神、学习的兴趣、创造的激情、社会的责任感

掌握必要的知识技能
基础知识、基本技能

具有必要的数学素养
掌握数学基本思想：抽象、推理、模型
积累基本活动经验：思维的经验、实践的经验
实现有效教学、实现有效学习：
不仅要关注教师如何教、更要关注学生如何学
不仅重视教学方法、更要重视教学内容的本质
四基要求
不仅知道一些数学概念，掌握一些数学方法，还让学生感
悟一些数学的基本思想，积累一些数学思维活动和实践活动
的经验。
通过义务教育阶段的数学教育，应当使得学生具有一定的
抽象能力和逻辑推理能力。

在内容上。不仅要有数学的结果，也要有结果形成的缘由；
不仅有间接经验的数学知识，也要有直接经验的数学知识；
不仅有抽象的概念和法则，也要有直观的说明和启迪。

在教学上。要注重启发式教学，运用各种教学手段激发学生
的学习兴趣，创造足够的时间和空间，启发学生独立思考，
并且鼓励学生与他人交流，在独立思考、以及与他人交流的
过程中学会思考，引导学生自己得到结论（画角平分线）。

在评价上。不能短时间，三年或者六年。记忆的短期效能。
数学思想：抽象、推理、模型
数学思想不是知识，不能靠传授、而要靠在学习知识和技能
的过程中感悟。学习思考、学会做事是一种经验的积累。
如何感悟？如何积累？
抽象：代数
数的认识：数是对数量的抽象，认识数有两种方法：对应、定义。
对应方法：三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3
定义方法：一个一个多起来（后继数、皮亚诺算术公理体系）：
1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，…
对于基本概念的教学，应当根据教学的内容，设计
对应的方法、或者、定义的方法
如何认识 10000。10个1000？比9999多1？
可以采用定义的方法。
如何认识 负数。用数轴定义？用相反数定义？
可以采用对应的方法。
抽象：几何
空间与图形 → 图形与几何
几何：空间的度量
点、线、面的抽象
0 维是点、1 维是线、2 维是面、3 维是体。
日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的。
抽象
角的抽象
教科书：角是由两条有公共端点的射线组成的图形。
→
称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条
线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与
边长无关。
抽象
抽象的小结
功能：得到研究对象与基本术语。
数学的本质就是通过逻辑关系，用基本术语述说研究对象
的性质、以及研究对象之间的关系。
数量与数量关系、图形与图形关系。
结果：形成概念（自然数、负数、点、线、面、体、角）
形成关系（数的大小关系，点、线、面之间关系）
形成法则（由加法开始的四则运算，极限运算）
存在：抽象的 2 是不存在，只有具体的两匹马、两头牛。
抽象的东西是理念的存在，比如圆、比如郑板桥所说
我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。
推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理
数学的结论都是命题
数学命题：可供是否判断的陈述，命题本身不具备判断功能
1. 可以判断。下面陈述不是数学命题
这个三角形是美的
2. 仅供判断。下面两个陈述都是数学命题
三角形内角和180度
三角形内角和120度
推理的两种形式
直接推理：对命题的直接判断。
一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。
推理
逻辑推理
命题的内涵之间存在一条主线
凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。
非逻辑推理
命题的内涵之间不存在一条主线
苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。
两种逻辑推理
演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。
归纳推理：命题内涵由小到大。从特殊到一般。
演绎推理
演绎推理需要前提：公理或者假设。
“图形与几何”有 8 个基本事实。关于相似形的基本事实。
“数与代数”应当有至少 2 个基本事实。
基本事实 1： 等式（不等式）具有传递性。
a = b (a ﹥ b），b = c (a ﹥ b）
→ a = c (a ﹥ c）
基本事实 2：等式（不等式）两边加减相同的量不变。
a = b (a ﹥ b）
→ a + c = b + c (a + c ﹥ b + c）
a - c = b - c (a - c ﹥ b - c）
亥姆霍兹：40度的水 + 50度的水 = 90度的水 ？
勒贝格：1只狮子 + 1只兔子 = 2只动物 ？
加法定义：两个有理数相加，如果符号相同，取相同的符号，
和为两个数绝对值的和；如果符号不同，当两个
数的绝对值不等时，取绝对值大的数的符号，和
为两个数绝对值的差。相反数的和为零。
在许多实例的基础上得到
基本感悟：加一个整数比原来的数大。
加一个负数比原来的数小。
然后给与验证。
命题：加上一个负数等于减去这个负数的相反数。
推论：加上一个负数等于减去一个正数。
加上一个负数比原来的数小。
用数学符号表示命题：
b > 0，a + (-b) = a - b
令 x = a + (-b)。等式分别两边分别加上 b ，由基本事实 2
和相反数定义，得到：
x + b = a + (-b) + b = a
上面等式的两边同时减去b，再由基本事实 2，得到：
x + b – b = a – b
因为同样的数相减为 0，得到：x = a – b
由基本事实 1，得到：a + (-b) = a - b

演绎推理
演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。
论证问题的形式是：
已知 A 求证 B
其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识
发现知识需要下面两个能力：
从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力
因此，需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西
归纳推理
归纳推理
发现规律
在证明√2 为无理数时用到一个结果：
只有偶数的平方才能为偶数。
包含两个结论
偶数的平方为偶数（有）：
2×2 = 4，4×4 = 8，12×12
= 144
奇数的平方为奇数（只有）：
3×3 = 9，5×5 = 25，11×11
然后再证明
2a × 2a = 偶数
(2a + 1)×(2a + 1) = 奇数
= 121
归纳推理
类比的方法：几何
比如，距离：1维空间 → n 维空间
1维空间： d1(x,0) = √(x12)
2维空间： d2(x,0) = √(x12 + x22)
3维空间： d3(x,0) = √(x12 + x22 + x32)
…………
n维空间： dn(x,0) = √(x12 + … + xn2)
比如，命题：正方形 → 正多边形 → 所有凸图形
给定周长，四边形中正方形面积最大。
给定周长，三边形中等边三角形面积最大。
给定周长，五边形中正五边形面积最大。…………
数学是逻辑推理：归纳推理 + 演绎推理。数学具有严密性。
模型：用数学的语言讲述现实世界的故事
是沟通数学与现实世界的桥梁
抽象：现实→数学；推理：数学→数学；模型：数学→现实
义务教育阶段，主要有两个模型
总量模型（加法）
总量 = 部分
现在 = 过去
路程模型（乘法）
路程 = 速度
总价 = 单价
+ 部分 → 部分 = 总量 – 部分
+ 变化 → 变化 = 现在 – 过去
× 时间 → 时间 = 路程/速度
× 个数 → 个数 = 总价/单价
可以考虑：植树模型，工程模型，二项模型（统计）
统计学与数学的区别
1. 研究基础不同 数学：定义，假设；统计：数据。
2.
3.
研究方法不同 数学：演绎推理；统计：归纳推理。
结果评价不同 数学：对错；统计：好坏。
1. 研究基础不同
某小学男同学，对香港演员不是喜欢成龙就是喜欢周星驰。
用0表示周星驰，用1表示成龙。
函数：1-3年喜欢周星驰；4-6喜欢成龙。
f(x) = 0，当 x = 1，2，3；f(x) = 1，当 x = 1，5，6。
概率：已知喜欢周星驰的为 1/3。
p(x=0) = 1/3；p(x=1) = 2/3。
统计：调查 n 个同学，有 m 个同学喜欢周星驰。估计
p(x=0) = p = m/n。
2. 研究方法不同
什么是平均数。
数学：是一种含有加法和除法的运算。
统计：是一种估计的方法。
比如测量。a为真值；x为测量值；ε为误差。
x = a + ε
n 次测量，得到
x1 = a + ε1
……
xn = a + εn
x1 + …… +xn = na + ε1 + …… +εn，
ε为随机误差：ε1+ …… +εn = 0，
则用样本平均（x1 + …… +xn）/n 估计真值 a。
3. 结果评价不同
用 m/n 估计概率好不好？
继续考虑前一个问题。如果只调查了2名同学，这两名同学都
喜欢周星驰，则 m/n = 2/2 = 1。不合理。
其他的估计方法，比如，贝叶斯的方法：
用(m+1)/(n+2)估计概率，则
(2+1)/(2+2) = 3/4
比较合理。
因此，统计学研究用那种方法更好。
如果在我国的中小学数学教育中
一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面又添
加了“基本思想”和“基本活动经验”，必将会出现既有
“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式。
就必将会出现“外国没有的我们有，外国有的我们也有”的局
面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于
世界。
谢谢！
过去教育的核心：传授知识、训练技能。
知识是什么？
知识是一种结果：思考的结果、经验的结果。
因此，单纯传授知识的教育是结果的教育。
还缺少什么？
缺少智慧的教育：智慧表现在过程之中（直觉、直观）
因此，智慧的教育需要过程的教育。
“关于教育的哲学”，《教育研究》1998年10期
“试论教育的本原”，《教育研究》2009年 8期
对于数学教学，智慧的含义是什么？
能发现问题 + 会思考问题 + 会解决问题
能发现、会思考、会解决不是教师教授的结果，是经验的积累。
经验是在过程中积累的。
因此，教师要设计教学活动：让学生参与其中，
让学生经历思考的过程
通过自己的思考积累思维的经验
学生自主学习的教育价值是什么？
能够发现问题 + 学会思考问题 ：建立起学科直观
教师要创设合适情境。不仅仅是为了知道数学与现实的联系，
还要让学生感悟数学是如何抽象、是如何解释现实世界的。
创设的情境要符合实际，符合学生的思维能力。
老师要提出恰当的问题。引发学生独立思考。学生思考讨论
发表结果，教师必须进行总结。
不仅看结果，也要分析思维过程（荷叶上的青蛙）
这就是帮助学生积累经验：思维的经验、实践的经验
函数是初中和高中代数最为核心的内容。
初中教材关于函数定义：两个变量x与y，对于给定的x值都有唯
一的y值与其对应，则称y是x的函数，表示为y = f(x)。
y = √x ？
变量说 对于两个变量x与y，当x变化时y值也随之变化，则称y
是x的函数，表示为y=f(x)。
对应说 有两个集合A和B，对于任意x∈A，B中都存在唯一的y值
与之对应，则称y是x的函数。称A为定义域，B为值域。
变量说的不足 过分强调变化关系，没有指名定义域和值域。
f(x) = shi2x + cos2x，g(x) = 1。 f(x) = g(x) ?
对应说的不足 需要引进集合的概念。
改造于《九章算术》方程篇第八题。
在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下：
第一次 卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合
计收入10钱；
第二次 卖牛收入36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合
计收支相当；
第三次 买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24钱，合
计支出6钱。
如何用数学的方法表达？
文字形式
第一次
第二次
第三次
数字形式
第一次
第二次
第三次
牛
收入24
收入36
支出60
羊
收入25
支出45
收入30
猪
支出39
收入90
收入24
合计
收入10
0
支出6
牛
24
36
-60
羊
25
-45
30
猪
-39
90
24
合计
10
0
-6
负数与自然数：数量相等（绝对值）、意义相反。
如何理解方程？
教科书定义：把含有未知数的等式叫做方程。
合适吗？如何定义等式？
通常理解：等式是含有等号的式子。
如何理解等号？
等号功能有两种功能：
传递性
比如表示计算结果：1 + 1 = 2
与此对应：x + x = 2x 是方程吗？
量相等 比如现实中的问题：如何教加法？
如何认识 3 + 1 = 4 ？
教科书
□□□ ← □
为什么？
加法是一种对应，表示量相等
□□□
□□□□
哪一组多？
□□□ ←□
□□□□
哪一组多？
3 + 1
=
4
感悟“加”的意义，感悟“相等”的意义
画角平分线不是为了学会技能，而是为了培养想象力。
基本事实：两点之间线段最短。
平面上的线段（距离）：欧几里得几何
球面上的线段（距离）：黎曼几何
北京和纽约都在北纬40度
沿纬度：14311公里
沿大圆：11005公里
缩短：3306公里
最短线为直线：大圆
所有直线相交：没有平行线（黎曼几何）