史宁中课程标准解读与初中数学教学

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Transcript 史宁中课程标准解读与初中数学教学

课程标准解读与
初中数学教学
东北师范大学
史宁中
2013. 9
报告目录
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一、修改过程简述

二、课程标准解读
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三、对数学教学的要求
一、修改过程简述
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修改过程

2001年,颁布课程标准、启动新一轮的课程改革

2005年 3月,两会期间对数学课程标准出现争论

2005年 6月,教育部成立数学课程标准修订工作组

2006年10月,完成初稿

2011年 2月,根据教育部的要求进行最终修改

修订组成员。由14人组成,包括:

数学教授 6 人:
史宁中(组长,东北师范大学)、柳彬(北京大学)、
李文林(中国科学院)、顾沛(南开大学)、张英伯(北
京师范大学)、王尚志(首都师范大学);

数学教育教授 5 人:
马云鹏(东北师范大学)、马复(南京师范大学)、黄翔
(重庆师范大学)、刘晓玫(首都师范大学)、张丹(北
京教育学院);

数学教研员 1 人:杨裕前(江苏常州教育研究室);

数学教师 2 人:张思明(北京大学附属中学)、储瑞年
(北京师范大学附属中学)。

2005年 6月,在教育部 9 楼会议室召开会议
数学课程标准修订组正式成立。

周济部长到会

陈小娅副部长讲话

基本要求
1. 遵循《基础教育课程改革纲要》确定的基础教育课程
改革的基本理念;
2. 总结新一轮课程改革实施经验;
3. 使数学课程标准更加完善;
4. 使数学课程标准便于实施。
在广泛调查的基础上,第一次会议在吉林松花湖畔召开。
确定了课程标准修改原则;进行了大体分工。

坚持基础教育课程改革大方向;

使得标准更加准确、规范、明了、全面;

更适合于教材编写、教师教学、学习评价;

进一步处理好以下几个关系:
1.关注过程和结果的关系;
2.学生自主学习和教师讲授的关系;
3.合情推理和演绎推理的关系;
4.生活情境和知识系统性的关系。
二、课程标准解读
把握好三个问题(参见《课程标准解读》的序言)
1.如何理解课标
由教学大纲到课程标准的变化:教育理念、三维目标
2.如何理解数学
一般性、严谨性、应用的广泛性(抽象、推理、模型)
3.如何理解数学教育
基础性、普及性、发展性(不仅知识技能,也包括思维)
目标:基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
能力:发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题
1.由教学大纲到课程标准:教育理念的转变
过去的理念:以知识为本(结果的教育)
关心问题是:
应当教那些内容
应当教到什么程度
考核内容是:
规定的内容是否教了
学生的掌握是否达到要求
教学目标是:
基础知识(概念记忆与命题理解)扎实
基本技能(证明技能与运算技能)熟练
教学形式是:
课堂、教材、教师(凯洛夫的三中心论)
现代的理念:以人为本、育人为本(纲要)
以学生的发展为本(结果的教育 + 过程的教育)
不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能。
还要培养学生的基本数学素养(素质教育的核心)
数学的眼睛、数学的思维、数学的语言
要让学生感悟数学的思想
积累思维的经验和实践的经验
课程目标:基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题
场景:操场有10名男同学,6名女同学
发现问题可以是现实的,提出问题应当是数学的
2. 如何理解数学:数学是研究数量关系和空间形式的科学
科学与艺术的区别
数学研究的东西不仅是现实的,也有发明,比如,
复数、四元数、高维空间、向量:教科书需要数学
数学的特征依赖数学的基本思想
数学思想不是:配方法、换元法、消元法、待定系数法
划归、转换、分类、数形结合、函数、方程
数学基本思想:数学的产生与发展必须依赖的思想
学习过数学与没有学习数学的思维差异
抽象、推理、模型
数学教学的责任:会抽象、会推理
通过抽象:把研究对象、以及对象之间的关系形成概念
数量与数量关系、图形与图形关系
从现实世界到数学内部,数学具有一般性
通过推理:从假设前提出发,通过推理得到数学的结果
逻辑推理:演绎推理、归纳推理
促进数学自身合理发展,数学具有逻辑性
通过模型:解决现实世界中的与数量和图形有关的问题
用数学的语言讲述现实世界的故事
从数学内部到现实世界,数学具有应用性
得到数学的基本特征:
一般性(抽象)、严谨性(逻辑)、应用的广泛性(模型)
3.如何理解义务教育阶段的数学教育
义务教育阶段的数学教育也具有三性
基础性、普及性、发展性
大多数学生未来并不从事数学工作
应当如何学习知识和技能:教学方法
除知识技能外还能得到什么:数学素养(思维方式)
一个人的成功依赖三个因素:知识、机遇、思维方式
一个好的思维方式的养成依赖于经验的积累
三、对数学教学的要求
培养学生的总体目标:

成为合格的公民
附小:学习的兴趣、良好的学习、良好的身心素质
附中:向上的精神、学习的兴趣、创造的激情、社会的责任感

掌握必要的知识技能
基础知识、基本技能

具有必要的数学素养
掌握数学基本思想:抽象、推理、模型
积累基本活动经验:思维的经验、实践的经验
实现有效教学、实现有效学习:
不仅要关注教师如何教、更要关注学生如何学
不仅重视教学方法、更要重视教学内容的本质
四基要求
不仅知道一些数学概念,掌握一些数学方法,还让学生感
悟一些数学的基本思想,积累一些数学思维活动和实践活动
的经验。
通过义务教育阶段的数学教育,应当使得学生具有一定的
抽象能力和逻辑推理能力。

在内容上。不仅要有数学的结果,也要有结果形成的缘由;
不仅有间接经验的数学知识,也要有直接经验的数学知识;
不仅有抽象的概念和法则,也要有直观的说明和启迪。

在教学上。要注重启发式教学,运用各种教学手段激发学生
的学习兴趣,创造足够的时间和空间,启发学生独立思考,
并且鼓励学生与他人交流,在独立思考、以及与他人交流的
过程中学会思考,引导学生自己得到结论(画角平分线)。

在评价上。不能短时间,三年或者六年。记忆的短期效能。
数学思想:抽象、推理、模型
数学思想不是知识,不能靠传授、而要靠在学习知识和技能
的过程中感悟。学习思考、学会做事是一种经验的积累。
如何感悟?如何积累?
抽象:代数
数的认识:数是对数量的抽象,认识数有两种方法:对应、定义。
对应方法:三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3
定义方法:一个一个多起来(后继数、皮亚诺算术公理体系):
1 = 0 + 1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,4 = 3 + 1,…
对于基本概念的教学,应当根据教学的内容,设计
对应的方法、或者、定义的方法
如何认识 10000。10个1000?比9999多1?
可以采用定义的方法。
如何认识 负数。用数轴定义?用相反数定义?
可以采用对应的方法。
抽象:几何
空间与图形 → 图形与几何
几何:空间的度量
点、线、面的抽象
0 维是点、1 维是线、2 维是面、3 维是体。
日常生活看到的几何图形都是三维的,点线面是抽象的。
抽象
角的抽象
教科书:角是由两条有公共端点的射线组成的图形。
→
称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成,这两条
线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边,角的大小与
边长无关。
抽象
抽象的小结
功能:得到研究对象与基本术语。
数学的本质就是通过逻辑关系,用基本术语述说研究对象
的性质、以及研究对象之间的关系。
数量与数量关系、图形与图形关系。
结果:形成概念(自然数、负数、点、线、面、体、角)
形成关系(数的大小关系,点、线、面之间关系)
形成法则(由加法开始的四则运算,极限运算)
存在:抽象的 2 是不存在,只有具体的两匹马、两头牛。
抽象的东西是理念的存在,比如圆、比如郑板桥所说
我画的不是我眼中之竹,而是我心中之竹。
推理:数学内部的发展依赖的是逻辑推理
数学的结论都是命题
数学命题:可供是否判断的陈述,命题本身不具备判断功能
1. 可以判断。下面陈述不是数学命题
这个三角形是美的
2. 仅供判断。下面两个陈述都是数学命题
三角形内角和180度
三角形内角和120度
推理的两种形式
直接推理:对命题的直接判断。
一般推理:一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。
推理
逻辑推理
命题的内涵之间存在一条主线
凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。
非逻辑推理
命题的内涵之间不存在一条主线
苹果是酸的,酸是一种味道,苹果是一种味道。
两种逻辑推理
演绎推理:命题内涵由大到小。从一般到特殊。
归纳推理:命题内涵由小到大。从特殊到一般。
演绎推理
演绎推理需要前提:公理或者假设。
“图形与几何”有 8 个基本事实。关于相似形的基本事实。
“数与代数”应当有至少 2 个基本事实。
基本事实 1: 等式(不等式)具有传递性。
a = b (a ﹥ b),b = c (a ﹥ b)
→ a = c (a ﹥ c)
基本事实 2:等式(不等式)两边加减相同的量不变。
a = b (a ﹥ b)
→ a + c = b + c (a + c ﹥ b + c)
a - c = b - c (a - c ﹥ b - c)
亥姆霍兹:40度的水 + 50度的水 = 90度的水 ?
勒贝格:1只狮子 + 1只兔子 = 2只动物 ?
加法定义:两个有理数相加,如果符号相同,取相同的符号,
和为两个数绝对值的和;如果符号不同,当两个
数的绝对值不等时,取绝对值大的数的符号,和
为两个数绝对值的差。相反数的和为零。
在许多实例的基础上得到
基本感悟:加一个整数比原来的数大。
加一个负数比原来的数小。
然后给与验证。
命题:加上一个负数等于减去这个负数的相反数。
推论:加上一个负数等于减去一个正数。
加上一个负数比原来的数小。
用数学符号表示命题:
b > 0,a + (-b) = a - b
令 x = a + (-b)。等式分别两边分别加上 b ,由基本事实 2
和相反数定义,得到:
x + b = a + (-b) + b = a
上面等式的两边同时减去b,再由基本事实 2,得到:
x + b – b = a – b
因为同样的数相减为 0,得到:x = a – b
由基本事实 1,得到:a + (-b) = a - b

演绎推理
演绎推理只能用来验证知识,不能用来发现知识。
论证问题的形式是:
已知 A 求证 B
其中 A 和 B 都是确定性命题,没有新的知识
发现知识需要下面两个能力:
从条件预测结果的能力,从结果探究成因的能力
因此,需要归纳推理:从经验过的东西推断未曾经验的东西
归纳推理
归纳推理
发现规律
在证明√2 为无理数时用到一个结果:
只有偶数的平方才能为偶数。
包含两个结论
偶数的平方为偶数(有):
2×2 = 4,4×4 = 8,12×12
= 144
奇数的平方为奇数(只有):
3×3 = 9,5×5 = 25,11×11
然后再证明
2a × 2a = 偶数
(2a + 1)×(2a + 1) = 奇数
= 121
归纳推理
类比的方法:几何
比如,距离:1维空间 → n 维空间
1维空间: d1(x,0) = √(x12)
2维空间: d2(x,0) = √(x12 + x22)
3维空间: d3(x,0) = √(x12 + x22 + x32)
…………
n维空间: dn(x,0) = √(x12 + … + xn2)
比如,命题:正方形 → 正多边形 → 所有凸图形
给定周长,四边形中正方形面积最大。
给定周长,三边形中等边三角形面积最大。
给定周长,五边形中正五边形面积最大。…………
数学是逻辑推理:归纳推理 + 演绎推理。数学具有严密性。
模型:用数学的语言讲述现实世界的故事
是沟通数学与现实世界的桥梁
抽象:现实→数学;推理:数学→数学;模型:数学→现实
义务教育阶段,主要有两个模型
总量模型(加法)
总量 = 部分
现在 = 过去
路程模型(乘法)
路程 = 速度
总价 = 单价
+ 部分 → 部分 = 总量 – 部分
+ 变化 → 变化 = 现在 – 过去
× 时间 → 时间 = 路程/速度
× 个数 → 个数 = 总价/单价
可以考虑:植树模型,工程模型,二项模型(统计)
统计学与数学的区别
1. 研究基础不同 数学:定义,假设;统计:数据。
2.
3.
研究方法不同 数学:演绎推理;统计:归纳推理。
结果评价不同 数学:对错;统计:好坏。
1. 研究基础不同
某小学男同学,对香港演员不是喜欢成龙就是喜欢周星驰。
用0表示周星驰,用1表示成龙。
函数:1-3年喜欢周星驰;4-6喜欢成龙。
f(x) = 0,当 x = 1,2,3;f(x) = 1,当 x = 1,5,6。
概率:已知喜欢周星驰的为 1/3。
p(x=0) = 1/3;p(x=1) = 2/3。
统计:调查 n 个同学,有 m 个同学喜欢周星驰。估计
p(x=0) = p = m/n。
2. 研究方法不同
什么是平均数。
数学:是一种含有加法和除法的运算。
统计:是一种估计的方法。
比如测量。a为真值;x为测量值;ε为误差。
x = a + ε
n 次测量,得到
x1 = a + ε1
……
xn = a + εn
x1 + …… +xn = na + ε1 + …… +εn,
ε为随机误差:ε1+ …… +εn = 0,
则用样本平均(x1 + …… +xn)/n 估计真值 a。
3. 结果评价不同
用 m/n 估计概率好不好?
继续考虑前一个问题。如果只调查了2名同学,这两名同学都
喜欢周星驰,则 m/n = 2/2 = 1。不合理。
其他的估计方法,比如,贝叶斯的方法:
用(m+1)/(n+2)估计概率,则
(2+1)/(2+2) = 3/4
比较合理。
因此,统计学研究用那种方法更好。
如果在我国的中小学数学教育中
一方面保持“数学双基教学”合理的内核,一方面又添
加了“基本思想”和“基本活动经验”,必将会出现既有
“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式。
就必将会出现“外国没有的我们有,外国有的我们也有”的局
面,到了那一天,我们就能自豪地说,中国的基础教育领先于
世界。
谢谢!
过去教育的核心:传授知识、训练技能。
知识是什么?
知识是一种结果:思考的结果、经验的结果。
因此,单纯传授知识的教育是结果的教育。
还缺少什么?
缺少智慧的教育:智慧表现在过程之中(直觉、直观)
因此,智慧的教育需要过程的教育。
“关于教育的哲学”,《教育研究》1998年10期
“试论教育的本原”,《教育研究》2009年 8期
对于数学教学,智慧的含义是什么?
能发现问题 + 会思考问题 + 会解决问题
能发现、会思考、会解决不是教师教授的结果,是经验的积累。
经验是在过程中积累的。
因此,教师要设计教学活动:让学生参与其中,
让学生经历思考的过程
通过自己的思考积累思维的经验
学生自主学习的教育价值是什么?
能够发现问题 + 学会思考问题 :建立起学科直观
教师要创设合适情境。不仅仅是为了知道数学与现实的联系,
还要让学生感悟数学是如何抽象、是如何解释现实世界的。
创设的情境要符合实际,符合学生的思维能力。
老师要提出恰当的问题。引发学生独立思考。学生思考讨论
发表结果,教师必须进行总结。
不仅看结果,也要分析思维过程(荷叶上的青蛙)
这就是帮助学生积累经验:思维的经验、实践的经验
函数是初中和高中代数最为核心的内容。
初中教材关于函数定义:两个变量x与y,对于给定的x值都有唯
一的y值与其对应,则称y是x的函数,表示为y = f(x)。
y = √x ?
变量说 对于两个变量x与y,当x变化时y值也随之变化,则称y
是x的函数,表示为y=f(x)。
对应说 有两个集合A和B,对于任意x∈A,B中都存在唯一的y值
与之对应,则称y是x的函数。称A为定义域,B为值域。
变量说的不足 过分强调变化关系,没有指名定义域和值域。
f(x) = shi2x + cos2x,g(x) = 1。 f(x) = g(x) ?
对应说的不足 需要引进集合的概念。
改造于《九章算术》方程篇第八题。
在汉朝的时候,有一个人做了三次牲畜买卖,收支情况如下:
第一次 卖牛收入24钱,卖羊收入25钱,买猪支出39钱,合
计收入10钱;
第二次 卖牛收入36钱,买羊支出45钱,卖猪收入90钱,合
计收支相当;
第三次 买牛支出60钱,卖羊收入30钱,卖猪收入24钱,合
计支出6钱。
如何用数学的方法表达?
文字形式
第一次
第二次
第三次
数字形式
第一次
第二次
第三次
牛
收入24
收入36
支出60
羊
收入25
支出45
收入30
猪
支出39
收入90
收入24
合计
收入10
0
支出6
牛
24
36
-60
羊
25
-45
30
猪
-39
90
24
合计
10
0
-6
负数与自然数:数量相等(绝对值)、意义相反。
如何理解方程?
教科书定义:把含有未知数的等式叫做方程。
合适吗?如何定义等式?
通常理解:等式是含有等号的式子。
如何理解等号?
等号功能有两种功能:
传递性
比如表示计算结果:1 + 1 = 2
与此对应:x + x = 2x 是方程吗?
量相等 比如现实中的问题:如何教加法?
如何认识 3 + 1 = 4 ?
教科书
□□□ ← □
为什么?
加法是一种对应,表示量相等
□□□
□□□□
哪一组多?
□□□ ←□
□□□□
哪一组多?
3 + 1
=
4
感悟“加”的意义,感悟“相等”的意义
画角平分线不是为了学会技能,而是为了培养想象力。
基本事实:两点之间线段最短。
平面上的线段(距离):欧几里得几何
球面上的线段(距离):黎曼几何
北京和纽约都在北纬40度
沿纬度:14311公里
沿大圆:11005公里
缩短:3306公里
最短线为直线:大圆
所有直线相交:没有平行线(黎曼几何)