Transcript 数学建模教学设计
第十一讲 中学数学建模专题
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引言
时代在前进，科学技术的迅猛发展特别是计算机技术的飞 速发展，冲击着原来数学课程与教学模式，数学教育目的、 内容重点和教学手段等诸多方面都出现了新的变化。 现代科学技术的迅猛发展，数学的应用领域得到了极大的 拓展，各行各业都用到数学，就像今天识字、阅读一样， 数学成为公民必需的文化修养，数学教育大众化是时代的 要求。 我国素质教育改革的深入发展也要求数学课程进一步改革 和完善。其中利用建立数学模型解决问题的数学建模教学 自然就浮出水面，从国外到国内，从大学到中学，越来越 成为数学教育改革的一个热点。
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另外可以参看一篇文章 [ 从高考数学建模题看中学数学教育改革 ]
( 3)已经实验的义务教育阶段的数学课程标准对 学生应用意识的培养进行了全面的阐述。 (4)2004年颁布的《普通高中数学课程标准》 （实验）中明确指出，发展学生的数学应用意 识是高中课程的基本理念之一。
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学习数学建模是社会发展的需要 当前，数学模型已成为科技工作者经常谈论的名词，炼钢厂的工程师们希望有 炼钢过程的数学模型，以实现计算机的自动控制；气象工作者需要天气预报的 数学模型；从事城市规划工作的专家需要建立一个包括人口、交通、能源、城 市环境的数学模型，为决策者提供决策依据；金融工作者需要计算期权定价的 数学模型…众所周知，现在美国正在研究的国家导弹防御系统中包含着大量的 数学问题，如果要对导弹进行拦截，就要对雷达上接受到的数据进行短时间的 处理，这其中就包括大量的数学模型。 数学建模可以为我们研究的对象提供分析、预报、 决策和控制、优化等定量结果。它是数学应用的必 由之路，人类和社会的发展都需要数学建模.
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数学建模与素质教育 素质教育是指依据人的发展和社会 发展的实际需要，以全面提高全体 学生的基本素质为根本目的，以尊 重学生主体性和主动精神，注重开 发人的智慧潜能，注重形成人的健 全个性为根本特征的教育。
数学建模是指把现实世界中的实际问题 加以提炼，抽象为数学模型，求出模型 的解，验证模型的合理性，并用该数学 模型所提供的解答来解释现实问题。
实际上，数学教学，就是对学生进行严格的数学训练，可以使学生具备 一些特有的素质，而这些素质是其他课程的学习和其他方面的实践所无 法代替或难以达到的。这些素质初步归纳一下，有以下几个方面： (1)通过数学的训练，可以使学生树立明确的数量观念，“胸中有数”， 认真地注意事物的数量方面及其变化规律。 (2)提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理分明，有条不紊地 处理头绪纷繁的各项工作。 (3)数学上推导要求的每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有 助于培养学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。 (4)数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最低的条件（代价）以及最 简明的证明，可以使学生形成精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。
(5)通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源 和过程，了解和领会由实际需要出发、到建立数学模型、再到解决实际问题的 全过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和 能力。 (6)通过数学的训练，可以使学生增强拼搏精神和应变能力，能通过不断分析 矛盾，从表面上一团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。 (7)可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善所学 的数学结论、改进证明的思路和方法、发现不同的数学领域或结论之间的内在 联系、拓展数学知识的应用范围以及解决现实问题等方面，逐步显露出自己的 聪明才智。 (8)使学生具有某种数学上的直觉和想象力，包括几何直观能力，能够根据所 面对的问题的本质或特点，八九不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提 供借鉴。
数学建模竞赛所提倡的团队精神， 对于培养学生的合作意识，学会 尊重他人，注意学习别人的长处， 培养求同存异、取长补短、同舟 共济、团结互助等集体主义的优 秀品质都起到了不可忽略的作用。
数学建模对于实施素质教育 有着重大的指导意义和主要 的推动作用。 素质教育也对数学建模有着 必然的依赖性。
二、怎样在中学开展数学建模的教与学 ?
（一）开展数学建模教学形式 （二）开展数学建模关键及注意问题 （三） 数学建模教学设计
（一）开展数学建模教学形式 • •
1.建模同正常数学教学的结合与“切入” 2.以数学应用和数学建模为主题的单独 的教学环节
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3.开设数学建模选修课程
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建模同正常数学教学的结合与“切入” “ 切入”是指教师可以把一些较小的数字应用和数学建模的问题，通过把问题解决的过 程分解后，放到正常教学的局部环节上去做，并且注意经常这样做。我们可以用“化整 为零” 、“细水长流”来描述这样的做法。比如在新知识的引用、复习课时，可以用 一点时间来穿插介绍一个数学应用和数学建模的问题，让学生在课堂上通过讨论仅仅完 成“问题数学化”的过程（比如建立起相应的方程或不等式），而把问题的具体求解过 程留给学生放到课外完成。较大或较难的问题可与假期作业和科技小论文的写作结合起 来，放到假期或给学生一个较长的时间来完成。 “切入”的内容应与正常的教学内容、教材的要求比较接近，以便于学生的理解和对教 材知识的掌握。
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以数学应用和数学建模为主题的单独 的教学环节
方程、不等式 函数、线性 规划、概率
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数学建模选修课程
待探讨。
（二）开展数学建模关键及注意问题
关键是寻找一批适合学生参与的“好的 问题” 教师在选择这些问题时，应该注意以下几点： （ 1）应努力选择与学生的生活实际相关的问题，并减少对问 题不必要的认为加工和刻意雕琢； （2）数学建模选用的问题最好有较为宽泛的数学背景，有 不同层次以便不同水平学生的参与，并注意问题的可扩展性 和开放性；
（3）解决数学建模问题应努力表现建模的全过程，而不仅仅 是问题本身的解决； （4）应鼓励学生在问题分析解决的过程中使用计算工具和成 品工具软件； （5）提倡教师自己动手，因地制宜地收集、编制、改造数学 应用或建模问题，以更适合学生的使用，并根据所教学生的 实际情况采取适当的教学或学习策略。
教师把握教学目标时应立足于“做”而不是讲， 立足于学生对问题的分析，对解决问题过程的理 解，而不要仅仅满足有正确的解答。 要让学生在问题、困难、挑战、挫折、取胜的交 替体验中，在选择、判断、协作、交流的轮换操 作中，经历一个个学数学，用数学，进而发现问 题，走向新的学数学、用数学的过程。
（三）数学建模教学设计
在教学观念上要实现了以下 四个转变： 1、 从以传授知识为主要目标的继承性教育转变 到以培养能力为主要目标的创新教育 2 、从以教师为中心的注入式教学转变到以教师 为主导作用与学生主体作用相结合的探究式教学。
3、应试教育转变到素质教育。 4、 从传统的教学模式转变到运用现代教育 技术的新型教学模式。
根据上述教学理念，可以进行如下教学设计： 1. 将创新教育贯穿教学过程始终 2. 教学方法多样化 3. 教学手段现代化 4. 教学评价多元化
1. 将创新教育贯穿教学过程始终 数学建模过程本身就是一个创造和发现的过程。 数学建模一般没有“标准答案”，没有一种固 定的程序模式，对同一个实际问题，可以从各 种角度去观察、去分析探讨它，可以采取不同 的数学方法和思路，甚至建立起完全不同的数 学模型，这就为学生发挥创造潜能提供了广阔 的空间。因此，在教学过程中，在教学的各个 环节，他们都要为学生提供发挥创造潜能的机 会，使他们得到足够的锻炼。
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教学方法多样化
探究式教学、案例式教学、问答式教学、研讨式教学等，让 学生从被动接受变为主动参与，充分调动学生学习的积极性， 激发学生的学习兴趣，挖掘学生的学习潜能，发挥学生的聪 明才智。 同时加强实践环节，安排课程设计，开设不同层次的实验： 基础实验、选做实验、开放性实验。基础实验是在教师指导 下，学生根据实验课题独立完成上机实验；选做实验是学生 分组（ 3人一组）完成，小组讨论选择实验课题、设定实验 方案及算法设计，然后集体完成上机实验；开放性实验可通 过申请、预约，经过能力评估后，由任课教师安排指导进入 实验课题。
3. 教学手段现代化 • 要充分运用现代教育技术 ( 包括多媒体技 术与网络技术 ) 提升教学水平与教学效果。
4. 教学评价多元化 实施教学评价多元化，全面监测和评价教与学两个方面的教学效果， 以促进和保障教学质量不断提高。
在评价教师教学的环节中，可以采取校督导组专家巡查听课、设置学生 信息员、期中召开学生评议会、期末学生网上评教等教学全过程综合评 价体系，综合评价每个任课教师在教学态度、教学内容、教学方法、表 达能力、育人寓教、作业批改等方面的情况。根据上述各个环节取得的 教师教学评价信息，通过安排教研活动，及时总结和交流教学实效好的 教学经验，促进教师共同不断提高教学貭量。 在评价学生学习的环节中，应以 “ 考试只是手段，知识学习和能力培 养才是目的 ” 为指导思想，督促学生重视知识获取和能力提高的过程， 充分调动学生在课堂讨论、师生互动、实践训练、协作交流等方面的积 极性与主动性。在课程学习的全过程中促进学生建立自主学习、努力进 取的良好学习氛围，可以采取平时考查、课程实验、课程设计和期末考 试相结合的综合评价体系。
一个中学数学建模的简要案例
以“教育储蓄”为素材，通过建模活动 让学生学会运用等差、等比数列的通项、 求和等知识，构造经济方面的数学模型， 并最后解决问题。
以下是教学设计：
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）请学生个人或组成小组， 利用课余时间收集有关“教育储 蓄”的资料，事先可以让学生讨 论需要了解的信息是什么。主要 途径：网上主题词检索、各大银 行直接询问。
（ 2 ）让学生交流、相互启发补充扩展他们取得的信息。重 点确认以下信息： 教育储蓄的适用对象(在校中小学生),储蓄类型和特点(“ 零存整取”的形式,但享受“整存整取”的利率,不扣利息 税),最低起存金额(人民币50元)，每户存款本金的最高限 额(人民币2万元)，支取方式(到3年期或到6年期，凭学校 开出的在学证明一次支取本息)，银行现行的各类、各档存 款利率(略)，零存整取、整存整取的本息计算方法。 学生常常出现的问题是信息寻求时“丢三落四”，用相互交流的 方式常常可以改善这一点。同时，合作学习、合作解决问题的意识， 也是我们特别要培养的基本功。
（3）请学生提出拟解决的问题，根据问题， 在教师带领下，寻找适用的数学工具，建立 相应的数学模型，如有： ① 依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年或6年)时一次可 支取本息共多少钱？(等差数列求和，公式应用模型) ②依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年或6年)时一次可支 取本息共多少钱？(公式模型的一般化) ③依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本 息比同档次的“零存整取”多收益多少钱？(比较方知优劣) ④欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少钱？ ⑤欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少钱？（特殊 到一般）
⑥依教育储蓄的方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到4年时， 学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱?
⑦依教育储蓄的方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到b年时， 学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱?(分段函数的模 型，一般化) ⑧（开放题）不用教育储蓄的方式，而用其他的储蓄形式，以每月可存 100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大利益，将得 到的结果与教育储蓄比较。（可以涉及等比数列、递推关系、单调性应 用、不等式比较等许多知识。） ⑨（开放题）学生自己设计的其他计算题。（如自己设立指标，计算并 比较3年期和6年期教育储蓄的相对收益大小；设计一项专项储蓄方案； 设计一个回报率更高的投资方案等。） ⑩（开放题）将问题解决过程中出现的数学模型（等差数列或复利增长 模型）进一步抽象出来，看看它还有怎样的应用?
(4) 学生交流计算的结果并分工写成解题 报告或小论文。教师应特别注意学生在求 解过程中提出的新问题，如有可能，可以 利用这些问题形成新的问题求解的循环。 教师注意及时给予鼓励、肯定性的评价和 进一步工作的建议，也可以通过学生之间 资疑、答辩、评价来实现数学之外的教育 功能。
对这个素材进行教学设计时的建议： (1) 注重问题情境的创设，尽可能使学生体验数学建模解决教育储蓄问 题的完整过程，包括数据采集、问题设计、一般化的讨论、结果交流和 评价等环节。 (2)注意计算器、电子计算机工具的使用，特别是在求数值解的过程中。 (3)淡化对等差、等比数列一般性质的过度讲解与讨论，围绕问题解决 的需求介绍等差、等比数列的相关知识。鼓励学生自己围绕问题寻求相 关的知识。注意设计开放的“结尾”，给学生思考的空间，鼓励学生提 出自己的问题和有创意的解法。
中学中常见数学模型举例
方程模型 函数模型 不等式模型 数列模型 规划模型 几何模型 计数与初等概率模型 *图论模型 可参考黄忠裕编著的【初等数学模型】一书
参考文献 [1] 唐焕文，秦学志，实用最优化方法[M]，大连：大连理工大学出版社，2004。 [2] 杨徐昕，莫晓云，数学建模与素质教育[J].当代教育论坛（学科教育研究），2007。 [3] 查有梁，中学数学教学建模[M]，广西教育出版社，2003。 [4] 九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲，人民教育出版社2000。 [5] 全日制义务教育《数学课程标准》 [6] 张思明，中学数学建模的实践与探索，北京：北京教育出版社，1998。 [7] 连文刚，数学建模学生数学观念的现代化，中学教研（数学）2003。 [8] 郭思乐、喻玮，数学思维教育论，上海：上海教育出版社，1997。 [9] 叶其孝，中学数学模型，成都：四川大学出版社，1998。 [9] 孔凡海，中学生数学建模读本，成都：四川大学出版社，1998。 [9] 黄忠裕，初等数学模型，成都：四川大学出版社，2005。