Transcript 竞赛题目归纳与优秀论文
培训内容归纳与 优秀论文选讲 重庆大学数学与统计学院 刘琼荪 2010-6-10 近10年的全国数模竞赛CD题目分析 年 题 目 数学相关知识 2000 C题：飞越北极问题 D题：空洞探测问题 2001 C题：基金使用计划 D题：公交车调度 2002 C题：车灯线光源 D题：赛程安排 C: 优化模型，解析几何 D: 组合优化 C题：SARS传播模型 C：微分方程组(差分)，灰色 系统； D：最优控制问题（求多元函 数的条件极值） 2003 D题：抢渡长江数学模型 C题：饮酒与驾车 2004 D题：公务员招聘 C：微分方程组(药物动力学) D：整数规划，模糊评判 近10年的全国数模竞赛CD题目分析 年 题 目 数学相关知识 2005 C: 雨量预报 D: DVD在线租赁方案 2006 C: 易拉罐形状和尺寸的设计 C: 非线性规划 D: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 D: 模糊评判方法，规划模型 C: 插值方法，均方误差 D: 整数规划 2007 D: 体能测试时间安排 C：混合整数规划 D：离散优化，优化排序指 标：平均等待时间 2008 C: 地面搜索 D: NBA赛程的分析与评价 C: 0-1规划模型 D: 层次分析法，0-1规划模型 2009 C: 卫星和飞船的跟踪测控 D: 会议筹备 C: 参数方程和曲线积分 D: 整数规划模型 C: 手机套餐资费问题 数学知识点归纳 涉及到的数学建模方法： 初等数学、优化方法(规划)*、机理分析、统 计分析、拟合、微分方程、灰色系统理论、模糊 综合评价等方法。 熟练掌握软件： matlab, lindo/lingo, excel, SPSS等。 优秀论文选讲与点评 2006年C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计 2006年D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制模型 2007年C题：手机“套餐”究竟优惠几何？ 2008年C题：地面搜索的数学模型 2006年C题优秀论文解析 易拉罐形状和尺寸的最优设计 问题 研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具 体完成以下的任务： 1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的 可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据， 例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列 表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么 你们必须注明出处。 2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？ 其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐 的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3. 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面 部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？ 4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力， 做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5. 写感想。 二、模型假设 1．易拉罐上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响； 2．易拉罐的容积是一定的； 3. 易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比； 4．易拉罐圆台部分顶盖到侧面间的坡度为0.3[1]。 三、符号说明 1. 问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型 （1）厚度相同的情形 表面积 模型一： min S 2 r 2 rh V r 2 h s.t. r , h 0 r,h是变量 （2）厚度不同的情形 模型二： min M Y r 2 h r c h a d 2 V r c 2 h a d s.t. a , c, d 0 其中a,c,d是参数。 （3）厚度不同并考虑焊缝长度[4]的情形 模型三： min M 1Y 2 Z 1 r 2 h r c h a d 2 2r V r c 2 h a d s.t. 1 , 2 0 问题三： 变量r1,r2,h,l。 2 模型一的求解 min S 2 r 2 rh V r 2 h s.t. r , h 0 V h 2 r 3 4 2 3 4 2V 3 3 8V 2r 2 V2 2V 2 模型二的求解 h ad r c 2006年D题优秀论文解析 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制模型 机理分析 单位时间的通风量=管道的横截面积×通风速度 计算第i个监测点在第j天第k个时段的通风量 Qijk S vijk 60 计算瓦斯的绝对涌出量 3 Gij Qijk cijk k 1 计算相对涌出量 g ij Gij Aj 60 24 两个采煤工作面的绝对瓦斯涌出量均小于40， 而相对瓦斯涌出量均大于10。 根据高、低瓦斯矿井的判断标准， 获得结论：该矿井为高瓦斯矿井。 问题二的模型建立 画出空气中瓦斯浓度与煤尘爆炸下限浓度范围(左端点，右端点) 的散点图 拟合函数 y1 e 0.7547*c3.4394 y2 e 0.7721*c3.9817 Lij 2.9654cij2 20.9615cij 39.3970 浓度与爆炸下限之间 的关系 H2 lij Lij 100 lij：煤尘的浓度； 计算得到煤尘浓度引起的不安全程度的最大值为31.9 由于在各工作面上断电浓度与报警浓度之比为3 ：2， 所以可得报警时的不安全程度为21。 0 H 1 21 32 瓦斯浓度低于报警浓度 瓦斯浓度高于报警浓度低于断电浓度 瓦斯浓度高于断点浓度 定义评判标准为： 分值在0~21为安全，21~32为较危险， 32~80为危险，80~100为高度危险。 Hij lij Lij 100 lij：煤尘的浓度； 图3 各数据点不安全度 结论： 整个煤矿都是较危险的。 问题三 ：确定最佳通风量 min v S .T S 2 v1 S 2 v2 S1 v3 S1 S1 v3 15% v S1 0 v 8 0.25 v1 4 0.25 v 2 4 0.25 v3 4 S1 v 3 150 S1 v3 60 400 S 4 v 4 400 S1 v3 60 400 60 S 4 0 g (v) 1.0 0 f (v) L ' 应用Lingo8.0软件解非线性规划[5]，得到结果如下： 表1 不漏风情况的风量 风速(m/s) 风量(m3/min) 进风口 3.84 1152.00 工作面Ⅰ 1.48 355.20 工作面Ⅱ 1.48 355.20 局部通风机 1.48 400.00 表2 漏风情况的风量 风速(m/s) 风量(m3/min) 进风口 3.99 1197.00 工作面Ⅰ 1.48 355.20 工作面Ⅱ 1.48 355.20 局部通风机 1.48 400.00 2007年C题优秀论文解析 手机“套餐”究竟优惠几何？ (1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针 对不同通话量需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适 应于什么样的用户？ (2) 提出对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、 上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较， 并作出评价。 (3) 北京移动公司于2007年5月23日又推出了全球通“被叫 全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其它项 目资费均同现行的资费标准，用户至少在网一年。你们如 何评价这个方案？并说明理由。 (4) 如果移动公司请你们设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的 实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超 过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的 “套餐”方案。 北京移动公司全球通“畅听99套餐”方 案 方案 超出后本 本地被叫 地主叫 （元/min） （元/min） 月基本费 （元） 本地主叫 (min) 99 280 0.35 139 560 方案③ 199 方案④ 299 方案① 方案② 包含数据业务 IP长途 （元/min） 0 10M GPRS流量 0.1 0.25 0 10M GPRS流量+ 25条彩信 0.1 1000 0.2 0 50M GPRS流量 0.1 2000 0.15 0 50M GPRS流量 0.1 总资费=月基本费+ 本地主叫资费+GPRS流量资费+IP国内长途资费 四种方案的资费计算式 x 99 ( 2 280) * 0.35 (m 10) * 30.72 0.1t x 139 ( 560) * 0.25 (m 10) * 30.72 0.1t 2 y1 x 199 ( 1000) * 0.2 (m 50) * 30.72 0.1t 2 x 299 ( 2 2000) * 0.15 (m 50) * 30.72 0.1t x 280, x t , m 10 ① x 560, x t , m 10 ② x 1000, x t , m 50 ③ x 2000, x t , m 50 x表示的是通话时间; m表示“套餐”方案中的GPRS流量； t 表示IP国内长途通话时间； 简化 x 99 ( 280) * 0.35 0.1t 2 x 139 ( 560) * 0.25 0.1t 2 y1 x 199 ( 1000) * 0.2 0.1t 2 x 299 ( 2 2000) * 0.15 0.1t x 280 ① x 560 ② x 1000 ③ x 2000 ④ ④ 模型一 yij ai ( j 1) 即第i种套餐第j种方案的通话资费不超过月基本资费。 例如，比较方案①和② y11 139 0.175x 0.1t 138 2006年的移动消费者为4亿人，年总本地通话时间为15882.7亿分钟， x1 年总通话时间 15882.7 ＝ min 331min 消费者人数* 月份 4 *12 2007年的消费人群的预计平均通话时间来算，增长趋势仍以2006年 的34.7%来计 x2 年总通话量* 增长率 15882.7 *134.7% ＝ min 446min 消费者人数* 月份 4 *12 通话时间量作为一个随机事件，假定符合正态分布。 x2 正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比。 D X2 X1 f ( x)dx 取 200 min X2 X1 ( X )2 ( 2 2 ) X X 1 e dx ( 2 ) ( 1 ) 2 2008年C题优秀论文解析 地面搜索的数学模型 探测半径： 20m/人 目的地 始发点 平均行进速度： 搜索：0.6m/s 不搜索：1.2m/s 11200×7200 m2 现在有如下问题需要解决： 1．假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。请设计一 种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整个区域的 时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务? 如果不能完成，需要 增加到多少人才可以完成。 2．为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组 进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你 认为耗时最短的搜索方式。按照你的搜索方式, 搜索完整个区域的时 间是多少? 模型分析 考虑任意人员与队长的距离不能超过1000米。 1. 平地分格法 每个搜索人员可探测的半径为20米，每个搜索人员可探 测到的最大宽度为40米，相邻两人间保持40米间距，那么 20个人一字排开，同时搜索的宽度为800米，即为地毯式搜 索。不妨用的正方形去覆盖平地矩形，得到网格：9 14 126 因目标区域的大小为11200米×7200米 2. 设计搜索路径 最短的搜索路径? 我们给出如下原则： (1)搜索人员所走路径应满足直线最长； (2)搜索过程中按遇到的转弯次数为最少。 由此初步得到“S”型和“回”字型的路径搜索法。 3. 搜索时间的确立 将搜索时间分为固定时间T1和可变时间T2,T3,T4。 T2-----从起始出发点O到实际开始搜索点所需时间; T3-----转弯所需时间; T4-----搜索结束的点到集结点A所需的时间。 总搜索时间: T T1 T2 T3 T4 固定时间的计算 20人并排一字搜索的总面积，直接将800米看做该矩形 平地的一条边，固定路程 L 11200 7200 100800米 800 T1 L 0.6 100800 168000秒 0.6 可变时间的计算 “S”型 T T1 T2 T3 168000 4667 6670 179337秒 49.81小时 “回”字 型 T T1 T2 T3 168000 2000 11339 181339秒 50.37小时 20个人的配方式如下图： T 49.11小时 4. 是否增加搜索人员和增加人数的确立 根据3搜索的时间决定是否增加人数，不难想到增加的人 数不会太多，因此我们采用逐个增加人数来制定搜索方 案。解决问题的关键是，增加人数后所有人员一字排开 的搜索方式不能整数次地完全将平地搜索完毕，而会得 到一个剩余平地矩形。为了尽快搜索完剩余平地矩形， 所有人员在搜索过程中不空闲，所以考虑分成两部分交 替搜索和行进。 若增加1人，按“S”型走法，则 T T1 T2 T3 T / T // 160300 15200 1467 176967秒 49.15小时 增加一人不能满足在48小时内完成地面搜索任务， 那么考虑增加2人的情况： T总 T T /// 44.6 3.39 47.99小时 问题二 设计出50个人分成三组的搜索路径，如下图： min | Tx Ty | 最优解 1920 x 2560 2040 y 2720 2 y x 7200 a x 1920 c y 2040 b 640 a d 680 c s.t. n 11200 2a b m 11200 2c d Tx (62799 n(2a b) 11200 n(2a b) ( n 1) a ) / 3600 1.2 0.6 1.2 m(2c d ) 11200 n(2c d ) (m 1)c 6657 x / 2 ) / 3600 57700 Ty ( 1.2 0.6 1.2 1.2 x / 40, y / 40 N x 2480米, Tx 21.42小时 y 2360米, T y 21.38小时 均衡度： Tx T y MaxTx , T y 21.42 21.38 21.42 0.18% 均衡度较好，在救援强度相对较大的情况下，搜索人员工作 时间分配合理是非常重要的前提。 总 结 1. 模型分析全面; 2. 按层次建立模型(模型一、二、三); 3. 模型的建立由简单到复杂, 重点突出； 4. 写作条理清晰, 图文并茂, 方法多样化.