Transcript 物理学中的群论基础（上）

群论（对称性）
任课教师：胡自翔
[email protected]
15223059617
Office：phys201-6
物理学中的群论基础
参考书：
• 群论及其在固体物理中的应用
徐婉棠，喀兴林，高等教育出版社，1999年版
• 群论及其在物理中的应用
马中骐，戴安英，北京理工大学出版社，1988年版
• 物理学中的群论
马中骐，科学出版社，1998年版
•“Elements of Group Theory for Physics”
科学出版社，1982年版，John Wiley，（1977）
•“量子化学中的群论方法”
C、D、H奇泽著，汪汉卿等译，科学出版社，1981版
•“群论”
韩其智，孙洪洲编著，北京大学出版社，1987年版
•“群论及其在物理学中的应用”
李子平，廖理几，新疆人民出版社，1986年版
群论简介
一、历史：
群论源于十九世纪初，由高斯、柯栖、阿贝尔、哈密顿、
伽罗瓦、西勒维斯特等人初创。
二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进
物理学，成为物理学的一个重要研究工具。
二、群论与对称性
群论是研究系统对称性质的数学工具。
中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹
河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”
古 埃 及：金字塔
中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹
中国古代：河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”
古埃及：金字塔
胡夫金字塔
三、群论及物理学
1．物理学中的对称性
①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变） 动量守恒，
雅科比C.G.J.Jacobi（1884）
②L在空间转动下对称

角动量守恒，雅科比（1884）
③L在时间平移下对称

能量守恒，J.R.Schütz（1897）


④空间反演（r   r ）对称

宇称守恒

⑤晶体平移对称性（平移晶格常数a 的整数信） Bloch定理
⑥全同粒子交换对称性

玻色子，费米子
⑦标度变换对称性  临界现象，非线性物理，生命起源……
⑧强相互作用的SU(2)同位旋对称性
相同自旋粒子的内禀对称性，是电荷的自由度中子和质
子看成同一粒子的两个不同同位旋状态。
⑨超对称性
玻色子和费米子之间的对称性，它已在10-33~1030cm范围
内的物理学中产生影响。
在超对称物理中，所有粒子都有它的超对称伙伴，超伙
伴与原来的粒子有完全相同的量子数，如：颜色、电荷、重
子数、轻子数……等。
玻色子的超伙伴是费米子，费米子的超伙伴是玻色子。
2．物理学的根本问题：对称性？
例：
①晶格平移不变性（周期为a）
 能带理论  各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。
②全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计……
③标度不变性 细胞繁殖、生命起源。
④宇宙的时空平移不变性？
 “人类”的起源和未来
…………
四、群论及其发展
抽象群论
群表示论
+ 应用举例=本课程内容
连续群和李群
李群表示
李代数
李代数表示理论
拓朴学 拓扑空间→三色地图问题，
微分流形 一笔画问题
1736，Euler，Kongberg（地名）
Kac-Moody代数
Virasoro代数
辫子群（Braid group）
以上数学均和物理学中的根
重正化群
本问题，如超弦理论、规范
共形群
场、宇宙学，凝聚理论，大
量子群
统一理论等密切相关
超对称代数
…………
第一章
线性代数复习
§1.1线性矢量空间，内积空间
1.11线性矢量空间：


  
集合 R a, b , c , 由无穷多个数学对象组成，K为某一数域，


加法： a  b  c  R

乘法： a  b  R
定义：
封闭性
（α∈K）
并满足：加法公理和乘法公理
①加法公理：
   
ⅰ） a  b  b  a 
对易性（commutativity）

 

ⅱ） a  b  c  a b  c 组合性（associativity）

ⅲ）集合中有零元 0 ，对任意 a  R ， 


恒有a  0  a
（null element）


a

R
ⅳ)对任何
，均有逆元(inverse
element)  a ，



使得 a   a  0（并不是定义减法）




 
②乘法公理
α,β∈K






a


a
ⅰ)
组合率（associatirity）



ⅱ)    a  a  a
双线性（bilineality）




ⅲ)  a  b  a  b
 
ⅳ) 1·a  a

ⅴ) 0·a  0


一般是复数
例：
n维欧氏空间En

 
x, y,, 其中 x  x1 , x2 ,xn 

y   y1 , y2 , yn 
 
显然：x  y  x1  y1 , x2  y2 ,, xn  yn   E n

x  x 1 ,x2 ,xn  E n

n
且  x   x1 , x2 ,, xn   E


显然： x   x   0

还有 0  0,0,,0
1.1.2内积空间（inner product space）
1．内积公理 （两矢量乘积变成数的运算，称为矢量的内积）

 

令a, b ∈R，定义内积( a, b)，并满足

 
 
 
ⅰ) (a , a )是非负实数，( a , a )≥0, 且如果( a , a ) = 0，必有a =0
   
 
 
ⅱ) a, b = b , a


 
ⅲ) a  b , c   a, c   b , c

  
 
 
ⅳ) a, b   a, b
分配性（distributivity）
满足以上四个条件的线性矢量空间为内积空间
可推出：

 
  


 

a
,
b

c

b

c
,
a

b
,
a

(
c
,
a
)
 a, b   a, c 
①
 
 

 

 
② a , b  b , a   b , a   a , b

 

 
 
 
 
2






a
,
a

0
,

a
,
a

a
**
-------- a 的模（modulus）

or a 的范数（norm）
 
 
** if a, b  0 ，称 a  b --------orthogonal
 
2．Schwarz不等式
 
 
 
  
           
 

 
 
 



a, b  R ，则 a , b  a · b 。其中：a, a   a , b , b  b
     
证明:   a, b a  b ,  a, b a  b  0
λ为实数
   
       
左   a, b a,  a, b a   a, b a, b  b ,  a, b a  b , b
 2 2
2
   
   
2 
  a, b · a  b   a, b a, b   a, b b , a
分配性
2
  2 2 2
  2
 a, b a   2 a, b   b  0
 
 
      
 
令左= y  0，则必有 b 2  4ac  0
  4
  2 2 2
即 4 a, b  4 a, b b · a  0
 
 
 
 
 
 a, b  a · b
 
一般是复数
x, y,
例：n


x  x1 , x2 , xn  , y   y1 , y2 , yn 
维欧氏空间En
n
 

定义内积  x , y    x yi
i 1
i
n
 
或定义：  x , y    xi yi 满足内积公理
i 1
例：在[a,b]上定义复函数 f i  x  ，如果
b
f i  x  2 dx 存在，把 f i  x  看
a
作矢量，定义内积  f1 x , f 2 x    f1* x  f 2 x dx 显然满足内积公理
b
a
注：此内积定义即为量子力学中对厄密算符和态函数内积的定

义，即：力学量 F ，
态函数，
F   * Fˆd
——平均值
f1 f2
Fn   n Fˆ n d
——本征值
证明：
ⅰ)
f , f  
1
f1 dx  0 ，如果 f1  0 ，则  f1 , f1   0
b
2
1
a

ⅱ)  f1 , f 2    b f1 f 2 dx    b f 2 f1dx    f 2 , f1 

a
a
ⅲ)
f
1
 f2 , f3   
b
f

 f 2  f 3 dx

1
a
  f1 f 3 dx   f 2 f 3 dx
b

b
a

a
  f1 , f 3    f1 , f 3 
ⅳ)
 f1 , f 2    b f1 f 2 d   b f1 f 2 d   f1 , f 2 
a
a
1.1.3 线性矢量空间的维数
1．线性相关（linearly dependent）
 1  2 
 l 
若对于矢量 x , x ,x ，有不全为零的数C1, C2, ……, Cl，
 1
 2 
 l 
使得
  Cl x  0
（*）
C1x  C2 x
成立，则这组矢量线性相关
2．线性无关（linearly independent）
即上面（*）不可能存在，除非C1，C2，……Cl均为零。
3．完备集（complete set）或基（basis）

若有线性无关矢量 a 1 , a  2  ,, a  m   R ，对任何 x  R ，均

 1
 2 
 m 

有 x  x1a  x2 a    xm a 存在，则a i  称为完备集
或基，m称为该空间的维数。
4．基（basis）
 

如果基矢量 e1 , e2 , , em 中，任意一个基均有 ei  1
，
 
且 ei , e j    ij，则称为正交归一基 (normalized orthogonal basis)






且在 x  x1e1  x2 e2    xm em 中，xi 称为 x 在基 ei 上的分量。

注：ei  可以是一组函数，如能量的本征函数 n  ,    Cn n ；


n

 
付里叶变换中的三角或指数函数，只要满足|| ei || 1, ei , e j   ij即可。
1.1.4 完备集或基总可以正交归一化
——Schmidt正交化方法
 

证：若基 u1 , u2 ,, um 不正交归一，而从中选一组正交归一
 


基 v1 , v2 ,vn 的方法如下： 

u1
v1： v1   ;
u1

v2

 
：v2  C21v1  u2
 
 
 
 
令 v1 , v2   C21 v1 , v1   v1 , u2   C21  v1 , u2   0
 
∴ C21  v1 ,u2 

   
∴ v2  v1 , u2 v1  u2

v2

v2  
v2
 
 
令 v1 , v3   C31  v1 , u3   0
 
 

v2 , v3   C32  v2 , u3   0
 
 
∴ C31  v1 , u3 , C32  v2 , u3 

 v3

      

v3 
∴ v3  v1 , u3 v1  v2 , u3 v2  u3
v


 

v3 ： v3  C31v1  C32v2  u3
3

vn
…………






vn  Cn1v1  Cn 2v2  Cn3v3   Cnn1vn1  un
 
 
令
v1 , vn   0  Cn1  v1 , un 
 
 
v2 , vn   0  Cn 2  v2 , un 

 
 
∴ vn 1 , vn   0  Cn ,n 1  vn 1 , u n 

 vn

vn 
vn
1.1.5 线性变换
ˆ (C x  C x )  C Aˆ x  C Aˆ x
满足 A
1 1
2 2
1
1
2
2
的算符称为线性算符。线性算符描写的变换称为线性变换。
矩阵
 a11a12  a1n 


  a21a22  a2 n 
A




 a a  a 
mn 
 m1 m 2
aij是A的第i行j列矩阵元。 aii是A的对角元素。n等于m时称为m维
矩阵。
 ˆ
ˆ
线性变换 A 使得 x  Ax ，即：
 x1   a11a12 a1n  x1 
 
  
 x2   a21a22 a2 n  x2 

  
 
  
 x

x
a
a


a
 n   n1 n 2
nn  n 
将其转置共厄：“+”
 

 ˆ
ˆ
 x    Ax   x  A
 
or




 a11a21  an1 
  


a a  an 2 





  12 22
x1 , x2 ,, xn   x1 , x2 ,, xn 




 a  a   a  
 1n 2 n
nn 
①么正变换（Unitary transformation）（酉变换）
矢量模在变换前后不变
 x1 


2
n
x2 
 2 n 

*
*
*
x   xi xi   xi
 x1 , x2 ,  x3 
i 1
i 1



Aˆ 
ˆ
 x 
A
n


*
 a11* a21
an*1  a11a12 a1n  x1 


 
* *
*
 a12 a22 an 2  a21a22 a2 n  x2 
*
*
*
 x 1 , x 2 ,, x n 

 






 

 a* a* a*  an1an 2 ann  xn 
nn 
 x1  1n 2 n
 
n
x
2
*
*
*  2 
 x1 , x2  xn     xi* xi  x
 ˆ
ˆ
A
A I
要使此式成立，必有
 i 1
 

1
ˆ 称
ˆ
ˆ
(单位矩阵),
即
A
A

A
,
x
 n
为么正矩阵


②正交变换（即实空间中的么正变换）


x   x1 , x2 , xn , x    x1, x2 , , xn 
n
n
2

x

x

i
1
令 
i 1
i 1
即
2
 a11 a 21  a n1  a11 a12  a1n  x1 


 
n
 a12 a 22  a n 2  a 21 a 22  a 2 n  x 2 
2
xi   x1 , x 2 , , x n 


 

i 1


 
 a a  a  a a  a  x 
nn  n1 n 2
nn  n 
 1n 2 n
 x1 
 
 x2  n 2
  x1 , x2 , xn     xi

  i 1
x 
 n
~
1
必有 Aˆ  Aˆ
“~”——转置
~
Aˆ
Aˆ
③相似变换（similarity transformation）
 y1 
 x1 
 
 


 

  x2    y 2 
有基e1 , e2 , en  ，矢量 x    ，y    , 且 y  ˆx


 
 
yn 
xn 


 



现要将基换为 e1 , e2 , , en 
 x1 
 y1 
 
 


   x 2     y 2 
ˆ

令 ˆx  x    ,ˆy  y    
若 y  x  ，则 ˆ  ?


 
 
 x 
 y 
 n
 n

 ˆx
y   1 
1 ˆ
1 ˆ 
ˆ y  ˆ x   ˆ ˆx
∴ ˆ  ˆ 1 ˆˆ
or令 ˆ  ˆ , 则ˆ  ˆˆˆ 1 , ˆ  ˆ 1ˆˆ
1
------此类变换称之相似变换

 
 ˆ
 
ˆ
1．证明：在内积空间中， x, Ay  A x, y

。
 

证明1：按Schmidt正交化法则，总可找到正交归一基e1 , e2 , , en

 

xi ei , y   yl el
则 x
i
l
 
 ˆ 


 
*
x , Ay    xi ei ,    A jl yl e j    xi Ajl yl ei , e j 
ijl
j  l
 
 i
  xi* A jl yl  ij   xi* Ail yl

又


ijl
il

 
 
~ * 
 
ˆ
A x , y      Ali xi el ,  y j e j 
j

 l  i

~ *    x* A y
  Ali xi y j el , e j   i il l
ilj
il
§1.2 矩阵代数（19世纪中叶形成）
1.2.1 矩阵运算的定义和规律
nm  nm 
1）加法：
nm 
Aˆ  Bˆ  Cˆ , Aij  Bij  Cij
2）乘法：数λ： Aˆ  Cˆ , 则Aij  Cij
 nm   ml 
 nl 
Aˆ . Bˆ  Cˆ
m
其中： Cij   Aik Bkj  Aik Bkj
k 1
一般， Aˆ  Bˆ  Bˆ  Aˆ



ˆ  Bˆ  Cˆ  Aˆ  Bˆ  Cˆ
但： A

3）直接乘积（direct product）
例： Aˆ   a11a12 a13 
a a a 
 21 22 23 
 b11b12 


 b21b22 
ˆ
B
b31b32 


b b 
 41 42 
直接乘积：
 a11 Bˆ a12 Bˆ a13 Bˆ 

Aˆ  Bˆ  
 a Bˆ a Bˆ a Bˆ 
22
23 
 21
行：
 a11b11 a11b12 a12b11 a12b12 a13b11 a13b12 
 1,1

 a11b22 a11b22 a12b21 a12b22 a13b21 a13b22 
 1,2

 a11b31 a11b32 a12b31 a12b32 a13b31 a13b32  1,3


b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
1,4
ˆA  Bˆ   11 41 11 42 12 41 12 42 13 41 13 42 
 a b a b a b a b a b a b  2,1
 21 11 21 12 22 11 22 12 23 11 23 12 
 a21b21 a21b22 a22b21 a22b22 a23b21 a23b22  2,2
 2,3

 a21b31 a21b32 a22b31 a22b32 a33b31 a23b32 
 2,4

 a21b41 a21b42 a22b41 a22b42 a23b41 a23b42 
列：(1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2)
即
Aˆ  Bˆ  Cˆ , Cij,kl  Aik B jl
例：(2,2)行，(3,1)列
Cˆ ——超矩阵（super-matrix）
Cˆ 中某一个矩阵称为子矩阵（submatrix）


    
例：证明 Aˆ  Bˆ · Cˆ  Dˆ  Aˆ ·Cˆ  Bˆ ·Dˆ
证：
Aˆ  Bˆ · Cˆ  Dˆ 

ik ,i "k "
 

ˆ
  Aˆ  Bˆ ik,i 'k ' · Cˆ  D
i 'k ',i"k "
i
k

  Aii ' Bkk 'Ci 'i '' Dk 'k ''   Aii 'Ci 'i ''  Bkk ' Dk 'k ''
i'
k'
  
i'
k'
   
 Aˆ ·Cˆ ii '' · Bˆ ·Dˆ kk ''  Aˆ ·Cˆ  Bˆ ·Dˆ
ik ,i ''k ''
1．证明：对角矩阵的直接乘积仍为对角矩阵。
证：Aˆ , Bˆ 两对角矩阵， Aˆ  a  , Bˆ  b 
ij
Aˆ  Bˆ 
im, jn

ˆ  Bˆ
注： A

im, jn
i ij
mn
m mn
 Aˆij Bˆ mn  ai bm ij mn
ai bm , i  j , m  n

0其它

 Aˆij  Bˆ mn
数

im, jn
 
定义：
ⅰ)单位矩阵： I ij   ij
ˆ )=0
ⅱ) 若方阵满足det ( A
——奇异矩阵（singular matrix）
ˆ )≠0
ⅲ)若方阵满足det ( A
——非奇异矩阵（non-singular matrix）
det( Aˆ ) 

i1 ,i2 ,im
a1i1 a2i2  ami m
i1 ,i2 ,im
 i ,i ,i 为完全反对称张量，且具有任何一对下标互换，它
1 2
m
改符号，下标有重复时为零，且
1,2i  1
ˆ 1，使得 Aˆ Aˆ 1  I，且 Aˆ 1 Aˆ  I
定理：非奇异矩阵 Aˆ 必存在 A
。
ˆ 1 Aˆ  I ，令 Aˆ Aˆ 1  Bˆ ，
1）证明（第2式）：若 A
ˆ 1  Aˆ 1 Bˆ
即A
ˆ 1 Aˆ Aˆ 1  Aˆ 1 Bˆ ，
则A
 
Aˆ  ·Aˆ  Aˆ  ·Aˆ ·Bˆ
1
1
ˆ
两边同乘 A 得：
1
 
2） Aˆ
1 1
∴
?
 Aˆ
1
1
1
1
1
Bˆ  Iˆ
 
1
1 1 ˆ 1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A
A I
证： AA  I ,
1
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 便可得证
 AA  A Aˆ 1 , 右乘 A
 


ˆ
Aii  SP Aˆ
定义：矩阵 Aˆ 的迹 tr A  
i 1
n
   
ˆ ·Bˆ  tr Bˆ ·Aˆ
ⅰ） tr A
 
证： Aˆ ·Bˆ ii   Aik Bki
n
 
k 1
 
 tr Aˆ ·Bˆ   Aik Bki   Bki Aik  tr Bˆ ·Aˆ

i
k
 
k
i
 

ˆ Bˆ Cˆ  tr Cˆ Aˆ Bˆ  tr Bˆ Cˆ Aˆ
同理可证： tr A
ⅱ）矩阵经过相似变换后，其迹不变

 
 
ˆ ˆ  tr ˆˆ 1 Aˆ  tr Aˆ
证： tr ˆ 1 A
   
证： tr Aˆ  Bˆ     Aˆ  Bˆ 
ⅲ） tr Aˆ  Bˆ  tr Aˆ ·tr Bˆ
ik ,ik
i
k
 
   Aii Bkk   Aii  Bkk  tr Aˆ ·tr Bˆ
i
k
i
k
1.22 本征值和本征矢量
本征值问题：
其中为常数，


ˆ
Ax  x
 x1 
 
  x2 
x   ,

 
x 
 n

 a11 a12  a1n 



Aˆ  


 an1 an 2  ann 
 ˆ
ˆ
称为 A的本征值， x 为 A的本征矢理。
将(*)写成矩阵形式：  Aij x j  xi ,i  1.2,n
j
xi 有非零解的充要条件为：


det Aˆ  Iˆ  0
------久期方程


det Aˆ  Iˆ  0
------久期方程
从中可求得n个根，即为本征值  n ，也可能出现重根。
对每一个根  m ，均可由
得矩阵
必有：
X  xim 
A x  x
ij
jm
m
i, m  1,2,n
im
j
X 1 Aˆ X   ，其中  ij   j  ij
ˆ 通过相似变换，对角化了。
这样就将 A
Vˆ   Vˆ 1
Hˆ   Hˆ
定理：任何一个么正矩阵 Vˆ 或厄密矩阵 Hˆ  总可以通过另一个
么正矩阵Uˆ 的相似变换而使其对角化，即：
 

ˆ 

V

U 1  U
 Hˆ 
是对角矩阵。（证明略）
1.2.3 矩阵的指数函数



1 ˆ2 1 ˆ3
1 ˆl
ˆ
ˆ
e  I n  S  S  S    S  
2！
3！
l！
sˆ
1．收敛问题：
定义：

Sˆ
ik
 Sik ,

 Sˆ p   S  p 
ik

 ik
sˆ
sˆ
只要证明 S ik p  有界的，则 e 矩阵中n2个级数也收敛，故e 是收敛。
用数学归纳法，证明 S ik p  是有界：
当 p  p0 时，
S ik p0   (nM ) P0
有界
当 p  p0  1 时，
Sik p 0 1 
n
 p0 
S
 ij s jk  nnM  0 M  nM 
j 1
p
p0 1
有界
2．定理：若 Sˆ 的本征值为 1 , 2 ,  , n ,
Sˆ
则 e 的本征值为 e , e ,, e
1
2
n
证明：对于 1 , 2 , , n ，有本征矢量n个：
 u1n 
 u11 
 u12 
 
 
 
  u2 n 
  u 21    u22 
u1    ，u2    ……，un   





 
 
u 
 nn 
 u n1 
 un 2 

0
 1


2


1 ˆ ˆ
ˆ
U SU  




0


n

而
 
2
3
ˆ
ˆ


S
S


ˆ

1
S

1
Uˆ e Uˆ  Uˆ Iˆ  Sˆ 

 Uˆ
2!
3!




1 ˆ 1 ˆ 2 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 3 ˆ
1 ˆ ˆ
ˆ
ˆ
 I  U SU  U S U  U S U  
2!
3!


 



1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ
1 ˆ ˆ
ˆ
ˆ
 I  U SU  U SU U SU  U SU U SU U SU  
2!
3!
 12
0


0
 1
2

 1
2

ˆ
 I 

 

2
!

0




n 

2 
 0

n 

 13

1
 
3! 
0

32

0


 

3n 
1 Sˆ ˆ
ˆ
U eU
1 2


1  1  1  

2!


1


1  2  22  
0


2!





1 2

0
1  n  n  
2!


 e 1




 0

e 2
0 





e n 
§1.3 张量代数
1.3.1 逆变矢量（contravariant vector）
与协变矢量（covariant vector）
x 
 2
 x 
x  

 n 
x 
1
例1：n维空间中的矢径
 1
2
n
x  x e1  x e2    x e2
or
（ x n 写在上面的指标定义逆变矢
量，写在下面 x n 定为协变矢量）


ˆ
变换矩阵 B将e j 变为另一组基ei ：
 n 
ei   Bij e j
j 1
则：
而

1
2
n
x  x e1  x e2   x en
n
x   Aik x k
i
k 1
不是幂，是标记
即：
1
1
 x   A11 A12  A1n  x 
 2 
 2 
 x   A21 A22  A2 n  x 
 
   
 n 
 n  
 x

A
A

A
x
   n1 n 2

nn 
但矢量本身没有变，故：

i
k
k
x   x ei   x ek   Bij Aik x e j
i
∴必有：
k
B
ij
i

i
k
j
Aik   jk
~ˆ  ˆ
 B
即：   A ik   ik
 ji
i 
~ˆ ˆ ˆ
即 B
A I
n
xi   Aik x k  Ai1 x1  Ai 2 x 2    Aik x k

k 1

1
 x
 1
 x 2
x

Aˆ   x1
 
 xn
 1
 x
显然有
∴
x1
x 2
x2
x 2
n
x
x 2
x1
x 3
x2
x 3
n
x
x 3
xi
 Aik
k
x




x1 

n
x 
x2 
x n 
n 
x 
n 
x 
1
 x
 1
 x1
x

Bˆ   x2
 
 x1
 n
 x
x 2
x1
x 2
x2
2
x
xn




x n 

x1 
x n 
x2 
n 
x 
n 
x 
~ ~
Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ  Iˆ
i


x
xi   Aik x k   k x k
k
k x
x j 


ei   Bij e j   i e j
j
j x
例2：n维空间中的梯度
 

基 e1 , e2 ,  , en 
x 
 2
x 
1
2
n

，分量
, 有标量函数 f x , x ,, x 
 
 n 
x 
 f 
 1
 x 
定义 f 的梯度：
 f 
f   x 2 
  
 f 
 n
 x 
1
 

现要变为 e1, e2, , en 
n
n
n
f
f xi
f
~ f
 i
  Aij
  A ji
j
j
i
i

1
i

1
x
x x
x i 1
xi
 
即
即
 f 
 1
 x 
 f 
 x 2  
  
 f 
 n
 x 

 f 
 1
 x 
~ˆ  f 
A x 2 
  
 f 
 n
 x 
~ˆ 1
f  A f  Bˆ f
~ˆ

f

A
f
∴

定义：若某一矢量 u 的变化规律同矢径变化规律相同，即：
i


x
u i   j u j 称为逆变矢量。
j x

若某一矢量 v 的变化规律同递度变化规律相同，即
x j
v'i   i v j
j x
称为协变矢量。
i
s
s


x

x

x

i
r
r

u ·v   u v'i   r
u vs   r u vs
i
i
i
r
s x x
i
r
s x
  u r vs rs   u s vs
s
r
s
——标量