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张量分析(Tensor Analysis)
Objectives
1）熟练运用符号与求和约定；
2）熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张量等基本张量的定义；
3）熟练掌握张量的运算法则；
4）熟练运用张量表示力学的基本方程。
1 张量的概念
在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，
有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些
分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力
物体内一点的应力状态，有9个应力分量，
如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则
有：
 xx  xy  xz 


 ij   yx  yy  yz 
 zx  zy  zz 


这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当 坐标变换
时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量
的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的阶和结构，这由 它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢
量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高
阶张量。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律
的方法。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变
换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。
张量是佛克脱(W．Voigt) 提出（用来表示晶体的应力(张力)状态）。
一、符号与求和约定
A) 指标
xi , i  1,2,, n
x1 , x2 ,, xn
变量的集合：
表示为：
1
2
y , y ,, y
n
y j , j  1,2,, n
写在字符右下角的 指标，例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标，
例如yj 中的j称为上标；
使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的
所有整数，其中n称为指标的范围。
B) 求和约定
若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个
指标遍历其范围1，2，3，…n求和。这是一个约定，称为求和约定。
例：三维空间的平面方程为：
a1 z1  a2 z 2  a3 z 3  p
式中 ai, p 是常数。这个方程可写成:
3
i
a
z
 i p
i 1
应用求和约定，则这个方程可写成如下形式：
ai z  p
i
遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自
由指标。
B) 求和约定（续）
注：哑指标只是表示求和。在一项中，同一个指标字母的使用不能超过两次。
n
( ai x )
i 2
i 1
i
ai x a j x
j
(i, j  1,2,, n)
求和约定可以推广到微分公式：
设 f(x1,x2,···,xn) 为n个独立变量 x1,x2,···,xn 的函数，则它的微分可写成 :
x
i
f
df  i dx i
x
中 i被认为是下标。
C) 克罗内克(Kronecker)符号
克罗内克符号  i j 的定义是:
1
i  
0
j
(i  j )
(i  j )
克罗内克符号也可写成ij或ij 。
11   22   33  1
 21   31  12   32  13   23  0
C) 克罗内克符号(续）
例：空间直角坐标系中，线元矢量长度的平方为：
ds 2  (dx1 ) 2  (dx 2 ) 2  (dx3 ) 2
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds   ij dx dx
2
i
克罗内克符号的一些常用性质：
 i j xi  x j
x j
j


i
x i
i   
j
i
k
j
k
j
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1

ijk
eijk  e   1
0

当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312)
当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321)
当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11
a12
a31
a  a12
a22
a32  a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a12 a32
a13
a23
a33
 a11a23 a32  a12 a12 a33  a13 a12 a32
若以 ai j表示行列式中的普遍项，以 ai 表示行列式，
j
则上述行列式可写成：
a  aij  eijk a1i a2j a3k
aeilm  eijk a a a
i
l
j
m
k
n
E) 克罗内克符号与置换符号的关系
ij
 li
lj
 lk
11
 12
13
 mi
 mj
 mk
 21
 22
 23
 31
1
 32  0
 33
0
0
0
1
0 1
0
1
 ni
 nj  e ijk elmn   li mj  nk   li nj mk   ni  l j mk
 nk
  ni  mj  lk   mi  nj lk   mi  l j nk
eijk eimn   mj  nk   nj mk
eijk eijn   jj nk   nj jk  3 nk   nk  2 nk
eijk eijk  2 kk  6
二、基矢量
在曲线坐标系中，空间一点P的位置矢量r是曲线坐标 xi 的函数，则：
r i
dr  i dx
x
空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为：
r  z ji j
式中 ij 为沿坐标轴 zj 方向的单位矢量。
r
r z j z j
 j i  i ij
i
x z x
x
r
上式表明， i 是单位矢量 ij 的线性组合，因此也是矢量。
x
基矢量（续）
r
r
i
i
i 表征当 x 变化时位置矢量r的变化，因此
i 的方向是沿坐标曲线 x
x
x
r
的切线方向。矢量 i 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
x
r z j
gi  i  i i j
x
x
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
作用在一点的任意矢量V，可以沿gi的方向按平行四边形法则分解：
V  v jg j
基矢量（续2）
坐标变换时，—个量的分量的变换法则是该量的重要性质。
若坐标系xi变换成另一新坐标系yi
y j  y j ( x1 , x 2 , x 3 )
( j  1,2,3)
逆变换为：
x j  x j ( y1 , y 2 , y 3 )
( j  1,2,3)
则在新坐标系 yi 中的基矢量为
r
r x j
x j
gi  i  j i  g j i
y x y
y
可知：若坐标系由xi 变换为yi ，则基矢量gi按上述变换法则变换。基矢
量gi也称为协变基矢量。
三、基本度量张量
对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。
在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。
ds 2  dr  dr gi dxi  g j dx j  gi  g j dxi dx j
定义:
g ij  g i  g j
称为坐标系xi的基本度量张量。
在三维空间，基本度量张量gij有9个分量。
z k
z l
z k z l
z k z l
g ij  i i k  j i l  i k  i l i
  kl i
j
x
x
x x
x x j
续1
若坐标系xi变换成另一新坐标系yi
y j  y j ( x1 , x 2 , x 3 )
( j  1,2,3)
逆变换为：
x j  x j ( y1 , y 2 , y 3 )
( j  1,2,3)
i

x
dx i  j dy j
y
则在新坐标系 yi 中的基矢量为
i
j

x

x
ds 2  dr  dr  gij dx i dx j  gij k l dy k dy l
y y
x i x j
g kl  g ij k l
y y
ds  g kl dy dy
2
k
l
续2
gij的特性：
1） 度量空间线元的长度(称为度量)；
2）当坐标变换时，它按照一特定的变换法则变换，这是张量
的基本特性;
因此gij称为度量张量，这是一个非常重要的基本张量，又称为
基本度量张量。
四、对偶基矢量、相伴度量张量
A) 指标
对偶基矢量 （逆变基矢量 ）gi 由下式定义：
g  gj 
i
i
j
在三维空间中， g1 、 g2 、 g3 分别垂直于（g2，g3）、 （g1，g3） 及
（g1，g2）所在的平面。
B) 相伴（共轭）度量张量
将对偶基矢量 gi 沿基矢量 gj 的方向分解:
g i  g ij g j
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量，
或共轭度量张量
B) 相伴（共轭）度量张量
类似
g i  g j  g ik gk  g j  g ik kj  g ij
g ij  g i  g j
g i  g j   ij  g ik gk  g j   ij
g ik g kj   ij

g i  g ij g j
 g i  g ij g j

j
g

g
g
 i
ij
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换，
提升或下降指标。
C) 矢量的逆变分量和协变分量
任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V  v gi  vi g
i
i
i
ij

v

g
vj


j
v

g
v

ij
 i
表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量 gi 方向的分量表示。 vi称为
矢量V的协变分量； vi是矢量V的逆变分量。
i
i

v

V

g



vi  V  g i
表示矢量的逆变分量和协变分量的大小等于矢量和相应的基矢量的点积。
D) 对偶基矢量、相伴度量张量的变换法则
若坐标系xi变换成另一新坐标系yi
y j  y j ( x1 , x 2 , x 3 )
( j  1,2,3)
逆变换为：
x j  x j ( y1 , y 2 , y 3 )

dr  gi dx i

( j  1,2,3)
dr  g k  gi  g k dx i

i

y
dy i  j dx j
x
dy k  ( gi  g k )dx i
k

y
gi  g k  i
x
逆变基矢量的变换法则:
k

y
g k  ( g k  gi ) gi  gi i
x
相伴度量张量的变换法则：
i
k
i
k

y

y

y

y
g ij  g i  g  m g m  n g n  g mn m n
x
x
x x
j
五、张量
在物理量或几何量中，有一些量与参考坐标无关，例如质量、温度、
长度等；另有一些量，它们的分量却与参考坐标的选择有关,例如位移、
速度等。前者称为标量，后者称为矢量。当坐标作容许变换时，矢量的
分量根据相应的 变换法则进行变换。
设一个量的分量在曲线坐标系 xi （i=1,2,3）中定义，它们是坐标x1 、 x2 、
x3 的函数。若坐标系 xi作容许变换成另一新坐系标 yi （i=1,2,3） ，则可
以定义该量在新坐标系 yi 中的分量，并根据该量的分量在坐标变换时所
遵循的不同变换法则，给予该量以不同的名称。
A)标量、逆变矢量、协变矢量
(1)标量
一个量被称为标量或绝对标量，若它在坐标系xi 中只有一个分量，
在新坐标系yi中也只有一个分量 ，并且在两个坐标系中的对应点上，
与的数值相等。
 ( y1 , y 2 , y 3 )   ( x1 , x 2 , x3 )
(2) 逆变矢量(一阶逆变张量)
一个量被称为逆变矢量或一阶逆变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
i

y
ˆ i  y   A j x 
A
x j
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3)
协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；
j

x
ˆ i  y   A j x 
A
y i
协变矢量用下标表示，下标也称为协变指标
B) 高阶张量
(1) 二阶协变张量
m
n

x

x
ˆ ij  y   Amn x 
A
i
j
y y
(2)二阶逆变张量
i
j

y

y
ˆA ij  y   A mn x 
x m x n
(3)二阶混合张量
m
j

x

y
ˆ j  y   An  x 
A
i
m
y i x n
C) 张量特性
1）张量是矢量概念的推广。
2）张量由它的分量的集合所规定。
3）张量的基本性质由坐标变换时张量的分量所遵循的变换法则来确定，
变换法则与张量表示什么物理量无关。
4）张量可分为零阶、一阶、二阶……。张量的阶等于变换法则中变换
系数的维度，也等于张量的指标的数目。在三维空间，r阶张量的分量
总数为N=3r ，标量是零阶张量，矢量是一阶张量。
5）按照张量的变异(结构)，张量可分为逆变、协变和混合，张量的变
异也由张量的指标的位置(上标、下标、或兼有上标下标)来区别。
注：在曲线坐标系中，必须很好地理解逆变张量与协变张量的意义以及变换法则
的区别。但若采用直角坐标系描述，则张量的逆变与协变的区别消失，把所有张
量的指标写成下标。此张量称为笛卡尔张量或直角坐标张量。
5.2张量代数
一、张量的加法(减法)
两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。张量相加(或
相减)是相加(或相减)其同名的分量。
设
Aijk , B ijk 是张量，则
ˆ i  Ai  B i
A
jk
jk
jk
C ijk  Aijk  Bijk
也是张量。可以证明， 相加(减)的结果是一个同阶同变异的张量。
i
m
n
ˆAi  y   Al x  y x x
jk
mn
x l y j y k
i
m
n
ˆB i  y   B l x  y x x
jk
mn
x l y j y k
ˆ i  y   Bˆ i  y 
Cˆ ijk  y   A
jk
jk


y i x m x n l
l


 l
A
x

A
mn
mn  x 
j
k
x y y
y i x m x n l
 l
Cmn x 
j
k
x y y
二、对称张量、斜对称张量
A) 对称张量
若张量满足如下的关系式：
Aij  A ji
这样的张量称为二阶对称张量。
例如，基本度量张量和相伴度量张量 都是对称张量。
B）斜对称张量
若张量 满足以下关系式：
Aij   A ji
则称 为二阶斜对称张量。斜对称张量也称为反对称张量。
C) 二阶张量的分解
任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反对
称张量之和，即：
Cij  Aij  Bij
1
Aij  C ij  C ji   A ji
2
对称张量
1
1
Bij  C ij  C ji    C ji  Cij    B ji
2
2
反对称张量之
D) 高阶张量的对称和反对称
高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张
量，它关于任一对下标是反对称的：
ijk    jik ,ijk   ikj ,ijk   kji
三、张量的乘法
两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张量，
其阶数是相乘两张量的阶数之和。
设 Aij、Bk 是张量，则外积
Cijk  Aij B k
也是张量。
m
n

x

x
ˆ  y   A x 
A
ij
mn
y i y j
k
m
n

y

x

x
l
ˆ  y Bˆ  y  


x 
A
A
x
B
ij
mn
l
i
j
x y y
k
k

y
Bˆ  y   B x  l
x
k
l
k
m
n

y

x

x
k
x 
Cˆ ijk  y   l
C
ij
i
j
x y y
张量的乘法（续）
张量乘法的性质：张量的乘法是不可交换的。
由几个张量连乘的乘积，则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的
排列次序确定。
Cij  Aij B k
k
C k ij  B k Aij
k
张量 Cij 与张量 C k ij
不想等。
若 Aij、 是对称张量， Bij是斜对称张量，可以很容易证明，它们的乘
积等于0，即:
Aij Bij  0
由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量，因此它与任何一个二阶
对称张量 的乘积等于0。
四、张量的缩并、内积
在混合张量中，使一个上标和一个下标相等，然后按求和约定求和，这样
的运算，称为缩并。每一缩并，得到一个新张量，比原张量降两阶。
设 Aijkl 是一个四阶混合张量。作缩并运算，则:
Ai jik  B jk
i
q
r
s

y

x

x

x
p
ˆ i jkl  y  
A
A
qrs x 
p
j
k
l
x y y y
若令指标i与k相等，可得：
i
q
r
s
q
s

y

x

x

x

x

x
p
r
p
ˆ i jil  y  


A
A
x


A
qrs
qrs x 
p
p
j
i
l
j
l
x y y y
y y
张量的缩并、内积（续）
缩并运算可以应用于任意阶混合张量。
还可将乘法和缩并结合起来形成新张量，这种运算称为两张量的内
乘法，得到的张量称为该两张量的内积。如：
C i ij  Ai Bij
五、张量指标的提升和下降
运用度量张量 gij 或 gij 可以提升或下降高阶张量的指标。
A) 提升指标
Ak l  g mk Aml
Ak l  g lm Akm
Aij  g im g jn Amn  g im Am
j
B)下降指标
Ak l  g lm A km
Ak l  g km A ml
Aij  g im g jn A mn  g im Am j  g jm Ai
m
注：在度量空间，张量可以用它的任一种变异形式的分量的集合来表示。一个
张量的协变分量、逆变分量或混合分量是同一个张量的不同异变形式的分量。
5.3
张量演算
将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变
导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的
协变导数是本节讨论的重点。
一、基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号
求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：


V
i
 v gi
j
x
 vi g i


,j
,j
v
i
,j
gi  v gi , j
i
 vi ,j g  vi g
i
i
,j
A) 基矢量 gi 的偏导数
gi , j

 j
x
 z k   2 z k
 i i k   j i i k
 x  x x
可以看出基矢量 gi对于坐标 xj 的偏导数也是矢量，它也可以分
解成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：
gi , j  ijk g k  ijk g k
式中: ijk是 沿 gk方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；
ijk 是 沿 gk方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。
gi , j  gk  Γijl g l  gk  Γijl kl  Γijk
gi , j  g k  Γlij g l  g k  Γlij lk  Γijk
B) 克里斯托弗符号的性质及其计算
1) 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指标一样提
升或下降(但不是张量)
Γijk  Γlij glk
Γijk  Γijl g lk
2) 克里斯托弗符号对前两个指标是对称的
Γijk  Γ jik
Γijk  Γkji
3) 克里斯托弗符号de计算公式
若度量张量的分量已知，坐标系的克里斯托弗符号。由此可知，
克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。
由于直角坐标系的
是常数，所以在直角坐标系中
4) 克里斯托弗符号不是张量
C) 对偶基矢量 gi 的偏导数gi,j
gi  g j  ij
gi ,k  g j  gi  g j ,k  0
gi  g j ,k   gi ,k  g j  ikj
g i , j  ijk  g k
二、矢量的协变导数
A) 矢量的偏导数
V, j  v , j gi  v  gk
i
i
k
ij
变换最后一项中两个哑指标的字符，
V, j  v , j gi  v  gi  v |j gi
i
k
i
jk
i
vi |j  vi , j  v k ijk
称为逆变矢量 vi的协变导数。
V, j  vi , j g i  v i  ijk g k  v i |j g i
v i |j  vi , j  v k ijk
协变矢量 vi的协变导数。
B) 矢量的微分
d V  V, j dx j  vi |j gi dx j
d V  V, j dx j  v i |j g i dx j
B)协变导数是一二阶张量
设坐标系 xi 作容许变换成新坐标系 yi 把矢量V用它在的分量表示为
V  vˆi ĝ i
vˆ i i
 ĝ i
V,m  m ĝ  vˆ i m  vˆ i |m ĝ i
y
y
x k
x k
i
V,m  V,k m  vi |k g
y
y m
l
k
k

x

x

x
vˆ i |m ĝ i  ĝ n  vi |k g i  ĝ n m  vi |k g i  g l n m
y
y y
x l x k
x l x k
vˆ i |m   vi |k 
 vl |k n m
n
m
y y
y y
i
n
i
l
x l x k
vˆ n |m  vl |k n m
y y
协变导数是一二阶张量(续）
上式表明在坐标变换时，vi|j 服从二阶协变张量的变换法则，因此 vi|j 是
二阶协变张量。求导的指标 j 服从张量的协变分量的变换法则，所以叫
协变导数。
同样可以证明 vi|j是二阶混合张量。求导的指标j是协变指标。
由此可知，一阶张量(矢量)的协变导数是另一个张量，它比原来的张量
高一阶，增加一个协变指标。
由此可以推论,协变导数的指标可以提升和下降：
v |j  v i |j g ik
k
vi |k  v i |j g
jk
三、高阶张量的协变导数
A) 二阶张量的协变导数
用两个矢量 乘一个张量得到一个标量：
  Aiju i v j
上式对于 xk 求导，可得:
 ,k  Aij ,k u i v j  Aiju i ,k v j  Aiju i v j ,k
 Aij ,k u i v j  Aiju i |k v j  Aiju i v j |k

Aiju l kli v j  Aiju i v l klj
定义:
Aij |k u v  Aij ,k u v  Aiju  v  Aiju v 
i
j
i
j
l
i
kl
j
i l
j
kl
高阶张量的协变导数
Aij |k  Aij ,k u v  A   Ail 
i
j
l
lj ik
l
jk
二阶张量的协变导数 的定义。