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第九章 内积空间
Inner Product Space
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§9.1 目的与要求
• 掌握内积、内积空间的概念
• 熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、
距离、夹角、正交等
• 熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角
不等式的含义及应用
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（实）内积空间
• 定义:设V是R上线性空间,存在映射( ,):
V V R, 使得对任意x, y, z∈ V, c∈R,有
对称
(1). ( x, y) = ( y, x)
线性
(2). ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z)
非负
(3). ( cx, y) = c ( x, y)
(4). ( x, x) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.
则称在V上定义内积( , ). V称为内积空间.
有限维实内积空间称为Euclid空间(欧氏空间).
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（复）内积空间
• 定义:设V是C上线性空间,存在映射( , ):V V R
使得对任意x, y, z∈V, c∈C,有
(1). ( x , y ) ( y, x )
(2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z)
(3). (cx, y) = c ( x, y)
(4). (x, x) ≥ 0.且等号成立当且仅当 x = 0.
则称在V上定义内积( , ). V称为复内积空间.
有限维复内积空间称为酉空间.
• 注1:对任意实数a, a a , 所以复内积空间与实内
积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.
• 注2:在复内积空间中, ( x , cy ) c ( x , y )
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例子
• 例1: Rn×1是n维欧氏空间, 若 x , y R n,1 定义
内积如下:
( x, y ) yx x1 y1 x2 y2 ... xn yn
该内积称为Rn×1上的标准内积.
n1
n×1
C 是n维酉空间, 若 x , y C , 定义内
积如下:
( x, y ) yx x1 y1 x2 y2 ... xn yn
该内积称为Cn×1上的标准内积.
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例子
x1
y1
• 例2: R2×1上对 x , y
x2
y2
1) ( x , y ) x1 y1 x2 y1 x1 y2 4 x2 y2
是内积
2) ( x , y ) max(| xi |,| yi |)
i 1,2
非线性, 非内积
3) ( x , y ) x x y y
1
2
1
2
未必非负, 非内积
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例子
• 例3: 设 f ( x ), g( x ) c[a , b] , 定义
( f , g)
b
f ( x ) g( x )dx
a
则c[a, b]是无限维内积空间.
• 例4: 设G为n阶正定阵, 对 x , y R n1, 定义
( x , y ) x ' Gy
则Rn×1是R上n维欧氏空间. G=I即例1.
• 例5: Rn×n上定义(A, B) = tr(A’B), 是欧氏空
间么? 若是, 它是几维的?
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(实)内积空间_2
• 定义:设V实内积空间, 设 x, y∈V,
定义x的长度为: x ( x, x )
定义x与y的距离为: d ( x , y ) x y
当V是实空间时, 定义x, y的夹角θ的余弦为:
cos
( x, y)
x
y
当V是复空间时, 定义x, y的夹角θ的余弦为:
cos
( x, y)
x
y
当( x, y) = 0时, 称x与y正交, 记x⊥y.
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内积空间_3
• 定理:设V是实的或复的内积空间,设x, y∈V,
c为常数(实数或复数), 则
(1) cx c x
(2) (Cauchy-Schwarz不等式)
( x, y) x
y
当且仅当x, y线性相关时, 等号成立.
(3) (三角不等式)
x y x y
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内积空间_4
在Rn×1中
• 注1: x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任
意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和
自己正交; 只有零向量的长度为0;
• 注2: ||x+y||= ||x||+||y||x和y同向或有一为0;
• 注3: (x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角
(内积几何意义);
• 注4: x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2
(勾股定理);
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内积空间_5
• 注5: 若1 , 2 , ..., m两两正交, 即 ( i , j ) 0, i j
则 1) 1 k2 2 ... km m
2
2
2
2
2) 1 2 ... m 1 2 ... m
• 注6: x称为单位向量, 若 x 1. 一般地, 若x≠0,
则x/|| x||是单位向量(称把x单位化).
• 注7: Cauchy-Schwarz不等式具体形式:
x1 y1 ... xn yn ( x1 ... xn )( y1 ... yn )
2
b
2
( f ( x ) g ( x )dx )
a
2
b
a
2
2
b
f ( x )dx g ( x )dx
2
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a
2
2
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例子
• 例6: 证明下列不等式成立
n
n
n
n
n
n
1) ( a ji b ji ) ( a )( b )
2
2
ji
i 1 j 1
i 1 j 1
2
ji
i 1 j 1
2) 若A=(aij)n×n是(对称)正定阵, 则
n
n
n
n
n
n
( aij xi y j ) ( aij xi x j )( aij yi y j )
2
i 1 j 1
i 1 j 1
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i 1 j 1
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作业
• 作业 p294 1, 2, 3, 6, 7
补充: Rn×n上定义(A, B) = tr(A’B), 是欧氏
空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证
明下列不等式：
n
n
n
n
n
n
( a ji b ji ) ( a )( b )
2
i 1 j 1
2
ji
i 1 j 1
• 选做 p295 5
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2
ji
i 1 j 1
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§9.2 目的与要求
• 掌握标准正交基、正交补空间的概念
• 掌握度量矩阵与内积的关系
• 掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的
关系
• 熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件
• 掌握向量组的 Gram-Schmidt正交化的计
算
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标准正交基_1
• 定义:设 1 , 2 , ..., n 是n维内积空间V的一
( i , j ) 0, i j , 则称这组基是V
组基, 若
( i , j ) ij
的一组正交基, 若
,则称这组基
是V的一组标准正交基.
• 引理: 内积空间V中任意一组两两正交的
非零向量必线性无关.
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标准正交基_2
• 定理: 设V是内积空间, 1 , 2 , ..., m是V中m个线性无
关的向量, 则在V中存在两两正交的向量1 ,2 , ...,m ,
使得
L(1 , 2 , ..., m ) L(1 ,2 , ...,m ).
• Gram-Schmidt正交化:
1 1
( i , j )
i i ki ,11 ... ki ,i 1i 1 , ki , j
,1 j i 1
( j , j )
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Schmit正交化
v 3 u 3 k 31 v 1 k 32 v 2
v 1 u1
v 2 u2
( u2 , v1 )
(v1 , v1 )
u 3 k 32 v 2 k 3 1 v 1
v 1 u 2 k 21 v 1
k21v1
v1
u
v2
u3
v1
u2
k21v1
v3
u3 k32v2
k32v2
k31v1
k31v1
k32 v2
v2
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标准正交基_3
• 注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的
向量组与原向量组等价.
• 推论: 任意n维内积空间有一组标准正交基.
• 注: 标准正交基可以简化内积的运算.
设 1 , 2 , ..., n是内积空间V的标准正交基, 若
x x1 1 x2 2 ... xn n , 则 xi ( x , i ), 即
x ( x1 , 1 ) 1 ( x2 , 2 ) 2 ... ( xn , n ) n
又若 y y1 1 y2 2 ... yn n, 则
( x, y ) x1 y1 x2 y2 ... xn yn .
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例子
• 例1: R1×2, 在标准内积下e1, e2是标准正交基, 任意
向量x=(x1, x2), 则x1=(x, e1), x2=(x, e2).
• 例2: 设V是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又
u1 (1,1, 0, 0), u2 ( 1, 0, 0,1), u3 (1, 0,1, 0), u4 (1,
1, 1,1) . 试用Gram-Schmidt方法将 u1 , u2 , u3 , u4
化为V的一组标准正交基.
• 例3: 设 u1 (1, 0), u2 (0,1), 问 u1 , u2是否为R12 的一
组基? 一组标准正交基?
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正交补
• 定义:设U是内积空间V的子空间,令
U⊥ ={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U},
则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.
• 定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空间,则
(1) V = U U⊥ ;
(2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准
正交基;
(2’) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V
的标准正交基.
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例子
•
例5: 若 V U W1 U W2 , 且对 u U, w1 W1
w2 W2都有 ( u, w1 ) ( u, w2 ) 0 , 则 W1 W2 U .
•
例6: (Bessel不等式) 设 v1 , v2 , ..., vm 是n维内积
空间V的正交向量组, y是V的任一向量, 则
2
m
k 1
| ( y , vk ) |
2
|| y ||
2
|| vk ||
且等号成立的充要条件是 y L(v1 , v2 , ..., vm ).
•
例7: 设线性子空间U是齐次线性方程组Ax=0的
解空间, 求U⊥适合的线性方程组.
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度量矩阵_1
设V是n维欧氏空间, 1 , 2 , ..., n 是V的一组基,令
(1 , 1 )
( 2 , 1 )
G
( n , 1 )
(1 , 2 )
( 2 , 2 )
( n , 2 )
(1 , n )
( 2 , n )
( n , n )
由内积定义知G是一个实对称矩阵, 称为度量矩阵. 设
x
n
i 1
xi i , y
n
i 1
yi i
则( x, y) = (x1, …, xn) G (y1, …, yn) = X’GY
这里 X’= (x1, …, xn), Y= (y1, …, yn)’.
因为当x≠0时, 必有(x, x) >0, 所以Ｇ是正定阵.
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度量矩阵_2
• 注1: 在n维实线性空间V的基固定情况下
１：１
{V上的内积}
{实正定矩阵}.
• 注2: 设 1 , 2 , ..., n 是欧氏空间V的一组基, 则
1 , 2 , ..., n为正交基G为(正定)对角阵；
1 , 2 , ..., n为标准正交基G为单位阵.
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正交矩阵_1
设u1, u2, …, un和v1, v2, …, vn是n维欧氏空间
V的两个标准正交基, T是从基u1, u2, …, un
到v1, v2, …, vn 的过渡矩阵,即(v1, v2, …, vn)
n
=(u1, u2, …, un)T.则由于 ij (v , v ) s 1 t si t sj ,
故有T’T=I.
• 定义:实n阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T ’.
i
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j
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正交矩阵_2
• 注1:设u1,u2,…,un是维欧氏空间的一个标准
正交基, T是正交阵, 且有
(v1,v2,…,vn)=(u1, u2, …, un)T.
则v1,v2,…,vn是V的标准正交基.
• 注2:T是正交阵T 的列向量是标准内积空
间Rn×1的标准正交基.
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正交矩阵_3
• 例4:
(1) 单位阵是正交阵.
(2) 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素
为±1.
(3) 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是
对角阵且对角元素为±1.
(4)
cos
sin
sin cos
,
cos sin
sin
cos
是正交阵且二阶矩阵
能作为正交阵的只能是如上两种形式.
(5) 置换阵是正交阵.
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正交矩阵_4
• 命题:设T, S为正交阵, 则
(1) |T | = ±1.
(2) T 可逆且T -1为正交阵.
(3) T *为正交阵.
(4) –T 为正交阵.
(5) TS 为正交阵.
(6) T 的特征值的模长为1.
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§9.3 目的与要求
• 了解伴随变换的概念
• 掌握伴随变换的矩阵表示与性质
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伴随_1
• 定义:设V是数域K上线性空间, 从V到K的
线性映射称为线性函数. V上线性函数的全
体称为V的共轭空间, 记做V*.
• 注:设V是n维欧氏空间,内积为(-,-). 固定
0≠v∈V, 则
f :V K .
x
( x, v)
是V上线性函数. 反之, 任一线性函数均可
由上面方式实现.
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伴随_2
• 引理:设f是n维欧氏空间V的线性函数,则
必存在V上唯一向量v,使对任意x∈V, 均有
f(x)=(x,v).
• 定理:设 是n维欧氏空间V的线性变换算
子,则存在唯一线性变换算子 * ,使得对
任意u,v∈V, 有
( ( u), v ) ( u, * (v )).
• 注1: *称为 的伴随变换.
• 注2: 欧氏空间上线性变换称为线性算子.
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伴随_3
• 定理:设u1,u2,…,un是n维欧氏空间V的一组标
准正交基,若V的线性变换 在这组基下的表
示矩阵为A,则 的伴随算子 *在这组基下的
表示矩阵为A’.
• 定理:设 , 是n维内欧氏空间V的两个线性
变换,c为常数,则
1) ( )* * *
3) ( )* * *
2) (c )* c *
4) ( *)*
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§9.4 目的与要求
•
•
•
•
•
掌握内积空间的（保积）同构的概念
熟练掌握内积空间的同构的等价命题
掌握正交算子的概念
熟练掌握正交算子的等价命题
掌握正交阵在正交相似下的标准型及相应
的正交算子命题
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正交算子_1
• 引理:设 是维欧氏空间V到W的线性映射,则下
列条件等价:
(1) 保持内积, ( ( x ), ( y )) ( x , y ).
(2) 保持范数, ( x ) x .
(3) 保持距离, d ( ( x ), ( y )) d ( x , y ).
• 定义:设V,W是n维欧氏空间 : V W是线性映
射. 如果 是线性空间同构且保持内积,即
( ( x ), ( y )) ( x , y ),
则称 是欧氏空间的同构,记 V W.
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正交算子_2
• 定理: 设V, W是n维欧氏空间, : V W是线性映
射,则下列条件等价:
(1) 保持内积.
(2) 保持范数.
(3) 保持距离.
(4) 是欧氏空间同构.
(5) 将V的任一标准正交基变成W的标准正交基.
(6) 将V的某一标准正交基变成W的标准正交基.
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正交算子_3
• 推论:设V, W是欧氏空间,则
V W dimV = dimW.
• 注1: 两个欧氏空间是否同构与其上定义的内积无
关, 只与维数有关.
• 注2: 欧氏空间的同构是等价关系.
• 注3: 任意n维欧氏空间都同构于标准内积空间Rn.
• 意义: 对一般n维欧氏空间的研究可转化为对标准
内积空间Rn的研究.
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正交算子_3
• 定义: n维欧氏空间V上保持内积的线性算子称为
正交算子或正交变换.
• 定理:设 是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条
件等价:
(1) 是正交算子. (2) 保持距离.
(3) 保持范数.
(4) 是V的自同构.
1
(5) 可逆且 * .
(6) 将V的任意标准正交基变为另一标准正交基.
(7) 将V的一组标准正交基变为另一标准正交基.
(8) 在V的任意标准正交基下的矩阵是正交阵.
(9) 在V的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.
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正交算子_4
• 注1: n阶正交阵可视为某n维欧氏空间V上正交变
换 在V的某标准正交基下的表示矩阵;
• 注2: n阶正交阵还可视为某n维欧氏空间V中某两
标准正交基的过渡矩阵.
• 注3: 若 , 是正交算子, 则
1
1) 可逆, 且 也是正交算子;
2) 为正交算子;
3) 若|c|=1, 则c 为正交算子.
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正交相似_1
设 是n维欧氏空间V上线性变换, u1, …, un和v1, …,
vn分别是V的两组标准正交基,
(v1 , v2 , ..., vn ) ( u1 , u2 , ..., un )T
( u1 , u2 , ..., un ) ( u1 , u2 , ..., un ) A
(v1 , v2 , ..., vn ) (v1 , v2 , ..., vn )B
则 B T 1 AT T AT .
• 定义:设A, B∈Rn×n, 若存在正交阵T, 使
1
B T AT T AT , 则称 A, B是正交相似的.
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正交相似_2
• 注1:设A, B∈ Rn×n, 则A与B是正交相似的充
分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一
个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.
• 注2:正交相似是等价关系.
• 注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也
是正交阵.
• 注4:若B由矩阵A互换i,j两行, 再互换i,j两列
得到, 则A, B正交相似.
• 注5:两对角阵仅对角元顺序不同, 则他们正交
相似.
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正交算子_5
• 引理:设A为正交阵, a ib为A的一个复特征值,
(b≠0), u x iy为对应的特征向量, 则 a 2 b2 1,
x y且 x y .
• 注:因 1 , 故可设 a cos , b sin .
cos
sin
Ax ( x , y )
, Ay ( x , y )
sin
cos
cos sin
A( x , y )
.
cos
sin
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正交算子_6
• 定理:设A为正交阵, 则存在正交阵T, 使
T -1AT
cos 1
diag{ I s , I t ,
sin 1
sin 1
cos l
, ...,
cos 1
sin l
sin l
}.
cos l
• 定理:设 是n维欧氏空间V的正交算子, 则存在
一组标准正交基, 使得 在此基下的矩阵是
cos 1
diag{ I s , I t ,
sin 1
sin 1
cos l
, ...,
cos 1
sin l
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sin l
}.
cos l
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例子
• 例1:设是欧氏空间V的线性变换, 则下列
命题中___不能作为是正交变换的等价命
题.
A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵;
1
*
B.
;
C. 保积同构;
D. 保持距离不变.
A
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例子
•
1
例2:和矩阵 M
0
___.
A.
0
1
1
0
C.
1
1
1
1
0
正交相似的矩阵是
1
B.
1
0
D.
0
1
1
0
1
0
A
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例子
• 例3:设 , 是n维欧氏空间的线性变换,
*, *分别是 , 的伴随变换, 则下列命题
中错误的有___个.
① 是单的线性变换, 则 * 是满的线性变换
*
② dim Im dim Im
*
③ ( ( ), ) ( ( ), ) , 对任意的 , V
④ 是同构变换, 则 * 也是同构变换
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A
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例子
•
例4:三阶正交矩阵在正交相似下的所有
可能的标准形是___.
1
1
cos
sin
1
1
sin
cos
1
1
1
1
cos
sin
1
1
sin
cos
1
1
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1
1
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例子
•
例5:设 A ( a ij ) n n 为n阶正交矩阵, 且 a 11
则矩阵方程 Ax e1 的解x = ___.
1,
e1
要点:1. 因为A是正交阵, 故A可逆, 问题
的解唯一; 2.又因A是正交阵, 且 a 11 1,
故A的第一列为-e1, 从而 A ( e1 ) e 1.
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§9.5 目的与要求
• 掌握自伴随算子的概念及与对称矩阵的关
系
• 熟练掌握对称矩阵的正交相似标准型
• 掌握对称矩阵相似/合同/正交相似的全系
不变量
• 一些相关的计算和证明
Slide 48
对称算子_1
• 定义:设V是n维欧氏空间, 是V的线性算子, 如
果 * , 则称 是自伴随算子(对称算子).
• 定理:设 是n维欧氏空间V的线性算子, 则下列条
件等价：
(1) 是对称算子;
(2) ( ( ), ) ( , ( ));
(3) 在V的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵;
(4) 在V的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.
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对称算子_2
• 定理:设 是n维欧氏空间V上对称算子,则 的特征值
全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.
• 定理’:设A’=A∈Rn×n,则A的特征值全为实数且属于不
同特征值的特征向量互相正交(标准内积空间Rn×1).
• 引理:设 是n维欧氏空间V上对称算子. U是 子空
间. 则U⊥也是 子空间.
• 定理:设 是n维欧氏空间V上对称算子, 则存在V的一
组标准正交基, 使 在这组基下的矩阵是对角阵.
• 定理’:设A’= A∈Rn×n, 则存在正交阵T, 使T1AT=T’AT为对角阵, 且对角线元素为A的特征值.
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对称算子_3
• 定理: A, B实对称矩阵, 则A, B正交相似 A, B
的特征值相同.
• 注: 特征值是实对称矩阵相似的全系不变量.
• 定理:设 f ( x1 , , xn ) X AX 是n元实二次型,
1 , , n是A的所有特征值, 则必存在正交线性
替换 X TY , T 为正交阵, 使
2
2
2
f ( x1 , , xn ) 1 y1 2 y2 n yn
f 的正惯性指数等于A的正特征值个数,
f 的负惯性指数等于A的负特征值个数,
f 的秩等于A的非零特征值的个数.
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例子
2
• 例1: 设 A 2
2
P’AP为对角阵.
2
5
4
2
4 , 求正交阵P, 使得
5
• 例2: 试求3阶对称矩阵使得A的特征值是2, 1, 1.
且(1,1,0)’是A对应于2的特征向量.
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例子
• 例3: 证明: n维欧氏空间V的两个自伴随算子 ,
有公共由它们的特征向量组成的标准正交基的
充分必要条件是 .
• 例4: 设 { Ai ( i 1, 2, ..., m )}是m个实对称矩阵且
两两乘积可交换, 求证: 存在正交矩阵P, 使
P Ai P ( i 1, 2, ..., m )都是对角阵.
• 例5: 设A是实对称矩阵 1 2 ... n 是其所
有特征值, 则对任意 R n1 , 都有
1 A n .
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例子
• 例6: 2设 是n维欧氏空间V的自伴随算子, 且满
足 . 证明: 必存在V的一组标准正交基, 使
得 在该基下的表示矩阵是
Ir
.
0
• 例7: 设A是正定阵, k是任意正整数, 证明: 必存在
正定矩阵B, 使得A= Bk.
• 例8: 设A是n阶可逆实矩阵, 证明: 必存在正定阵S,
正交阵U, 使得A=US.
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第九章 内积空间
Inner Product Space
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§9.1 目的与要求
• 掌握内积、内积空间的概念
• 熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、
距离、夹角、正交等
• 熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角
不等式的含义及应用
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（实）内积空间
• 定义:设V是R上线性空间,存在映射( ,):
V V R, 使得对任意x, y, z∈ V, c∈R,有
对称
(1). ( x, y) = ( y, x)
线性
(2). ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z)
非负
(3). ( cx, y) = c ( x, y)
(4). ( x, x) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.
则称在V上定义内积( , ). V称为内积空间.
有限维实内积空间称为Euclid空间(欧氏空间).
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（复）内积空间
• 定义:设V是C上线性空间,存在映射( , ):V V R
使得对任意x, y, z∈V, c∈C,有
(1). ( x , y ) ( y, x )
(2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z)
(3). (cx, y) = c ( x, y)
(4). (x, x) ≥ 0.且等号成立当且仅当 x = 0.
则称在V上定义内积( , ). V称为复内积空间.
有限维复内积空间称为酉空间.
• 注1:对任意实数a, a a , 所以复内积空间与实内
积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.
• 注2:在复内积空间中, ( x , cy ) c ( x , y )
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例子
• 例1: Rn×1是n维欧氏空间, 若 x , y R n,1 定义
内积如下:
( x, y ) yx x1 y1 x2 y2 ... xn yn
该内积称为Rn×1上的标准内积.
n1
n×1
C 是n维酉空间, 若 x , y C , 定义内
积如下:
( x, y ) yx x1 y1 x2 y2 ... xn yn
该内积称为Cn×1上的标准内积.
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例子
x1
y1
• 例2: R2×1上对 x , y
x2
y2
1) ( x , y ) x1 y1 x2 y1 x1 y2 4 x2 y2
是内积
2) ( x , y ) max(| xi |,| yi |)
i 1,2
非线性, 非内积
3) ( x , y ) x x y y
1
2
1
2
未必非负, 非内积
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例子
• 例3: 设 f ( x ), g( x ) c[a , b] , 定义
( f , g)
b
f ( x ) g( x )dx
a
则c[a, b]是无限维内积空间.
• 例4: 设G为n阶正定阵, 对 x , y R n1, 定义
( x , y ) x ' Gy
则Rn×1是R上n维欧氏空间. G=I即例1.
• 例5: Rn×n上定义(A, B) = tr(A’B), 是欧氏空
间么? 若是, 它是几维的?
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(实)内积空间_2
• 定义:设V实内积空间, 设 x, y∈V,
定义x的长度为: x ( x, x )
定义x与y的距离为: d ( x , y ) x y
当V是实空间时, 定义x, y的夹角θ的余弦为:
cos
( x, y)
x
y
当V是复空间时, 定义x, y的夹角θ的余弦为:
cos
( x, y)
x
y
当( x, y) = 0时, 称x与y正交, 记x⊥y.
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内积空间_3
• 定理:设V是实的或复的内积空间,设x, y∈V,
c为常数(实数或复数), 则
(1) cx c x
(2) (Cauchy-Schwarz不等式)
( x, y) x
y
当且仅当x, y线性相关时, 等号成立.
(3) (三角不等式)
x y x y
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内积空间_4
在Rn×1中
• 注1: x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任
意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和
自己正交; 只有零向量的长度为0;
• 注2: ||x+y||= ||x||+||y||x和y同向或有一为0;
• 注3: (x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角
(内积几何意义);
• 注4: x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2
(勾股定理);
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内积空间_5
• 注5: 若1 , 2 , ..., m两两正交, 即 ( i , j ) 0, i j
则 1) 1 k2 2 ... km m
2
2
2
2
2) 1 2 ... m 1 2 ... m
• 注6: x称为单位向量, 若 x 1. 一般地, 若x≠0,
则x/|| x||是单位向量(称把x单位化).
• 注7: Cauchy-Schwarz不等式具体形式:
x1 y1 ... xn yn ( x1 ... xn )( y1 ... yn )
2
b
2
( f ( x ) g ( x )dx )
a
2
b
a
2
2
b
f ( x )dx g ( x )dx
2
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a
2
2
Slide 12
例子
• 例6: 证明下列不等式成立
n
n
n
n
n
n
1) ( a ji b ji ) ( a )( b )
2
2
ji
i 1 j 1
i 1 j 1
2
ji
i 1 j 1
2) 若A=(aij)n×n是(对称)正定阵, 则
n
n
n
n
n
n
( aij xi y j ) ( aij xi x j )( aij yi y j )
2
i 1 j 1
i 1 j 1
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i 1 j 1
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作业
• 作业 p294 1, 2, 3, 6, 7
补充: Rn×n上定义(A, B) = tr(A’B), 是欧氏
空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证
明下列不等式：
n
n
n
n
n
n
( a ji b ji ) ( a )( b )
2
i 1 j 1
2
ji
i 1 j 1
• 选做 p295 5
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2
ji
i 1 j 1
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§9.2 目的与要求
• 掌握标准正交基、正交补空间的概念
• 掌握度量矩阵与内积的关系
• 掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的
关系
• 熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件
• 掌握向量组的 Gram-Schmidt正交化的计
算
Slide 15
标准正交基_1
• 定义:设 1 , 2 , ..., n 是n维内积空间V的一
( i , j ) 0, i j , 则称这组基是V
组基, 若
( i , j ) ij
的一组正交基, 若
,则称这组基
是V的一组标准正交基.
• 引理: 内积空间V中任意一组两两正交的
非零向量必线性无关.
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标准正交基_2
• 定理: 设V是内积空间, 1 , 2 , ..., m是V中m个线性无
关的向量, 则在V中存在两两正交的向量1 ,2 , ...,m ,
使得
L(1 , 2 , ..., m ) L(1 ,2 , ...,m ).
• Gram-Schmidt正交化:
1 1
( i , j )
i i ki ,11 ... ki ,i 1i 1 , ki , j
,1 j i 1
( j , j )
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Schmit正交化
v 3 u 3 k 31 v 1 k 32 v 2
v 1 u1
v 2 u2
( u2 , v1 )
(v1 , v1 )
u 3 k 32 v 2 k 3 1 v 1
v 1 u 2 k 21 v 1
k21v1
v1
u
v2
u3
v1
u2
k21v1
v3
u3 k32v2
k32v2
k31v1
k31v1
k32 v2
v2
Slide 18
标准正交基_3
• 注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的
向量组与原向量组等价.
• 推论: 任意n维内积空间有一组标准正交基.
• 注: 标准正交基可以简化内积的运算.
设 1 , 2 , ..., n是内积空间V的标准正交基, 若
x x1 1 x2 2 ... xn n , 则 xi ( x , i ), 即
x ( x1 , 1 ) 1 ( x2 , 2 ) 2 ... ( xn , n ) n
又若 y y1 1 y2 2 ... yn n, 则
( x, y ) x1 y1 x2 y2 ... xn yn .
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例子
• 例1: R1×2, 在标准内积下e1, e2是标准正交基, 任意
向量x=(x1, x2), 则x1=(x, e1), x2=(x, e2).
• 例2: 设V是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又
u1 (1,1, 0, 0), u2 ( 1, 0, 0,1), u3 (1, 0,1, 0), u4 (1,
1, 1,1) . 试用Gram-Schmidt方法将 u1 , u2 , u3 , u4
化为V的一组标准正交基.
• 例3: 设 u1 (1, 0), u2 (0,1), 问 u1 , u2是否为R12 的一
组基? 一组标准正交基?
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正交补
• 定义:设U是内积空间V的子空间,令
U⊥ ={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U},
则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.
• 定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空间,则
(1) V = U U⊥ ;
(2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准
正交基;
(2’) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V
的标准正交基.
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例子
•
例5: 若 V U W1 U W2 , 且对 u U, w1 W1
w2 W2都有 ( u, w1 ) ( u, w2 ) 0 , 则 W1 W2 U .
•
例6: (Bessel不等式) 设 v1 , v2 , ..., vm 是n维内积
空间V的正交向量组, y是V的任一向量, 则
2
m
k 1
| ( y , vk ) |
2
|| y ||
2
|| vk ||
且等号成立的充要条件是 y L(v1 , v2 , ..., vm ).
•
例7: 设线性子空间U是齐次线性方程组Ax=0的
解空间, 求U⊥适合的线性方程组.
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度量矩阵_1
设V是n维欧氏空间, 1 , 2 , ..., n 是V的一组基,令
(1 , 1 )
( 2 , 1 )
G
( n , 1 )
(1 , 2 )
( 2 , 2 )
( n , 2 )
(1 , n )
( 2 , n )
( n , n )
由内积定义知G是一个实对称矩阵, 称为度量矩阵. 设
x
n
i 1
xi i , y
n
i 1
yi i
则( x, y) = (x1, …, xn) G (y1, …, yn) = X’GY
这里 X’= (x1, …, xn), Y= (y1, …, yn)’.
因为当x≠0时, 必有(x, x) >0, 所以Ｇ是正定阵.
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度量矩阵_2
• 注1: 在n维实线性空间V的基固定情况下
１：１
{V上的内积}
{实正定矩阵}.
• 注2: 设 1 , 2 , ..., n 是欧氏空间V的一组基, 则
1 , 2 , ..., n为正交基G为(正定)对角阵；
1 , 2 , ..., n为标准正交基G为单位阵.
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正交矩阵_1
设u1, u2, …, un和v1, v2, …, vn是n维欧氏空间
V的两个标准正交基, T是从基u1, u2, …, un
到v1, v2, …, vn 的过渡矩阵,即(v1, v2, …, vn)
n
=(u1, u2, …, un)T.则由于 ij (v , v ) s 1 t si t sj ,
故有T’T=I.
• 定义:实n阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T ’.
i
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j
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正交矩阵_2
• 注1:设u1,u2,…,un是维欧氏空间的一个标准
正交基, T是正交阵, 且有
(v1,v2,…,vn)=(u1, u2, …, un)T.
则v1,v2,…,vn是V的标准正交基.
• 注2:T是正交阵T 的列向量是标准内积空
间Rn×1的标准正交基.
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正交矩阵_3
• 例4:
(1) 单位阵是正交阵.
(2) 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素
为±1.
(3) 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是
对角阵且对角元素为±1.
(4)
cos
sin
sin cos
,
cos sin
sin
cos
是正交阵且二阶矩阵
能作为正交阵的只能是如上两种形式.
(5) 置换阵是正交阵.
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正交矩阵_4
• 命题:设T, S为正交阵, 则
(1) |T | = ±1.
(2) T 可逆且T -1为正交阵.
(3) T *为正交阵.
(4) –T 为正交阵.
(5) TS 为正交阵.
(6) T 的特征值的模长为1.
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§9.3 目的与要求
• 了解伴随变换的概念
• 掌握伴随变换的矩阵表示与性质
Slide 29
伴随_1
• 定义:设V是数域K上线性空间, 从V到K的
线性映射称为线性函数. V上线性函数的全
体称为V的共轭空间, 记做V*.
• 注:设V是n维欧氏空间,内积为(-,-). 固定
0≠v∈V, 则
f :V K .
x
( x, v)
是V上线性函数. 反之, 任一线性函数均可
由上面方式实现.
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伴随_2
• 引理:设f是n维欧氏空间V的线性函数,则
必存在V上唯一向量v,使对任意x∈V, 均有
f(x)=(x,v).
• 定理:设 是n维欧氏空间V的线性变换算
子,则存在唯一线性变换算子 * ,使得对
任意u,v∈V, 有
( ( u), v ) ( u, * (v )).
• 注1: *称为 的伴随变换.
• 注2: 欧氏空间上线性变换称为线性算子.
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伴随_3
• 定理:设u1,u2,…,un是n维欧氏空间V的一组标
准正交基,若V的线性变换 在这组基下的表
示矩阵为A,则 的伴随算子 *在这组基下的
表示矩阵为A’.
• 定理:设 , 是n维内欧氏空间V的两个线性
变换,c为常数,则
1) ( )* * *
3) ( )* * *
2) (c )* c *
4) ( *)*
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§9.4 目的与要求
•
•
•
•
•
掌握内积空间的（保积）同构的概念
熟练掌握内积空间的同构的等价命题
掌握正交算子的概念
熟练掌握正交算子的等价命题
掌握正交阵在正交相似下的标准型及相应
的正交算子命题
Slide 33
正交算子_1
• 引理:设 是维欧氏空间V到W的线性映射,则下
列条件等价:
(1) 保持内积, ( ( x ), ( y )) ( x , y ).
(2) 保持范数, ( x ) x .
(3) 保持距离, d ( ( x ), ( y )) d ( x , y ).
• 定义:设V,W是n维欧氏空间 : V W是线性映
射. 如果 是线性空间同构且保持内积,即
( ( x ), ( y )) ( x , y ),
则称 是欧氏空间的同构,记 V W.
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正交算子_2
• 定理: 设V, W是n维欧氏空间, : V W是线性映
射,则下列条件等价:
(1) 保持内积.
(2) 保持范数.
(3) 保持距离.
(4) 是欧氏空间同构.
(5) 将V的任一标准正交基变成W的标准正交基.
(6) 将V的某一标准正交基变成W的标准正交基.
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正交算子_3
• 推论:设V, W是欧氏空间,则
V W dimV = dimW.
• 注1: 两个欧氏空间是否同构与其上定义的内积无
关, 只与维数有关.
• 注2: 欧氏空间的同构是等价关系.
• 注3: 任意n维欧氏空间都同构于标准内积空间Rn.
• 意义: 对一般n维欧氏空间的研究可转化为对标准
内积空间Rn的研究.
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正交算子_3
• 定义: n维欧氏空间V上保持内积的线性算子称为
正交算子或正交变换.
• 定理:设 是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条
件等价:
(1) 是正交算子. (2) 保持距离.
(3) 保持范数.
(4) 是V的自同构.
1
(5) 可逆且 * .
(6) 将V的任意标准正交基变为另一标准正交基.
(7) 将V的一组标准正交基变为另一标准正交基.
(8) 在V的任意标准正交基下的矩阵是正交阵.
(9) 在V的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.
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正交算子_4
• 注1: n阶正交阵可视为某n维欧氏空间V上正交变
换 在V的某标准正交基下的表示矩阵;
• 注2: n阶正交阵还可视为某n维欧氏空间V中某两
标准正交基的过渡矩阵.
• 注3: 若 , 是正交算子, 则
1
1) 可逆, 且 也是正交算子;
2) 为正交算子;
3) 若|c|=1, 则c 为正交算子.
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正交相似_1
设 是n维欧氏空间V上线性变换, u1, …, un和v1, …,
vn分别是V的两组标准正交基,
(v1 , v2 , ..., vn ) ( u1 , u2 , ..., un )T
( u1 , u2 , ..., un ) ( u1 , u2 , ..., un ) A
(v1 , v2 , ..., vn ) (v1 , v2 , ..., vn )B
则 B T 1 AT T AT .
• 定义:设A, B∈Rn×n, 若存在正交阵T, 使
1
B T AT T AT , 则称 A, B是正交相似的.
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正交相似_2
• 注1:设A, B∈ Rn×n, 则A与B是正交相似的充
分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一
个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.
• 注2:正交相似是等价关系.
• 注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也
是正交阵.
• 注4:若B由矩阵A互换i,j两行, 再互换i,j两列
得到, 则A, B正交相似.
• 注5:两对角阵仅对角元顺序不同, 则他们正交
相似.
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正交算子_5
• 引理:设A为正交阵, a ib为A的一个复特征值,
(b≠0), u x iy为对应的特征向量, 则 a 2 b2 1,
x y且 x y .
• 注:因 1 , 故可设 a cos , b sin .
cos
sin
Ax ( x , y )
, Ay ( x , y )
sin
cos
cos sin
A( x , y )
.
cos
sin
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正交算子_6
• 定理:设A为正交阵, 则存在正交阵T, 使
T -1AT
cos 1
diag{ I s , I t ,
sin 1
sin 1
cos l
, ...,
cos 1
sin l
sin l
}.
cos l
• 定理:设 是n维欧氏空间V的正交算子, 则存在
一组标准正交基, 使得 在此基下的矩阵是
cos 1
diag{ I s , I t ,
sin 1
sin 1
cos l
, ...,
cos 1
sin l
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sin l
}.
cos l
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例子
• 例1:设是欧氏空间V的线性变换, 则下列
命题中___不能作为是正交变换的等价命
题.
A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵;
1
*
B.
;
C. 保积同构;
D. 保持距离不变.
A
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例子
•
1
例2:和矩阵 M
0
___.
A.
0
1
1
0
C.
1
1
1
1
0
正交相似的矩阵是
1
B.
1
0
D.
0
1
1
0
1
0
A
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例子
• 例3:设 , 是n维欧氏空间的线性变换,
*, *分别是 , 的伴随变换, 则下列命题
中错误的有___个.
① 是单的线性变换, 则 * 是满的线性变换
*
② dim Im dim Im
*
③ ( ( ), ) ( ( ), ) , 对任意的 , V
④ 是同构变换, 则 * 也是同构变换
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A
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例子
•
例4:三阶正交矩阵在正交相似下的所有
可能的标准形是___.
1
1
cos
sin
1
1
sin
cos
1
1
1
1
cos
sin
1
1
sin
cos
1
1
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1
1
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例子
•
例5:设 A ( a ij ) n n 为n阶正交矩阵, 且 a 11
则矩阵方程 Ax e1 的解x = ___.
1,
e1
要点:1. 因为A是正交阵, 故A可逆, 问题
的解唯一; 2.又因A是正交阵, 且 a 11 1,
故A的第一列为-e1, 从而 A ( e1 ) e 1.
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§9.5 目的与要求
• 掌握自伴随算子的概念及与对称矩阵的关
系
• 熟练掌握对称矩阵的正交相似标准型
• 掌握对称矩阵相似/合同/正交相似的全系
不变量
• 一些相关的计算和证明
Slide 48
对称算子_1
• 定义:设V是n维欧氏空间, 是V的线性算子, 如
果 * , 则称 是自伴随算子(对称算子).
• 定理:设 是n维欧氏空间V的线性算子, 则下列条
件等价：
(1) 是对称算子;
(2) ( ( ), ) ( , ( ));
(3) 在V的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵;
(4) 在V的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.
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对称算子_2
• 定理:设 是n维欧氏空间V上对称算子,则 的特征值
全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.
• 定理’:设A’=A∈Rn×n,则A的特征值全为实数且属于不
同特征值的特征向量互相正交(标准内积空间Rn×1).
• 引理:设 是n维欧氏空间V上对称算子. U是 子空
间. 则U⊥也是 子空间.
• 定理:设 是n维欧氏空间V上对称算子, 则存在V的一
组标准正交基, 使 在这组基下的矩阵是对角阵.
• 定理’:设A’= A∈Rn×n, 则存在正交阵T, 使T1AT=T’AT为对角阵, 且对角线元素为A的特征值.
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对称算子_3
• 定理: A, B实对称矩阵, 则A, B正交相似 A, B
的特征值相同.
• 注: 特征值是实对称矩阵相似的全系不变量.
• 定理:设 f ( x1 , , xn ) X AX 是n元实二次型,
1 , , n是A的所有特征值, 则必存在正交线性
替换 X TY , T 为正交阵, 使
2
2
2
f ( x1 , , xn ) 1 y1 2 y2 n yn
f 的正惯性指数等于A的正特征值个数,
f 的负惯性指数等于A的负特征值个数,
f 的秩等于A的非零特征值的个数.
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例子
2
• 例1: 设 A 2
2
P’AP为对角阵.
2
5
4
2
4 , 求正交阵P, 使得
5
• 例2: 试求3阶对称矩阵使得A的特征值是2, 1, 1.
且(1,1,0)’是A对应于2的特征向量.
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例子
• 例3: 证明: n维欧氏空间V的两个自伴随算子 ,
有公共由它们的特征向量组成的标准正交基的
充分必要条件是 .
• 例4: 设 { Ai ( i 1, 2, ..., m )}是m个实对称矩阵且
两两乘积可交换, 求证: 存在正交矩阵P, 使
P Ai P ( i 1, 2, ..., m )都是对角阵.
• 例5: 设A是实对称矩阵 1 2 ... n 是其所
有特征值, 则对任意 R n1 , 都有
1 A n .
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例子
• 例6: 2设 是n维欧氏空间V的自伴随算子, 且满
足 . 证明: 必存在V的一组标准正交基, 使
得 在该基下的表示矩阵是
Ir
.
0
• 例7: 设A是正定阵, k是任意正整数, 证明: 必存在
正定矩阵B, 使得A= Bk.
• 例8: 设A是n阶可逆实矩阵, 证明: 必存在正定阵S,
正交阵U, 使得A=US.
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