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第一章 行列式 Determinant 行列式的历史 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学 家关孝和提出来的，他在1683年写了一部 叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思 是“解行列式问题的方法”，书里对行列 式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。 欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数 学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841 年总结并提出了行列式的系统理论。 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 联合收入问题 R,S,T三公司有右图 股份关系。R公司 拥有T公司60%股 份，T公司掌握R 公司20%股份…， R,S,T各自营业净 收入分别是10、8 0.1 和6万元。求各公 司联合收入及实 际收入。 0.8 R 0.8 0.6 0.2 S 0.2 T 0.2 0.1 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 联合收入问题 0.8 R 联合收入=本公司营业净收入+其 在他公司股份比例的提成收入 实际收入=联合收入－其他公司 股份提成 0.1 设：R,S,T联合收入分别为x,y,z， 则三公司实际收入分别为0.8x, 0.1y, 0.2z 0.8 0.6 0.2 S 0.2 T 0.2 0.1 整理为 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.1 目的要求 • 熟练掌握按第一列展开的行列式定义 • 掌握余子式、代数余子式的定义 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn 行列式的定义 A a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a n1 an 2 ann 由n行n列共n2个元素组成, 称为n阶行列式. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 arj的余子式Mrj a11 a1, j 1 a1, j aa1, j 1 1, j 1 a1,n a 1, n ar 1,1 ar 1, j 1 a aarr 1,1, jj11 arr 1,1,nn a ar ,1 ar 1,1 ar , j 1 ar , j ar , j 1 ar 1, j 1 ar 1, j ar 1,1, jj11 ar ,n ar 1,n an,1 an, j 1 an , j ann,, jj11 ann ,,nn r 1, j M rj 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的定义 A 当n 1时，A a11 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a n1 an 2 ann 当n 1时， A a11 M11 a21 M 21 (1)n1 an1 M n1 其中 Mrj为arj的余子式. 定义arj的代数余子式为Arj= (－1)r+jMrj, 则 A a11 A11 a21 A21 an1 An1 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例1. 二阶行列式 a11 a21 － a12 a11 M11 a21 M 21 a22 + a11a22 a21a12 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例2. 三阶行列式 a11 a12 4阶及4阶以 上行列式不 遵循此规则! a13 a21 a22 a23 a11 M11 a21 M 21 a31 M 31 a31 a32 a33 － + a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例3. 比较下列两行列式的第一列元素余子式， 你有怎样的结论？ a11 a12 a13 u a12 a13 a21 a22 a23 , v a22 a23 a31 a32 a33 w a32 a33 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.2-1.4 目的要求 • • • • • 熟练理解和掌握行列式的性质 了解用归纳法证明的步骤与模式 能够利用行列式性质计算行列式的值 熟练掌握两个重要公式(性质10) 掌握和应用Cramer法则 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn 行列式性质1 a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann a11a22 ann a11 0 a21 a22 0 0 a n1 a n 2 ann 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 归纳法 （对行列式阶数） 1) 验证结论对n = 1(或2)时成立 2) 归纳假设对任意满足命题条件的n－ 1阶行 列式命题成立 3) 利用2)的假设证明命题对n 阶行列式也成立 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质2 a11 a12 a1 n a 21 a 22 a2 n a0i1 ai 2 0 a0in a1 n a2 n a nn 0 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质3 c a11 a12 a1n a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n a21 a2 n ai 1 ai 2 ain ca a22 cai 2 cain a1n a2 n ann a1n a2 n ann i1 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质4 a11 a12 a1 n ai 1 ai 2 ain a j1 aj2 a jn a n1 an 2 a nn = a11 a12 a1 n a j1 aj2 a jn ai 1 ai 2 ain a n1 an 2 a nn 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质5 a11 a12 a1 n ai 1 ai 2 ain = 0 aij11 aij22 a jn in a n1 an 2 a nn 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质6 a11 a12 a1 n ai 1 bi 1 a i 2 bi 2 ain bin a n1 an 2 ann a11 a12 a1n a11 a12 a1 n ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin a n1 an 2 ann an 2 a nn a n1 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质7 (c) a11 a12 a1 n a11 a12 a1 n ai 1 ai 2 ain ai 1 ai 2 ain a j1 a j2 a jn a n1 an 2 ann a j1ajca a j 2j 1 i1 a 2 cai 2 a n1 an 2 aa jncain jn a nn = 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质 性质5’ 若行列式A的两列相同，则A=0. 性质6’ A, B, C是三个n阶行列式, 若C的第r列元 素是A的第r列元素和B的第r列元素的和, 即 cir=air+bir, i=1,2,…,n, 而A, B, C的其他列元素 cij=aij=bij, j≠i, i,j=1,2,…,n, 则C=A+B. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的性质 性质7’ 将行列式某一列乘以常数c, 则行列式值 为原来的c倍; 即行列式某一列的公因子可以 提到行列式外面. 性质4’ 互换行列式任意两列, 行列式值改号. 性质8 (行列式按第j列展开) A=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj. 性质8’ (行列式按第i行展开) A=ai1 Ai1+ai2 Ai2+…+ain Ain. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质9(重要公式) ai 1 A j 1 ai 2 A j 2 A ain Ajn 0 a1i A1 j a2 i A2 j A ani Anj 0 i j i j i j i j 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式性质10 a11 a12 a 21 a 22 a1 n a2n an 1 an 2 ann A = a11 a 21 a12 a 22 an 1 an 2 a1 n a 2 n a nn A 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 Cramer法则 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn 若该方程组的系数行列式的值不为0,则方程组有唯一 解, xi=Ai / A, i=1,2,…,n. 其中Aj是一个n阶行列式, 它 由A去掉第j列换成由方程组常数项b1, b2, …, bn组成 的列得到. A a1 j 1 a1 j a1 j 1 a1 j 1 b1 a2 j 1 a2 j a2 j 1 a2 j 1 b2 a2 j 1 anj 1 anj j列 anj 1 Aj a1 j 1 anj 1 bn anj 1 j列 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例 计算A41+A42+A43及A44+A45. 其中 1 1 3 0 7 1 1 A 2 3 1 2 2 0 1 3 a. 2 2 2 3 3 0 1 2 4 1 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 问题: 1. 2. 3. 4. 线性方程组系数行列式≠0呢? 线性方程组方程个数≠未定元个数呢? 行列式该如何计算? 哪些行列式性质在行列式计算中用途最广? 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的性质 上(下)三角行列式的值为其所有对角元之积. 将行列式某行(列)乘以常数c, 则行列式值为原 来的c倍; 即行列式某行(列)的公因子可以提到 行列式外面. 互换行列式任意两行(列), 行列式值改号. 行列式两行(列)对应元素成比例, 则行列式值为 0. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的性质 将行列式的一行(列)乘以某个常数c加到另一 行(列)上去, 行列式值不变. a 11 a12 ai 1 bi 1 ai 2 bi 2 a n1 an 2 a1n a11 a12 ain bin ai 1 ai 2 ann 以上结论对列也成立. a n1 a n 2 a1n a11 a12 a1n ain bi 1 bi 2 bin ann ann a n1 a n 2 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.5 目的要求 • 利用行列式性质, 掌握计算行列式的典 型方法 • 掌握用归纳法求行列式的值 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn 行列式的计算 三角化法： • 普遍法则 对行列式通过恒等变形化为上(下)三角行列式. 降阶法： • • 直接降阶: 按行列式中非零元素较少的行(列)展 开. 间接降阶: 利用行列式性质, 使行列式的某行(列) 具有较少的非零元, 再按其展开. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例1 30 0 150 120 例2 a0 b1 5 6 c1 a1 2 0 3 5 0 1 0 2 cn 1 2 bn , ai 0,1 i n an 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例3 1 1 an an 1 an 2 1 a2 1 a1 例4 x a a a x a a a x 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例5 1 x1 x12 1 x2 x22 Vn 1 x3 x 2 3 1 xn xn2 x1n1 x2n1 x n 1 3 xnn1 归纳法I Dn aDn1 b 例6 y z , Dn x y y z x y z z x 归纳法II Dn aDn1 b Dn cDn1 d 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 ab 1 ab a b ab 例7 Dn 1 ab 1 ab ab 归纳法III Dn pDn1 qDn 2 设a, b是 2 p q 0 的根, 则 p a b, q ab Dn aDn1 b( Dn1 aDn 2 ), Dn bDn1 a( Dn1 bDn 2 ) 化为归纳法I或II 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例8* Dn 1 x1 x12 x1n 2 x1n 1 1 x2 x3 x22 x32 x2n 2 x1n x3n 2 x1n 1 xn1 xn21 xnn12 x1n xn2 xnn12 x1n 1 xn 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的计算 1. 特殊行列式计算 a) 消去第一列（行）后成三角行列式 b) 直接按第一行（列）展开 2. a) 削去行列式第二列后所有对角元或次 对角元，再展开 b) 直接按第一列展开 3. a) 加边法，化原行列式如2.形式 b) 最后一行（列）消去其他各行（列）， 化为型如2.形式 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的计算 常用技巧 归纳法： I Dn aDn1 b Dn aDn1 b II Dn cDn1 d III Dn pDn1 qDn 2 Dn aDn1 b( Dn1 aDn 2 ) p a b, q ab Dn bDn1 a( Dn1 bDn 2 ) a ≠ b时化为 II 的情形, a = b时化为I的情形. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.6 目的要求 • 掌握行列式的等价定义，了解其含义 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn 逆序数 定义 由1, 2, …, n组成一个有序数组称为一个 n级排列. 在一个n级排列(k1, k2, …, kn)中, 如 一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面 的数大于后面的数, 那么就称为一个逆序. 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的 逆序数, 记为N(k1, k2, …, kn). 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 逆序数的计算 法1 (按位置)在(k1, k2, …, kn)中, 设k1后有m1个 数比k1小, k2后有m2个数比k2小, …, kn-1后有 mn-1个数比kn-1小. 则 N(k1, k2, …, kn)= m1+ m2+…+ mn-1. 法2 (按值)在(k1, k2, …, kn)中, 设n后有ln个数 比n小, n-1后有ln-1个数比n-1小, …, 2后有l2 个数比2小. 则 N(k1, k2, …, kn)= ln + ln-1 +…+ l2. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 奇排列 偶排列 定义 若排列(k1, k2, …, kn)的逆序数为偶数(含 0), 则称之为偶排列; 若排列(k1, k2, …, kn)的 逆序数为奇数, 则称之为奇排列. 引理 设 (k1, k2, …, kn)为一个n级排列, 若将其 中ki与kj位置对换, 其余保持不动, 则改变排 列的奇偶性. 引理 在n!个不同的n个数的全排列中, 奇排列 与偶排列各占一半. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 • 例1 求下列排列的逆序数 N(5, 2, 1, 4, 2), N(1, 2, …, n), N(n, n-1, …, 2, 1) • 例2 选适当的i, k使 1 2 7 4 i 5 6 k 9 成偶排列 1 i 2 5 k 4 8 9 7 成奇排列 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 向量 • 由n个元素组成的n维列向量 a1 a2 a n 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 向量的运算 • 两向量α与β的和 a1 b1 a 2 b2 a b n n a1 b1 a2 b2 , an bn • 数k与向量α的数乘 ka1 ka2 k ka n 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 向量运算律 交换律：α+β = β+α 结合律： (α+β ) +γ = α+ (β+γ) 零向量： 0 +α=α+ 0 = α 负向量：α+ (－α) = 0 1·α=α k(α+β )= kα+ kβ (k+l)α= kα+ lα (kl)α= (kl)α 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 n维标准单位向量 1 0 0 1 e1 , e2 , 0 0 0 a a i 0 ae1 , aei be j , b j 0 0 0 0 , en 1 a1 a 2 a e a e ... a e 1 1 2 2 n n an n a e i 1 i i 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的等价定义-1 A 1 2 n i 1 ai 1 ei n 2 i , j 1 a i 1a j 2 ei n k ,k n 1 1 ( k ,k 1 2 ,..., kn i 1 a i 1 ei 2 n n 3 n ak1 1ak1 2 ...akn n ek1 ek2 ekn a a ... a e k 1 k 2 k n k1 ) 1 1 n ek2 ekn 2 ,..., kn 1 ( k ,k ej n 2 ,..., kn ) ( 1) N ( k1 , k2 ,..., kn ) ak1 1ak2 2 ...akn n 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的等价定义-2 A ( k ,k 1 2 ,..., kn ( 1) ) N ( k1 , k2 ,..., kn ) ak1 1ak2 2 ...akn n 注1 n阶行列式展开式共有n!项 注2 每项为取自不同行不同列的n个元素之积 注3 每项前面的正负号行下标组成的全排列 的逆序数(及列下标组成的全排列的逆序数)之 和 注4 行列式的结果是一个数值 厦门大学数学科学学院 网 注5 行列式所有性质均可由此定义推出 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 a 例3 求 b A c d 1 1 1 1 1 1 例4 由n(>1)阶行列式 A 证明奇偶排列各半. 1 1 1 0 1 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例5 写出5阶行列式中含有因子a32a13并带正号的 所有项 例6 求f (x)中x4与x3的系数, 其中 f ( x) 5x 1 2 3 2 1 x 3 x x x 2 2 3 1 3 x 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 行列式的等价定义-3 A ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( i1 , i2 , ( 1) N ( i1 , i2 , ai1 1ai2 2 ain n , in ) (1) (1) ( j1 , j2 , , in ) j , jn ) ( i1 , i2 , , in ) N ( j1 , j2 , , jn ) a1 j1 a2 j2 N ( i1 , i2 , , in ) N ( j1 , j2 , , jn ) 对某个排列（j1 , j2 , , jn） ai1 j1 ai2 j2 anjn ain jn 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 再议行列式的计算 常用技巧 提取因子法： • • 行和相等时，各行加到第一行，提取公因子 文字行列式，当文字取某些值时可使行列式为 零，则行列式含此因子；结合行列式定义，可 得行列式值 拆分法：A=B+C 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例7 计算下列行列式 1 f ( x) 1 2 3 x y z w 1 2 x2 2 3 y x w z 2 2 1 5 1 9 x2 z w w z x y y x 3 3 A 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.7 目的要求 • 理解Laplace定理的含义，会用其解决实 际问题 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn k阶子式、余子式、代数余子式 i1 k 阶子式 A j1 k 阶余子式 i2 j2 i1 M j1 k 阶代数余子式 i1 i2 ˆ A j2 j1 ( 1) i1 i2 ai1 j1 ai1 j2 ai1 jk ik ai2 j1 jk ai2 j2 ai2 jk aik j1 aik j2 aik jk ik jk i2 j2 ik jk ik j1 j2 jk i1 M j1 i2 j2 ik jk 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 Laplace定理-1 设A是n阶行列式, 在A中任取k行(列), 那么含 于这k行(列) 的全部k阶子式与它们对应的代 数余子式的乘积之和等于A. 即若取定k个行: 1 i1 i2 ik n, 则 i1 A A 1 j1 j2 jk n j1 i2 j2 ik ˆ i1 A jk j1 i2 j2 ik jk 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例1 固定2, 4两行, 按照Laplace定理写出计算4阶 行列式的公式. 并计算下列行列式的值. A 1 2 1 2 3 0 1 5 1 2 2 4 0 1 3 6 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 Laplace定理-2 引理 n阶行列式A的任一k阶子式与其代数余 子式之积展开式中每一项都是A的展开式中的 一项. 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例2 求下列行列式的值 1 1 2 3 4 0 0 1 2 3 D 2 3 4 5 1 0 0 2 3 0 0 0 0 1 1 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 例子 例3 求下列行列式的值 a1,1 1) a1,k 0 0 2 3 0 0 0 ak ,1 ak , k 0 0 ak 1,1 ak 1,k ak 1,k 1 ak 1, n an ,1 an , k an , k 1 an , n 1 2 3 0 0 2) 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 厦门大学数学科学学院 网 址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116