第九章 矩 阵 §8.1 行列式的定义 §9.1 矩阵的概念 §9.1 矩阵的概念 §9.2行列式的性质 矩阵的运算 §8.2 §9.2 矩阵的运算 §9.3 矩阵的逆 §9.3 矩阵的逆 §8.3 行列式的计算 §9.4 矩阵的秩 §9.4 矩阵的秩 §8.4 线 性 代 数 部 分 克莱姆法则 第八章 行列式 §8.1 行列式的定义 本节首先由二元与三元一次线性方程组 引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给 出一般 n 阶行列式定义. 一、二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 在初等数学中,大家都学过二元一次线性方 程组 a 11 x 1 a 12 x 2
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第九章
矩
阵
§8.1
行列式的定义
§9.1
矩阵的概念
§9.1 矩阵的概念
§9.2行列式的性质
矩阵的运算
§8.2
§9.2
矩阵的运算
§9.3
矩阵的逆
§9.3
矩阵的逆
§8.3 行列式的计算
§9.4
矩阵的秩
§9.4
矩阵的秩
§8.4
线 性 代 数 部 分
克莱姆法则
第八章
行列式
Slide 2
§8.1
行列式的定义
本节首先由二元与三元一次线性方程组
引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给
出一般 n 阶行列式定义.
一、二阶与三阶行列式
1.二阶行列式
在初等数学中,大家都学过二元一次线性方
程组
a11 x1 a12 x2 b1
a21 x1 a22 x2 b2
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 3
b1a22 b2a12
x
1
a11a22 a12a21
b a ba
x2 2 11 1 12
a11a22 a12a21
(当a11a22 a12a21 0时 )
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a
b
c
d
ad bc
(1.1.2)
a
b
c
d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排
的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的
线称为主对角线.每一个数均称为一个元素.如
(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为
第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线
上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义
式.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 4
1
3
例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1
a12
a11
b1
b2 a22
x1
,
a11 a12
a21 b2
x2
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21
其中
a21 a22
a11a22 a12a21 0
a22
称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式
注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行
列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得
到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两
个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 5
例1解方程组
2 x 3 y 1
4x 5 y 6
解
易见系数行列式
D
又
2
3
10 12 22 0
4 5
1 3
2 1
D1
5 18 13, D2
12 4 16
6 5
4 6
16
8
, x2
于是其解为 x1 13
22
22
11
2.三阶行列式
对于三元一次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 6
类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义
a11 a12 a13
a 21 a22 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a 21a 32a13 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11
a 31 a32 a 33
( 8 .1 .7 )
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行,
纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右
下角的线称为主对角线.
仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组
(8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、
二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2 、b3 后便得到
行列式 D1 、D2 和 D3 ,于是方程组(8.1.6)的解可表
示为 :
D1
D2
D3
x1
线 性 代 数 部 分
D
,
x2
第八章
D
,
x3
行列式
D
Slide 7
例2 解方程组
2 x1 x2 x3 0
3 x1 2 x2 5 x3 1
x 3x 2x 4
2
3
1
解
系数行列式
2 1
1
D 3
2
5 8 5 9 2 6 30 28 0
1
3
2
0 1
1
2 0
2 1 0
1
D1 1
2
5 13, D2 3 1 5 47, D3 3
2
1 21
4
3
2
3
4
1 4 2
1
于是,该方程组的解为
x1
13
,
28
线 性 代 数 部 分
x2
47
,
28
第八章
x3
21
28
行列式
Slide 8
n
二、阶行列式定义
1.余子式与代数余子式
在一个行列式中,称去掉某个元素 a ij所在的行
和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 a ij
i j
M
1
M ij 称为元素 a ij 的
的余子式,记作 ij ,而
i j
A
A
1
M ij
ij
代数余子式,记作
,即 ij
如在行列式
1
3
4
5
2
6
8
7
0
中
元素5的代数余子式为 A21 1
21
M 21 M 21
元素-4的代数余子式为 A13 1
1 3
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
3 4
7
M 13 M 13
0
28
5 2
8
7
51
Slide 9
2. 行列式与代数余子式的关系
(1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21
a11 (1)11 M11 a12 (1)1 2 M12
a11 A11 a12 A12
同理可推出
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21 a21 A21 a22 A22
a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或
任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 10
(2). 三阶行列式与代数余子式的关系
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11
a31 a32 a33
(a11a 22a 33 a11a 23 a 32 ) (a12 a 21a 33 a12a 23a 31 ) (a13a 21a 32 a13a 22a 31 )
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22a31 )
a11 A11 a12 A12 a13 A13
可见三阶行列式的值等于其第一行的各元素
与其对应的代数余子式乘积的和.
类似可证,它还等于其它行或列的各元素与其
对应的代数余子式乘积的和
由此可见,三阶行列式的值也等于其任意一行
或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的
和.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 11
综上可见,行列式的值等于其任意一行或任意
一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.
例3 计算
解 2 3 4
1
5
0
6
2 3
4
1
0
2
5
6
1
2 2 A11 ( 3) A12 4 A13 2 0 2 3 1 2 4 1 0 33
5 1
6 1
5 6
1
2. n 阶行列式的定义
定义8.1
成的记号
把由 n 2 个元素 aij (i ,
a11
a12
a 21
a 22
a2 n
a ni
an 2
a nn
线 性 代 数 部 分
第八章
a1 n
行列式
j 1,2,3,, n)
,组
Slide 12
称为 n 阶行列式,记作 D ,其中 a ij 称为第 i 行第 j 列
的元素
规定,当 n 1 时 行列式 D a11 a11
当 n 2 时 行列式
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain (1 i n) (1.1.9)
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
(1 j n)
(1.1.10)
并分别称(1.1.9)(1.1.10)式为n 阶行列式D 按
i
照第
行和第j 列的展开式.
例4 设四阶行列式
3
1 2 4
按第2列展开
1 0
2
3
D
该行列式并求
2
0 1 2
值
4 1 0 3
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 13
解 D 1 A12 0 A22 0 A32 (1) A42
A12 A42
1
2
4
2 4
2
3
1
2 1
3
0
3
2
30
3
1 2
2
注2:易见该题若按其它行或列展开计算时就
会复杂一些,因此计算行列式时应注意选择零元
素较多的行或列展开,以减少余子式的个数,从而
简化计算.
例5 按定义分别计算
D1
a
0
0
0
0
0
b
0
0
c
0
0
0
0
0
d
线 性 代 数 部 分
,
D2
第八章
a11
a12
a1 n
0
a 22
a2 n
0
0
a nn
行列式
Slide 14
解
0
b
D1 a c
0
0
0
a22
0
c
0 ab(1)
0
d
0
d
abcd
a33
a3 n
a11a22
0
a
a11a22 ann
ann
a2 n
D2 a11
0
nn
注3:形如该例中 D2 的行列式称为上三角形行
列式,类似还有下三角形行列式,由例5的计算可见
上三角形行列式的值就等于主对角线上的元素乘
积;同理可证,下三角形行列式的值也等于主对角
线上的元素乘积.综合起来可以说成三角形行列式
的值等于主对角线上的元素乘积.
习题8-1
1.计算下列行列式
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 15
(1)
2 3 (2)
4 5
1
2.设
2
1
0
4
0
5
3
3
2
0
1
8
1
2
1
1
D
2
(3)
a
b
0
4
(4) 0
a
b
5
a
0
b
2
1
3
0
1
3
2
请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一
种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 16
§8.2
行列式的性质
按定义计算行列式显然是很不方便,尤其是当
阶数比较高的情况下就更困难了,为了简化行列式
的计算,本节不加证明的给出行列式的性质.
在给出行列式性质之前,首先给出行列式的转
置概念.
a
a
a
11
如果将行列式 D a21
a n1
12
1n
a 22 a 2 n
a n 2 a nn
素互换,则得一新的行列式
线 性 代 数 部 分
a11
a 21
a12
a 22
an 2
a1 n
a2 n
a nn
第八章
a n1
行列式
的行和列的元
Slide 17
称该新行列式为原来行列式
D
称为
的转置,记作
DT .即
a11
a 21
DT a12
a 22
an 2
a1 n
a2 n
a nn
D 的转置行列式,简
a n1
T
D
D 也是 的转置,
注1:显然若 D 是 D 的转置,则
T
D
D
即 与 互为转置.
性质1 行列式转置值不变,即 D DT
3 4
3 1
T
T
D
10
,
D
10 易见 D D
如
T
1 2
4
2
注2:该性质告诉我们,在行列式中行和列的地
位是平等的,凡是行具有的性质对于列也具有.
性质2 交换行列式中任意两行(两列)元素的位置,
行列式须改变符号.即
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 18
a11
a12
a1 n
a11
a12
a1 n
ai 1
ai 2
a in
a j1
a j2
a jn
a j1
a j2
a jn
ai 1
ai 2
a in
a n1
an 2
a nn
a ni
an 2
a nn
推论1 如果行列式中有两行(或两列)元素对应
相等,则该行列式的值为零.
因为如果行列式 D 中有两行(或两列)元素对应
相等的话,互换这两行(两列)元素的位置行列式不
会变,还为 D ;但另外由性质2知这两行(两列)元素
的位置互换行列式须改变符号, D 变为 D,于是必
有D0
性质3 用 k 乘以行列式的某一行(列)的各元
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 19
素,就等于用 k 乘以该行列式,即
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ka i 1
kai 2
ai 2
ain
kain k ai 1
a n1
an 2
ann
an 2
ann
a n1
推论2 如果行列式的某一行(列)有公因子,则
公因子可以提到行列式的前面.
推论3 如果行列式中某两行(列)的元素对应成比
例,则该行列式的值必为零
推论4 如果行列式中有一行(列)元素全部为零,
则该行列式的值必为零.
事实上,当性质3中的常数 k 0 时,即得该结论.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 20
性质4 如果行列式的某一行(列)的各元素均
可以写成两个数之和,则该行列式可以写成两个
行列式之和,这两个行列式分别以这两个数为所
在行(列)对应位置的元素,其它位置的元素还是
原来的.
以三阶行列式为例,可将性质4表示为
a11
a12
a13
a1 b1
a2 b2
a31
a32
a11
a12
a13
a11
a12
a13
a3 b3 a1
a2
a3 b1
b2
b3
a32
a33
a32
a33
a33
a31
a31
例1 利用行列式的性质计算
0
(1) D1 a
a
b
0
c,
b c 0
线 性 代 数 部 分
第八章
3
1 2
(2) D2 7 1 5
4
行列式
0
3
Slide 21
0 a b
解
所以
(1)因为 D
0
b
c
c 1 a
3
0
a
b
0
c D1
b c 0
故 D1 0
2 D1 0
3 1 2
1
3
3 1 2
2
3 1 2
将该行列式
3 1 2 4 0 3 0
4 0 3
4
0 的每一行均
3
4 0 3 4 0 3
提出 1
性质5 将行列式的某一行(列)的各元素同乘以
常数 l 后加到另一行(列)对应位置的元素上去,行
列式的值不变.
(2)
(2)
T
D
1
1 a
0
D2 7 1 5 3 4 1 0 2 3
例2 计算
D
线 性 代 数 部 分
7
1
3
2
0
2
1
4
4 6
9
1
2
第八章
4
11
8
行列式
Slide 22
解
D 2
7
1
4
11
3
0
1
4
1
1
2
3
9
1
2
8
2
1
1
2
3
3
0
1
4
1
1
2
3
9
1
2
8
0
性质6 行列式 D 的某一行(列)元素与该行(列)
元素所对应的代数余子式乘积的和等于该行列式 D,
第三行同时提出 2
而与另一行(列)元素所对应的代数余子式乘积的
第二行同乘以 2 加
第一行与第三行
到第一行上去
和等于零,即
D i j
对应元素相等.
(1 i , j n)
a A a A a A
i1
j1
i2
j2
in
jn
0
习题8-2
1.利用行列式的性质计算
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
i j
Slide 23
(1)
2
3 4
7
3
1 4
5
2 0 7
1
5
(2)
1
3
3 4
3
0
9 8
2 11
2
4 8 12
9
6
5
6 7
2.利用行列式性质证明
a1 kb1
b1 c1
c1
a1
b1
c1
a2 kb2
b2 c2
c2 a 2
b2
c2 .
a3 kb3
b3 c3
c3
b3
c3
线 性 代 数 部 分
a3
第八章
行列式
(3)
1
1 2
9
0
3
4
1
0 5 6
3
2
1
8 19
Slide 24
§8.3
行列式的计算
本节利用行列式的性质,给出两种行列式的计
算方法:化三角形法和降阶展开法.
首先,介绍一下行列式计算中所使用的一些符号
(1)把第 i 行(列)与第 j 行(列)元素的位置互换
时,用符号 (( i ), ( j ))来表示;
(2)把第 i 行(列)的元素同乘以常数 k时,用符
号 k (i ) 来表示;
(3)把第 i 行(列)的元素乘以 l 后加到第 j 行
(列)上去,用符号 l ( i ) ( j ) 来表示.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 25
注意一点:当“作行变换”时请将上述符号写
在等号上面,而“作列变换”时将其写在等号下面,
用以区分行和列的变换.
下面介绍行列式计算中常用的两种方法:化三
角形法和降阶展开法.
1.化三角形法
该种方法是利用行列式的性质将所求行列式
化为上(下)三角形行列式,然后将主对角线上的元
素相乘即得该行列式值的一种方法.一般习惯将其
化为上三角形行列式,此时要将行列式中主对角线
下方的元素全化为零(利用性质5),化时应注意化
行(A行乘以某一个数加到B行上去时,称A行为化
行,B行为被化行)左边第一个非零元素最好为1
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 26
D
2
3
3
3
0
5
2 1
3 6
4
0
1
1
4
2
解 先分析一下: 显见第一行第一列处的元
素不等于1和-1,如果直接要将其下边的元素化为
零,则必会出现分数,从而对后边的计算带来困难.
因此可先将第一列与第三列交换一下(也可以将
第二行乘以-1后加到第一行),这样一来再化就方
便的多了.
D
(( 1 ), ( 3 ))
1
3
2
3
0
5
1
0
2
4
3 1
3 6
4
线 性 代 数 部 分
2 ( 1 ) ( 2 )
1 3
3(1) ( 3 )
(1) ( 4 )
2
第八章
0
6
2
4
1 9
0 4
3
18
0 3
6
6
行列式
1 3 2
4
3 0 6 1 9
0 4 3 18
0 1 2
2
1
(4)
3
Slide 27
1 3 2
4
(( 2 ), ( 4 ))
2
3 0 1 2
0 4 3 18
0 6 1 9
1 3 2
4
2
3 0 1 2
0 0
1 23
0 0 5 10
(( 3 ), ( 4 ))
4( 2 ) ( 3 )
6( 2 )( 4 )
1 3 2 4
3 0 1 2 2
0 0 5 10
0 0 11 3
1 3 2 4
3 0 1 2 2
0 0 5 10
0 0 1 23
2( 3 )( 4 )
1 3 2 4
3 0 1 2 2 375
0 0 1 23
0 0 0 125
5( 3 )( 4 )
2.降阶展开法
在所要计算的行列式中,选择一个零元素最多
的行或列,且若非零元素多于两个或两个以上时,
非零元素应尽可能具有倍数关系或小一点的,当然
该行或列中只有一个非零元素最好(若不是可利用
行列式的性质化为仅有一个非零元素的情形),然
后再按该行(列)展开,直到求出其值为止.称这种
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 28
计算行列式的方法为降阶展开法.
1 2
3
4
按第二列展
例3 计算 D 1 0 1 2 按第二列展开
开
3 1 1 0
1
2( 3 ) (1)
解
2( 3 ) ( 4 )
D
7
2 2
5
0
4
7 1
4
2
3 2
( 1) 1 1 1
2
0
7 2 5
证明
0
a
b
a
a
0
a
b
b
a
0
a
线 性 代 数 部 分
a
b
a
0
1( 2 ) ( 1 )
2( 2 ) ( 3 )
0
a
b
a
a
b
0
a
a
0
b
b 2 (b 2
a
a
b
a
0
2a b
2a b
2a b
2a b
( 2 )(1)
( 3 )(1)
( 4 )(1)
第八章
a
0
a
b
b
a
0
a
6 0
2
1 1
2
9 0 1
2 5
0
6 2
9 1 24
例4
证
1
1 0
1
3 1 1
7
1 1
0
2
从第一列中
4提出公因子
a ).
a
b
a
0
行列式
2
1
( 2a b ) 1
1
1
a
0
a
b
b
a
0
a
a
b
a
0
Slide 29
1( 1 ) ( 2 )
1( 1 ) ( 3 )
1( 1 ) ( 4 )
1
a
( 2a b) 0 a
0
0
0 ba
( 2a b)( b)
再
按
第
二
行
展
开
b
a b
b
a b
a
ba
ba
a
a
a
b a ( 2a b) 0
0
ba
a
( 2a b )( b ) a 2 b a
( 2a b)( b)b( 2a b) b2 (b2 4a 2 )
按第一列展开
例5 解方程
解 因为
( x 6) 1
2 2
1
2
4
4
1
3
0 x 1
4
2
线 性 代 数 部 分
1
2
4
4
ab ba
b
0
ab a
5
x4
3
3
3
4
6
8 0
x 1 5
2
5
2
按
第
二
行
展
开
按
1
5
3
4
第
5
3
4
0
x
6
0
0
x4
6
8
0
0
x 1 0
3
x 1 5
二
4
3
2
5
3
2
5
行
4
展
0 ( x 6)( x 1) 1 1 4 21( x 6)( x 1)
4 5
5
开
2 ( 1 ) ( 2 )
( 4 )( 3 )
2 2
第八章
行列式
Slide 30
21( x 6)( x 1) 0
所以有
即
x 6,
x 1
习题8-3
1.计算下列行列式
(1)
1
1 1 2
1
1
0
1
2
1 0
2
1
1
2
(2)
0
1
1
1
2
2
0
1
4
0
3
2
1
1
2
1
2
1
4
2
1
1
2
4
0
1
4
1
2
1
4
2
1
(3)
2.解方程
(1)
1
1
0
0
1
x
1
0
0
0
x
2
0
0
2x
x
线 性 代 数 部 分
3
0
(2)
第八章
1
3 x2
2
4
2
4
5
0
x3
8
10
0
6
16
行列式
0
Slide 31
3.计算 n 阶行列式
(1)
a
b
0
0
0
0
a
b
0
0
(2)
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
0
0
0
a
b
b
0
0
0
a
a
4. 证明
1 x
1
1
1
1
1
1 x
1
1
1 y
1
线 性 代 数 部 分
1
1
1
1
x2 y2
1 y
第八章
行列式
a
a
a
b
Slide 32
§8.4
n
克莱姆法则
行列式的概念是由二元和三元线性方程组引
入的,现在学习了行列式的计算后,能否利用行列
式来求解一般含有 n 个方程的 n 元线性方程组便
成了我们所关心的问题了.本节给出利用行列式求
解含 n个方程的 n 元线性方程组的方法.
含 n 个方程的 n 元线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1
22 2
2n n
2
an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
其系数构成的阶行列式
D
线 性 代 数 部 分
第八章
(1.4.1)
a11
a12 a1n
a21
a22 a2 n
a
ann
a n1
n2
行列式
Slide 33
a11 a12 a1 j a1n
称为线性方程组(1.4.1)的系数行列式.
a
a 22 a 2 j a 2 n
D用代数余子式
21
A1 j
, A2
分别乘以(1.4.1)
j , , Anj
n 个方程,然后再相
a n1 a n 2 a nj 、第
a nn
式的第1个、第2个、…
加得
(1)式+(2)式+···+(n)式
(a11 A1 j a21 A2 j
an1 Anj ) x1 (a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ) x j
n
a1nax1nn A1 jbx1n b1 A1Aj 1 j
a11aA111 xj x1 1aa1212xA21 jx
2
(a1n A1 j a2 n A2 j ann Anj ) xn b1 A1 j b2 A2 j bn Anj
a aA xx aa xA xa ax A bx b AA
22
2 n 2n 2 j 2 n
21 212 j 11
22 22 j 2
2 2 j2 j
由行列式的性质6可得
AnjA
aj na1 ADnjxj x1a(ajn2xA1nj,2x,
Dx
, n
) a nn Anj x n jbn
2
nj
n 2 j 2列 jj a nn x n bn
n1 1 第
(1)
( 2)
( n)
第二列元素与第
列
第一列元素与第
j 列第
列元素与第
列
j 列的元素依次换
Da
其中
j 是把系数行列式
a12 b1 元素所对应的代数余子式
Da1的第
元素所对应的代数余子
11 元素所对应的代数余子
n
b
,
bn以后所得到的行列式.
为常数项
式乘积的和为零.
a 21 式乘积的和为零.
a 221 , b
2 ,
b2 乘积的和等于系数行列式D.
a 2n
Dj
n于是,当
列元素与第
D j
a11 a12 a1 j a1n
第
0时可得方程组(1.4.1)的解为
Dj b a
a n1 a n 2 x
列元素所对应的代数余
a,21
n (j 1
2nn
,,an22) a 2 j a 2 n
j
D
D
子式乘积的和等于零
j
是Dj
按第
列的展
另外,可验证形如上式的一组数一定是方程组
a
a
a a
开式
线 性 代 数 部 分
n1
第八章
n2
行列式
nj
nn
Slide 34
(1.4.1)的解.
综上可见,我们有
定理8.1(克莱姆Cramer法则) 如果线性方程组
(1.4.1)的系数行列式 D 0 ,则方程组(1.4.1)必
有唯一一组解,且解为:
xj
Dj
D
( j 1,2,, n)
其中 D j 是将系数行列式 D 中第 j 列元素a1 j , a2 j ,, anj
依次换为常数项 b1 , b2 ,, bn 后所得到的行列式.
例1 解线性方程组
x1 x 2 x3 2 x4 2
2x
x 3 4 x4 4
1
1
3 x1 2 x 2 x3
x1 2 x2 x3 2 x4 4
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 35
解 因为系数行列式
1 1 1 2
D 2 0 1 4 2 0
3
2 1
0
1 2 1 2
所以该方程组有惟一解
2 1 1 2
D1 4 0 1 4 2
1 2 1 0
4 2 1 2
1 2 1 2
D2 23 41 11 40 4
1 4 1 2
1 1 2 2
D3 2 0 4 4 0
3 2 1 0
1 2 4 2
1 1 1 2
D4 2 0 1 4 1
3 2 1 1
1 2 1 4
于是所给方程组的解为
x1
D1
D
1 x 2 2 2
D
D
线 性 代 数 部 分
第八章
x3
D3
0
D
行列式
x4
D4 1
D 2
Slide 36
例2 解线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
3 x x x 2 x 4
2
3
4
1
2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6
解 因系数行列式
1 1
2
3
3 1 153 0
D 1 2
3 1 1 2
2 3 1 1
所以该方程组有且有惟一一组解
1
1
2
3
3 1 153
D1 4 2
4 1 1 2
6 3 1 1
线 性 代 数 部 分
第八章
1 1
2
3
D2 1 4 3 1 153
3 4 1 2
2 6 1 1
行列式
Slide 37
1 1
1
3
D3 1 2 4 1 0
3 1 4 2
2 3 6 1
1 1
2
1
3 4 153
D4 1 2
3 1 1 4
2 3 1 6
因此由Cramer法则知其解为
D3
D1
D2
D4
x1
1 x 2
1 x 3
0 x4
1
D
D
D
D
如果线性方程组(1.4.1)的常数项全为零,则
该方程组变为
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a x a x a x 0
21 1
22 2
2n n
an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
(1.4.2)
Slide 38
称常数项全为零的线性方程组(1.4.2)式为齐次
线性方程组;当(1.4.1)式中常数项不全为零时,称方
程组(1.4.1)为非齐次线性方程组.
推论1 如果齐次线性方程组(1.4.2)的系数
行列式 D 0 ,则它必仅有唯一一组零解.
事实上,由于 b1 b2 bn 0 ,由行列式的性质
知必有 D1 D2 Dn 0 根据克莱姆法则知仅有唯
一的一组零解 x1 x2
. xn 0
推论2 如果齐次线性方程组(1.4.2)有非零
解,则其系数行列式必为零,即 D 0
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 39
事实上可证: 当系数行列式 D 0 时,(1.4.2)也
必有非零解(用后面知识可证).
例2 判断齐次线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x4
x 2x 3x x
1
2
3
4
3 x1 x 2 x 3 2 x4
2 x1 3 x 2 x 3 x4
0
0
0
0
是否只有零解.
解
因为系数行列式
1
1
D
3
2
线 性 代 数 部 分
1
2
2
1
3
1
1
153 0
2
3
1
1
第八章
3
行列式
Slide 40
所以该方程组只有零解.
例3
设齐次线性方程组
x1 x2 kx3 0
x1 kx2 x3 0
x x k2x 0
2
3
1
有非零解,求
k
的值.
解
系数行列式
1 1
k
D1 k
1
1( 1 ) ( 2 )
1( 1 ) ( 3 )
1 1 k2
1
1
0 k 1
0
0
k
1 k
k k 1
k ( k 1)
因方程组有非零解,所以 D 0 即
因此
k 0, k 1
线 性 代 数 部 分
第八章
2
行列式
k k 1 0
2
Slide 41
习题1-4
1.用克莱姆法则求解下列线性方程组
(1)
x1 2 x 2 4 x3 31
5 x1 x 2 2 x3 29
3x x x 10
2
3
1
(2)
2 x1 3 x 2 11x3 5 x 4 2
x x 5x 2 x 1
1
2
3
4
2 x1 x 2 3 x3 4 x 4 3
x1 x 2 3 x3 4 x 4 3
2.判断下列齐次方程组是否有非零解
(1)
2 x1 x 2 3 x3 2 x 4 0
x 3 x x 4 x 0
1
2
3
4
x1 4 x 2 2 x3 2 x 4 0
7 x 2 x3 6 x 4 0
(2)
x1 2 x 2 2 x3 0
3 x1 x 2 x3 0
2 x 2 x 4 x 0
1
2
3
3.设下列齐次方程组有非零解,求 ?
( 3) x1 14 x 2 2 x3 0
2 x1 ( 8) x2 x3 0
2 x 3x ( 2) x 0
1
2
3
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 42
a11x1 a12 x2 b1
a21x1 a22 x2 b2
(1)
(2)
(1) a22 得 a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 (3)
(2) a12 得 a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 (4)
(3) (4) 得 (a11a22 a12a21) x1 b1a22 b2a12
(5)
当 a11a22 a12a21 0 时得
b1a22 b2 a12
x1
a11a22 a12 a21
同理可求得
b2 a11 b1a12
x2
a11a22 a12 a21
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
返回
第九章
矩
阵
§8.1
行列式的定义
§9.1
矩阵的概念
§9.1 矩阵的概念
§9.2行列式的性质
矩阵的运算
§8.2
§9.2
矩阵的运算
§9.3
矩阵的逆
§9.3
矩阵的逆
§8.3 行列式的计算
§9.4
矩阵的秩
§9.4
矩阵的秩
§8.4
线 性 代 数 部 分
克莱姆法则
第八章
行列式
Slide 2
§8.1
行列式的定义
本节首先由二元与三元一次线性方程组
引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给
出一般 n 阶行列式定义.
一、二阶与三阶行列式
1.二阶行列式
在初等数学中,大家都学过二元一次线性方
程组
a11 x1 a12 x2 b1
a21 x1 a22 x2 b2
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 3
b1a22 b2a12
x
1
a11a22 a12a21
b a ba
x2 2 11 1 12
a11a22 a12a21
(当a11a22 a12a21 0时 )
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a
b
c
d
ad bc
(1.1.2)
a
b
c
d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排
的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的
线称为主对角线.每一个数均称为一个元素.如
(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为
第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线
上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义
式.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 4
1
3
例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1
a12
a11
b1
b2 a22
x1
,
a11 a12
a21 b2
x2
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21
其中
a21 a22
a11a22 a12a21 0
a22
称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式
注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行
列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得
到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两
个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 5
例1解方程组
2 x 3 y 1
4x 5 y 6
解
易见系数行列式
D
又
2
3
10 12 22 0
4 5
1 3
2 1
D1
5 18 13, D2
12 4 16
6 5
4 6
16
8
, x2
于是其解为 x1 13
22
22
11
2.三阶行列式
对于三元一次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 6
类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义
a11 a12 a13
a 21 a22 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a 21a 32a13 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11
a 31 a32 a 33
( 8 .1 .7 )
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行,
纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右
下角的线称为主对角线.
仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组
(8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、
二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2 、b3 后便得到
行列式 D1 、D2 和 D3 ,于是方程组(8.1.6)的解可表
示为 :
D1
D2
D3
x1
线 性 代 数 部 分
D
,
x2
第八章
D
,
x3
行列式
D
Slide 7
例2 解方程组
2 x1 x2 x3 0
3 x1 2 x2 5 x3 1
x 3x 2x 4
2
3
1
解
系数行列式
2 1
1
D 3
2
5 8 5 9 2 6 30 28 0
1
3
2
0 1
1
2 0
2 1 0
1
D1 1
2
5 13, D2 3 1 5 47, D3 3
2
1 21
4
3
2
3
4
1 4 2
1
于是,该方程组的解为
x1
13
,
28
线 性 代 数 部 分
x2
47
,
28
第八章
x3
21
28
行列式
Slide 8
n
二、阶行列式定义
1.余子式与代数余子式
在一个行列式中,称去掉某个元素 a ij所在的行
和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 a ij
i j
M
1
M ij 称为元素 a ij 的
的余子式,记作 ij ,而
i j
A
A
1
M ij
ij
代数余子式,记作
,即 ij
如在行列式
1
3
4
5
2
6
8
7
0
中
元素5的代数余子式为 A21 1
21
M 21 M 21
元素-4的代数余子式为 A13 1
1 3
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
3 4
7
M 13 M 13
0
28
5 2
8
7
51
Slide 9
2. 行列式与代数余子式的关系
(1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21
a11 (1)11 M11 a12 (1)1 2 M12
a11 A11 a12 A12
同理可推出
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21 a21 A21 a22 A22
a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或
任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 10
(2). 三阶行列式与代数余子式的关系
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11
a31 a32 a33
(a11a 22a 33 a11a 23 a 32 ) (a12 a 21a 33 a12a 23a 31 ) (a13a 21a 32 a13a 22a 31 )
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22a31 )
a11 A11 a12 A12 a13 A13
可见三阶行列式的值等于其第一行的各元素
与其对应的代数余子式乘积的和.
类似可证,它还等于其它行或列的各元素与其
对应的代数余子式乘积的和
由此可见,三阶行列式的值也等于其任意一行
或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的
和.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 11
综上可见,行列式的值等于其任意一行或任意
一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.
例3 计算
解 2 3 4
1
5
0
6
2 3
4
1
0
2
5
6
1
2 2 A11 ( 3) A12 4 A13 2 0 2 3 1 2 4 1 0 33
5 1
6 1
5 6
1
2. n 阶行列式的定义
定义8.1
成的记号
把由 n 2 个元素 aij (i ,
a11
a12
a 21
a 22
a2 n
a ni
an 2
a nn
线 性 代 数 部 分
第八章
a1 n
行列式
j 1,2,3,, n)
,组
Slide 12
称为 n 阶行列式,记作 D ,其中 a ij 称为第 i 行第 j 列
的元素
规定,当 n 1 时 行列式 D a11 a11
当 n 2 时 行列式
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain (1 i n) (1.1.9)
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
(1 j n)
(1.1.10)
并分别称(1.1.9)(1.1.10)式为n 阶行列式D 按
i
照第
行和第j 列的展开式.
例4 设四阶行列式
3
1 2 4
按第2列展开
1 0
2
3
D
该行列式并求
2
0 1 2
值
4 1 0 3
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 13
解 D 1 A12 0 A22 0 A32 (1) A42
A12 A42
1
2
4
2 4
2
3
1
2 1
3
0
3
2
30
3
1 2
2
注2:易见该题若按其它行或列展开计算时就
会复杂一些,因此计算行列式时应注意选择零元
素较多的行或列展开,以减少余子式的个数,从而
简化计算.
例5 按定义分别计算
D1
a
0
0
0
0
0
b
0
0
c
0
0
0
0
0
d
线 性 代 数 部 分
,
D2
第八章
a11
a12
a1 n
0
a 22
a2 n
0
0
a nn
行列式
Slide 14
解
0
b
D1 a c
0
0
0
a22
0
c
0 ab(1)
0
d
0
d
abcd
a33
a3 n
a11a22
0
a
a11a22 ann
ann
a2 n
D2 a11
0
nn
注3:形如该例中 D2 的行列式称为上三角形行
列式,类似还有下三角形行列式,由例5的计算可见
上三角形行列式的值就等于主对角线上的元素乘
积;同理可证,下三角形行列式的值也等于主对角
线上的元素乘积.综合起来可以说成三角形行列式
的值等于主对角线上的元素乘积.
习题8-1
1.计算下列行列式
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 15
(1)
2 3 (2)
4 5
1
2.设
2
1
0
4
0
5
3
3
2
0
1
8
1
2
1
1
D
2
(3)
a
b
0
4
(4) 0
a
b
5
a
0
b
2
1
3
0
1
3
2
请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一
种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 16
§8.2
行列式的性质
按定义计算行列式显然是很不方便,尤其是当
阶数比较高的情况下就更困难了,为了简化行列式
的计算,本节不加证明的给出行列式的性质.
在给出行列式性质之前,首先给出行列式的转
置概念.
a
a
a
11
如果将行列式 D a21
a n1
12
1n
a 22 a 2 n
a n 2 a nn
素互换,则得一新的行列式
线 性 代 数 部 分
a11
a 21
a12
a 22
an 2
a1 n
a2 n
a nn
第八章
a n1
行列式
的行和列的元
Slide 17
称该新行列式为原来行列式
D
称为
的转置,记作
DT .即
a11
a 21
DT a12
a 22
an 2
a1 n
a2 n
a nn
D 的转置行列式,简
a n1
T
D
D 也是 的转置,
注1:显然若 D 是 D 的转置,则
T
D
D
即 与 互为转置.
性质1 行列式转置值不变,即 D DT
3 4
3 1
T
T
D
10
,
D
10 易见 D D
如
T
1 2
4
2
注2:该性质告诉我们,在行列式中行和列的地
位是平等的,凡是行具有的性质对于列也具有.
性质2 交换行列式中任意两行(两列)元素的位置,
行列式须改变符号.即
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 18
a11
a12
a1 n
a11
a12
a1 n
ai 1
ai 2
a in
a j1
a j2
a jn
a j1
a j2
a jn
ai 1
ai 2
a in
a n1
an 2
a nn
a ni
an 2
a nn
推论1 如果行列式中有两行(或两列)元素对应
相等,则该行列式的值为零.
因为如果行列式 D 中有两行(或两列)元素对应
相等的话,互换这两行(两列)元素的位置行列式不
会变,还为 D ;但另外由性质2知这两行(两列)元素
的位置互换行列式须改变符号, D 变为 D,于是必
有D0
性质3 用 k 乘以行列式的某一行(列)的各元
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 19
素,就等于用 k 乘以该行列式,即
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
ka i 1
kai 2
ai 2
ain
kain k ai 1
a n1
an 2
ann
an 2
ann
a n1
推论2 如果行列式的某一行(列)有公因子,则
公因子可以提到行列式的前面.
推论3 如果行列式中某两行(列)的元素对应成比
例,则该行列式的值必为零
推论4 如果行列式中有一行(列)元素全部为零,
则该行列式的值必为零.
事实上,当性质3中的常数 k 0 时,即得该结论.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 20
性质4 如果行列式的某一行(列)的各元素均
可以写成两个数之和,则该行列式可以写成两个
行列式之和,这两个行列式分别以这两个数为所
在行(列)对应位置的元素,其它位置的元素还是
原来的.
以三阶行列式为例,可将性质4表示为
a11
a12
a13
a1 b1
a2 b2
a31
a32
a11
a12
a13
a11
a12
a13
a3 b3 a1
a2
a3 b1
b2
b3
a32
a33
a32
a33
a33
a31
a31
例1 利用行列式的性质计算
0
(1) D1 a
a
b
0
c,
b c 0
线 性 代 数 部 分
第八章
3
1 2
(2) D2 7 1 5
4
行列式
0
3
Slide 21
0 a b
解
所以
(1)因为 D
0
b
c
c 1 a
3
0
a
b
0
c D1
b c 0
故 D1 0
2 D1 0
3 1 2
1
3
3 1 2
2
3 1 2
将该行列式
3 1 2 4 0 3 0
4 0 3
4
0 的每一行均
3
4 0 3 4 0 3
提出 1
性质5 将行列式的某一行(列)的各元素同乘以
常数 l 后加到另一行(列)对应位置的元素上去,行
列式的值不变.
(2)
(2)
T
D
1
1 a
0
D2 7 1 5 3 4 1 0 2 3
例2 计算
D
线 性 代 数 部 分
7
1
3
2
0
2
1
4
4 6
9
1
2
第八章
4
11
8
行列式
Slide 22
解
D 2
7
1
4
11
3
0
1
4
1
1
2
3
9
1
2
8
2
1
1
2
3
3
0
1
4
1
1
2
3
9
1
2
8
0
性质6 行列式 D 的某一行(列)元素与该行(列)
元素所对应的代数余子式乘积的和等于该行列式 D,
第三行同时提出 2
而与另一行(列)元素所对应的代数余子式乘积的
第二行同乘以 2 加
第一行与第三行
到第一行上去
和等于零,即
D i j
对应元素相等.
(1 i , j n)
a A a A a A
i1
j1
i2
j2
in
jn
0
习题8-2
1.利用行列式的性质计算
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
i j
Slide 23
(1)
2
3 4
7
3
1 4
5
2 0 7
1
5
(2)
1
3
3 4
3
0
9 8
2 11
2
4 8 12
9
6
5
6 7
2.利用行列式性质证明
a1 kb1
b1 c1
c1
a1
b1
c1
a2 kb2
b2 c2
c2 a 2
b2
c2 .
a3 kb3
b3 c3
c3
b3
c3
线 性 代 数 部 分
a3
第八章
行列式
(3)
1
1 2
9
0
3
4
1
0 5 6
3
2
1
8 19
Slide 24
§8.3
行列式的计算
本节利用行列式的性质,给出两种行列式的计
算方法:化三角形法和降阶展开法.
首先,介绍一下行列式计算中所使用的一些符号
(1)把第 i 行(列)与第 j 行(列)元素的位置互换
时,用符号 (( i ), ( j ))来表示;
(2)把第 i 行(列)的元素同乘以常数 k时,用符
号 k (i ) 来表示;
(3)把第 i 行(列)的元素乘以 l 后加到第 j 行
(列)上去,用符号 l ( i ) ( j ) 来表示.
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 25
注意一点:当“作行变换”时请将上述符号写
在等号上面,而“作列变换”时将其写在等号下面,
用以区分行和列的变换.
下面介绍行列式计算中常用的两种方法:化三
角形法和降阶展开法.
1.化三角形法
该种方法是利用行列式的性质将所求行列式
化为上(下)三角形行列式,然后将主对角线上的元
素相乘即得该行列式值的一种方法.一般习惯将其
化为上三角形行列式,此时要将行列式中主对角线
下方的元素全化为零(利用性质5),化时应注意化
行(A行乘以某一个数加到B行上去时,称A行为化
行,B行为被化行)左边第一个非零元素最好为1
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 26
D
2
3
3
3
0
5
2 1
3 6
4
0
1
1
4
2
解 先分析一下: 显见第一行第一列处的元
素不等于1和-1,如果直接要将其下边的元素化为
零,则必会出现分数,从而对后边的计算带来困难.
因此可先将第一列与第三列交换一下(也可以将
第二行乘以-1后加到第一行),这样一来再化就方
便的多了.
D
(( 1 ), ( 3 ))
1
3
2
3
0
5
1
0
2
4
3 1
3 6
4
线 性 代 数 部 分
2 ( 1 ) ( 2 )
1 3
3(1) ( 3 )
(1) ( 4 )
2
第八章
0
6
2
4
1 9
0 4
3
18
0 3
6
6
行列式
1 3 2
4
3 0 6 1 9
0 4 3 18
0 1 2
2
1
(4)
3
Slide 27
1 3 2
4
(( 2 ), ( 4 ))
2
3 0 1 2
0 4 3 18
0 6 1 9
1 3 2
4
2
3 0 1 2
0 0
1 23
0 0 5 10
(( 3 ), ( 4 ))
4( 2 ) ( 3 )
6( 2 )( 4 )
1 3 2 4
3 0 1 2 2
0 0 5 10
0 0 11 3
1 3 2 4
3 0 1 2 2
0 0 5 10
0 0 1 23
2( 3 )( 4 )
1 3 2 4
3 0 1 2 2 375
0 0 1 23
0 0 0 125
5( 3 )( 4 )
2.降阶展开法
在所要计算的行列式中,选择一个零元素最多
的行或列,且若非零元素多于两个或两个以上时,
非零元素应尽可能具有倍数关系或小一点的,当然
该行或列中只有一个非零元素最好(若不是可利用
行列式的性质化为仅有一个非零元素的情形),然
后再按该行(列)展开,直到求出其值为止.称这种
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 28
计算行列式的方法为降阶展开法.
1 2
3
4
按第二列展
例3 计算 D 1 0 1 2 按第二列展开
开
3 1 1 0
1
2( 3 ) (1)
解
2( 3 ) ( 4 )
D
7
2 2
5
0
4
7 1
4
2
3 2
( 1) 1 1 1
2
0
7 2 5
证明
0
a
b
a
a
0
a
b
b
a
0
a
线 性 代 数 部 分
a
b
a
0
1( 2 ) ( 1 )
2( 2 ) ( 3 )
0
a
b
a
a
b
0
a
a
0
b
b 2 (b 2
a
a
b
a
0
2a b
2a b
2a b
2a b
( 2 )(1)
( 3 )(1)
( 4 )(1)
第八章
a
0
a
b
b
a
0
a
6 0
2
1 1
2
9 0 1
2 5
0
6 2
9 1 24
例4
证
1
1 0
1
3 1 1
7
1 1
0
2
从第一列中
4提出公因子
a ).
a
b
a
0
行列式
2
1
( 2a b ) 1
1
1
a
0
a
b
b
a
0
a
a
b
a
0
Slide 29
1( 1 ) ( 2 )
1( 1 ) ( 3 )
1( 1 ) ( 4 )
1
a
( 2a b) 0 a
0
0
0 ba
( 2a b)( b)
再
按
第
二
行
展
开
b
a b
b
a b
a
ba
ba
a
a
a
b a ( 2a b) 0
0
ba
a
( 2a b )( b ) a 2 b a
( 2a b)( b)b( 2a b) b2 (b2 4a 2 )
按第一列展开
例5 解方程
解 因为
( x 6) 1
2 2
1
2
4
4
1
3
0 x 1
4
2
线 性 代 数 部 分
1
2
4
4
ab ba
b
0
ab a
5
x4
3
3
3
4
6
8 0
x 1 5
2
5
2
按
第
二
行
展
开
按
1
5
3
4
第
5
3
4
0
x
6
0
0
x4
6
8
0
0
x 1 0
3
x 1 5
二
4
3
2
5
3
2
5
行
4
展
0 ( x 6)( x 1) 1 1 4 21( x 6)( x 1)
4 5
5
开
2 ( 1 ) ( 2 )
( 4 )( 3 )
2 2
第八章
行列式
Slide 30
21( x 6)( x 1) 0
所以有
即
x 6,
x 1
习题8-3
1.计算下列行列式
(1)
1
1 1 2
1
1
0
1
2
1 0
2
1
1
2
(2)
0
1
1
1
2
2
0
1
4
0
3
2
1
1
2
1
2
1
4
2
1
1
2
4
0
1
4
1
2
1
4
2
1
(3)
2.解方程
(1)
1
1
0
0
1
x
1
0
0
0
x
2
0
0
2x
x
线 性 代 数 部 分
3
0
(2)
第八章
1
3 x2
2
4
2
4
5
0
x3
8
10
0
6
16
行列式
0
Slide 31
3.计算 n 阶行列式
(1)
a
b
0
0
0
0
a
b
0
0
(2)
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
0
0
0
a
b
b
0
0
0
a
a
4. 证明
1 x
1
1
1
1
1
1 x
1
1
1 y
1
线 性 代 数 部 分
1
1
1
1
x2 y2
1 y
第八章
行列式
a
a
a
b
Slide 32
§8.4
n
克莱姆法则
行列式的概念是由二元和三元线性方程组引
入的,现在学习了行列式的计算后,能否利用行列
式来求解一般含有 n 个方程的 n 元线性方程组便
成了我们所关心的问题了.本节给出利用行列式求
解含 n个方程的 n 元线性方程组的方法.
含 n 个方程的 n 元线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1
22 2
2n n
2
an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
其系数构成的阶行列式
D
线 性 代 数 部 分
第八章
(1.4.1)
a11
a12 a1n
a21
a22 a2 n
a
ann
a n1
n2
行列式
Slide 33
a11 a12 a1 j a1n
称为线性方程组(1.4.1)的系数行列式.
a
a 22 a 2 j a 2 n
D用代数余子式
21
A1 j
, A2
分别乘以(1.4.1)
j , , Anj
n 个方程,然后再相
a n1 a n 2 a nj 、第
a nn
式的第1个、第2个、…
加得
(1)式+(2)式+···+(n)式
(a11 A1 j a21 A2 j
an1 Anj ) x1 (a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ) x j
n
a1nax1nn A1 jbx1n b1 A1Aj 1 j
a11aA111 xj x1 1aa1212xA21 jx
2
(a1n A1 j a2 n A2 j ann Anj ) xn b1 A1 j b2 A2 j bn Anj
a aA xx aa xA xa ax A bx b AA
22
2 n 2n 2 j 2 n
21 212 j 11
22 22 j 2
2 2 j2 j
由行列式的性质6可得
AnjA
aj na1 ADnjxj x1a(ajn2xA1nj,2x,
Dx
, n
) a nn Anj x n jbn
2
nj
n 2 j 2列 jj a nn x n bn
n1 1 第
(1)
( 2)
( n)
第二列元素与第
列
第一列元素与第
j 列第
列元素与第
列
j 列的元素依次换
Da
其中
j 是把系数行列式
a12 b1 元素所对应的代数余子式
Da1的第
元素所对应的代数余子
11 元素所对应的代数余子
n
b
,
bn以后所得到的行列式.
为常数项
式乘积的和为零.
a 21 式乘积的和为零.
a 221 , b
2 ,
b2 乘积的和等于系数行列式D.
a 2n
Dj
n于是,当
列元素与第
D j
a11 a12 a1 j a1n
第
0时可得方程组(1.4.1)的解为
Dj b a
a n1 a n 2 x
列元素所对应的代数余
a,21
n (j 1
2nn
,,an22) a 2 j a 2 n
j
D
D
子式乘积的和等于零
j
是Dj
按第
列的展
另外,可验证形如上式的一组数一定是方程组
a
a
a a
开式
线 性 代 数 部 分
n1
第八章
n2
行列式
nj
nn
Slide 34
(1.4.1)的解.
综上可见,我们有
定理8.1(克莱姆Cramer法则) 如果线性方程组
(1.4.1)的系数行列式 D 0 ,则方程组(1.4.1)必
有唯一一组解,且解为:
xj
Dj
D
( j 1,2,, n)
其中 D j 是将系数行列式 D 中第 j 列元素a1 j , a2 j ,, anj
依次换为常数项 b1 , b2 ,, bn 后所得到的行列式.
例1 解线性方程组
x1 x 2 x3 2 x4 2
2x
x 3 4 x4 4
1
1
3 x1 2 x 2 x3
x1 2 x2 x3 2 x4 4
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 35
解 因为系数行列式
1 1 1 2
D 2 0 1 4 2 0
3
2 1
0
1 2 1 2
所以该方程组有惟一解
2 1 1 2
D1 4 0 1 4 2
1 2 1 0
4 2 1 2
1 2 1 2
D2 23 41 11 40 4
1 4 1 2
1 1 2 2
D3 2 0 4 4 0
3 2 1 0
1 2 4 2
1 1 1 2
D4 2 0 1 4 1
3 2 1 1
1 2 1 4
于是所给方程组的解为
x1
D1
D
1 x 2 2 2
D
D
线 性 代 数 部 分
第八章
x3
D3
0
D
行列式
x4
D4 1
D 2
Slide 36
例2 解线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
3 x x x 2 x 4
2
3
4
1
2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6
解 因系数行列式
1 1
2
3
3 1 153 0
D 1 2
3 1 1 2
2 3 1 1
所以该方程组有且有惟一一组解
1
1
2
3
3 1 153
D1 4 2
4 1 1 2
6 3 1 1
线 性 代 数 部 分
第八章
1 1
2
3
D2 1 4 3 1 153
3 4 1 2
2 6 1 1
行列式
Slide 37
1 1
1
3
D3 1 2 4 1 0
3 1 4 2
2 3 6 1
1 1
2
1
3 4 153
D4 1 2
3 1 1 4
2 3 1 6
因此由Cramer法则知其解为
D3
D1
D2
D4
x1
1 x 2
1 x 3
0 x4
1
D
D
D
D
如果线性方程组(1.4.1)的常数项全为零,则
该方程组变为
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a x a x a x 0
21 1
22 2
2n n
an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
(1.4.2)
Slide 38
称常数项全为零的线性方程组(1.4.2)式为齐次
线性方程组;当(1.4.1)式中常数项不全为零时,称方
程组(1.4.1)为非齐次线性方程组.
推论1 如果齐次线性方程组(1.4.2)的系数
行列式 D 0 ,则它必仅有唯一一组零解.
事实上,由于 b1 b2 bn 0 ,由行列式的性质
知必有 D1 D2 Dn 0 根据克莱姆法则知仅有唯
一的一组零解 x1 x2
. xn 0
推论2 如果齐次线性方程组(1.4.2)有非零
解,则其系数行列式必为零,即 D 0
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 39
事实上可证: 当系数行列式 D 0 时,(1.4.2)也
必有非零解(用后面知识可证).
例2 判断齐次线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x4
x 2x 3x x
1
2
3
4
3 x1 x 2 x 3 2 x4
2 x1 3 x 2 x 3 x4
0
0
0
0
是否只有零解.
解
因为系数行列式
1
1
D
3
2
线 性 代 数 部 分
1
2
2
1
3
1
1
153 0
2
3
1
1
第八章
3
行列式
Slide 40
所以该方程组只有零解.
例3
设齐次线性方程组
x1 x2 kx3 0
x1 kx2 x3 0
x x k2x 0
2
3
1
有非零解,求
k
的值.
解
系数行列式
1 1
k
D1 k
1
1( 1 ) ( 2 )
1( 1 ) ( 3 )
1 1 k2
1
1
0 k 1
0
0
k
1 k
k k 1
k ( k 1)
因方程组有非零解,所以 D 0 即
因此
k 0, k 1
线 性 代 数 部 分
第八章
2
行列式
k k 1 0
2
Slide 41
习题1-4
1.用克莱姆法则求解下列线性方程组
(1)
x1 2 x 2 4 x3 31
5 x1 x 2 2 x3 29
3x x x 10
2
3
1
(2)
2 x1 3 x 2 11x3 5 x 4 2
x x 5x 2 x 1
1
2
3
4
2 x1 x 2 3 x3 4 x 4 3
x1 x 2 3 x3 4 x 4 3
2.判断下列齐次方程组是否有非零解
(1)
2 x1 x 2 3 x3 2 x 4 0
x 3 x x 4 x 0
1
2
3
4
x1 4 x 2 2 x3 2 x 4 0
7 x 2 x3 6 x 4 0
(2)
x1 2 x 2 2 x3 0
3 x1 x 2 x3 0
2 x 2 x 4 x 0
1
2
3
3.设下列齐次方程组有非零解,求 ?
( 3) x1 14 x 2 2 x3 0
2 x1 ( 8) x2 x3 0
2 x 3x ( 2) x 0
1
2
3
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
Slide 42
a11x1 a12 x2 b1
a21x1 a22 x2 b2
(1)
(2)
(1) a22 得 a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 (3)
(2) a12 得 a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 (4)
(3) (4) 得 (a11a22 a12a21) x1 b1a22 b2a12
(5)
当 a11a22 a12a21 0 时得
b1a22 b2 a12
x1
a11a22 a12 a21
同理可求得
b2 a11 b1a12
x2
a11a22 a12 a21
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
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