Transcript 行列式的性质与计算

1.3 行列式的性质与计算
一
二
三
四
行列式的性质
行列式按行（列）展开
分块三角行列式的计算
行列式的计算方法
一、行列式的性质
性质6
性质1
性质5
性质2
性质4
性质3
《线性代数》精品课程
性质1
• 行列式与它的转置行列式的值相等.即
D D
T
D
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2
ann
转置
D 
T
a11
a21
an1
a12
a22
an 2
a1n
a2 n
ann
作用：凡对行成立的性质，对列也同样成立。
以后仅对行证明,对列同样成立。
《线性代数》精品课程
性质2
互换行列式的其中两行（列），行列式改变符号.
《线性代数》精品课程
性质3
a11
a12
ka21
ka22
an1
an 2
《线性代数》精品课程
行列式中某一行（列）所有元素的
公因子可以提到行列式符号的外面.
a1n
ka2 n
t ( p1 p2 pn )
(

1)
a1 p1 (ka2 p2 ) anpn  kD


ann
性质4
如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那
么行列式等于零.
a b c d
e
f
g h
0
2a 2b 2c 2d
x
y z
a
《线性代数》精品课程
性质5
如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和，
那么可以把行列式表示成两个行列式的和。
a11
a12
D  bi1  ci1 bi 2  ci 2
an1
《线性代数》精品课程
an 2
a1n
a11 a12
bin  cin  bi1
ann
bi 2
an1 an 2
a1n
a11 a12
bin  ci1
ann
a1n
ci 2
cin
an1 an 2
ann
性质6
把行列式某一行（列）的元素同乘以数k，加到
另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，
a11
a12
a1n
ai1
ai 2
ain
a11
a12
ai1  ka j1 ai 2  ka j 2
a1n
ain  ka jn

a j1 a j 2
a jn
a j1
a j2
a jn
an1 an 2
ann
an1
an 2
ann
《线性代数》精品课程
注：
（1）使用性质2，性质3，性质6计算行列式的方法称为消元法.
（2） 性质中有三个性质个是行列式等于0的充分条件。
1 2 3
2 3 4
3 5 7
0
但是，该行列式并没有一
行（列）为0、两行（列）
相同或两行（列）成比例.
（3）使用消元法可以把行列式化为三角行列式的形式，从
而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上（下）三角形法.
（注意“1”的作用：消元时不产生分数。若没有“1”，有时
可通过消元法造出“1”）
《线性代数》精品课程
例1
解
1
0
5
0
0
计算
2
0
1 1
5 1
3 4
D
.
1 5 3 3
3
1 1 2
1 0 2 1
c1  c3
3 1 5 4
D 
3 5 1 3
1 1 3 2
3 r1  r2
3 r1  r3

1r1  r4
1 0
2 1
0 1 11 1

0 5 5 0
0 1
5
1
0 2 1
1 0 2 1
1 11 1 11rr2  rr3
2 4
0 1 11 1
1 1
0  5
0 0 12 1
1 5
1
0 0
《线性代数》精品课程
16
2
1 0
4
 r3  r4
3
化三角形
法
1
 r3
5

2
1
0 1 11 1
 5 0 0
0 0
12
1
0
2
3
 40
二、行列式按行（列）展开
2行列式按行（列）展开法则
1余子式和代数余子式
《线性代数》精品课程
1、余子式和代数余子式
i j
Aij  (1) Mij
aij 的代数余子式.
《线性代数》精品课程
如 D
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
a11
a12
a14
M 23  a31
a32
a34
a41
a42
a44
，
A23  ?
2、行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应
的代数余子式乘积之和，即
D  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2 
 ain Ain (i  1, 2,
D  a1 j A1 j  a2 j A2 j 
 anj Anj ( j  1, 2, n)
行列式按第i行展开，记作
r (i )
n)
造0降阶法
行列式按第j列展开，记作 c( j )
按行（列）展开法则
化为0
消元法
《线性代数》精品课程
再展开
降阶
例2 计算
1 2 3
4
1 0 1
2
D
.
3 1 1 0
1 2 0 5
解
2 2 3 2
1c3  c1
2 c3  c4 0
0 1 0
D 
4 1 1 2
1 2 0 5
1c1  c2
1c1  c3
2 0
0
  4
3 2
1
3 6
《线性代数》精品课程
r ( 2)

r (1)
2
(1) 23 4
1
11
 2(1)
2
2
1 2
2 5
3 2
 2  (18  6)  24
3 6
定理2
行列式任意一行（列）的所有元素与另一行（列）
对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即
ai1 Aj1  ai 2 Aj 2 
 ain Ajn  0
(i  j )
a1i A1 j  a2i A2 j 
 ani Anj  0
(i  j )
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三、分块三角行列式的计算
D
a11
a12
a1n
0
0
0
a21
a22
a2 n
0
0
0
an1
an 2
ann
0
0
0
c11
c12
c1n
b11
b12
b1m
c21
c22
c2 n
b21
b22
b2 m
cm1 cm 2
cmm
bm1 bm 2
bmm

下分块三角行列式
a11
a12
a1n
b11
b12
b1m
a21
a22
a2 n b21

b22
b2 m
an1
an 2
ann bm1 bm 2
bmm
《线性代数》精品课程
对“上分块三角行列式”
同样成立！！
0
0
0
a11
a12
a1n
0
0
0
a21
a22
a2 n
0
0
0
an1
an 2
ann
b11
b12
b1m
c11
c12
c1n
b21
b22
b2 m
c21
c22
c2 n
bm1 bm 2
bmm
cm1 cm 2
cmn
 (1) mn
反上（下）分块三角行列
式
注意符号！！
a11
a12
a1n
b11
b12
b1m
a21
a22
a2 n b21

b22
b2 m
an1
an 2
ann bm1 bm 2
bmm
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四、行列式的计算方法
1.定义法。当行列式中0元素较多时，可直接按定义计算行列式。
2.化上（下）三角形法。注意“1”的作用：消元时不产生分
数．若没有“1”，有时可通过消元法造出“1”。
数字行列式
消元法
上（下）三角行列式
3.降阶法（造0降阶法）
按行（列）展开法则
化为0
再展开
降阶
消元法
4.观察法(主要观察行(列) 元素之和是否为一个定数；行
(列)间元素的差异大小, 进而利用消元法计算行列式)
5. 数学归纳法
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6.递推法
例3
a
b
b
b
b
b
D5  b
a
b
b
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
a
计算5阶行列式
n阶行列式=?
a  4b a  4b a  4b a  4b a  4b
D5 
b
b
a
b
b
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
a
1

(a  4b)
《线性代数》精品课程
1
1
0 a b
0
0
0
a b
0
0
0
0
0
0
1 1 1 1 1

1
1
0
0
0
0
a b
0
0
a b
b a b b b
(a  4b) b b a b b
b b b a b
b b b b a

(a  4b) (a  b)4
《线性代数》精品课程
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例4
计算5阶行列式
1 0 0 0 0
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
D5  2 2 3 2 2

2 2 2 4 2
2 2 2 2 5
2
0
2 2 2 2
0 1 0 0
0
0
0 0 2 0
0 0 0 3
2
0
 (1) 0
0
 2 3!
1
2
2
2
2
Dn  2
2
2
2
3
2
2  2( n  2)!
2
2
2
n
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2
1
0
0
2
0
2
0
2
0
0
3
5. 数学归纳法
例5.证明 n阶范德蒙(Vandermonde)行列式
V ( x1
x2
1
1
1
x1
x2
xn
xn )  x12
x22
xn2 
x2n 1
xnn 1
x1n 1
《线性代数》精品课程

1i  j  n
( x j  xi )
6.递推法
例6
计算阶行列式
解
《线性代数》精品课程
1
x
0
1
0
0
0
0
Dn  0
0
x
0
0
0
0
0
x
1
an
an 1
an  2
a2
x  a1
x
0