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第6章 行列式 （1）理解行列式的概念,掌握二阶行列式、三阶行 列式的计算 ； （2）了解n阶行列式的概念，掌握阶行列式的性质， 熟练掌握用性质计算n阶行列式； （3）理解克莱姆法则及其意义，会用克莱姆法则求 解三阶线性方程组 熟练掌握二、三阶行列式 的定义与计算方法(对角线法则),了 解n阶行列式的定义, 理解和熟练掌握行 列式的基本运算性质,会计算简单的n阶行列 式;理解和掌握克拉默法则（Cramer’s rule). 6.1 n阶行列式的概念 6.1.1 二阶、三阶行列式 引例1 用消元法解二元一次方程组： 2 x1 4 x2 1 3 x1 5 x2 2 (1) (2) 3 解： （1）消去 x2 .(1) 5 (2) 4 得22 x1 3,故x1 . 22 7 . （2）再消去 x1 .(1) 3 (2) 2 得 22 x2 7, 故 x2 22 引例2 用消元法解二元线性方程组 1 a11 x1 a12 x2 b1 , 2 a21 x1 a22 x2 b2 . 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 , 两式相减消去 x2，得 （a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ; 类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 , 当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为 b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 由方程组的未知 数的四个系数确 定 显然，（3）式不方便记忆.为了进一步揭示求 解公式的规律，我们引进二阶行列式的概念. （3） 一、二阶行列式 1、定义 给定 a、b、c、d 四个复数，称 a b c d ad bc 为一个二阶行列式. 为方便记 D a11 a12 a21 a22 a11a22 a12a21. 其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下 标 j 为列标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。 2、计算 对角线法则 主对角线 a11 a12 副对角线 a21 a22 a11a22 a12a21 . 例如 1 3 2 7 1 7 (2) 3 13 3、应用 对于二元线性方程组 a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . D 记 系数行列式 a11 a12 a21 a22 , a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . 代 替 a11 a12 D , a21 a22 得 到 b1 a12 D1 , b2 a22 a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . 代 替 a11 a12 D , a21 a22 得 到 a11 b1 D2 . a21 b2 若D0,则二元线性方程组的解为注 分母都为原方程组的系数行列式 b1 b2 D1 x1 a11 D a21 a12 a22 a12 a22 a11 b1 a21 b2 D2 x2 . D a11 a12 a21 a22 例1 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1. 解 D1 D 3 2 2 12 2 1 1 1 3 ( 4) 7 0, 14, D2 3 12 2 21, 1 D1 14 D2 21 x1 2, x2 3. D 7 D 7 练习： 请同学们利用二阶行列式再解例1 2 x1 4 x2 1 3 x1 5 x2 2 解 D D1 1 2 4 3 5 4 (1) (2) 10 12 22 0, 5 (8) 3, D2 2 5 D1 3 x1 , D 22 D2 7 x2 . D 22 2 1 3 2 4 3 7, 二、三阶行列式 1、定义 a11 称 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 为一个三阶行列式. 可用下面的对角线法则记忆 2、计算——对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 1 例2 2 -4 计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2 解 按对角线法则，有 D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 ) 4 6 32 4 8 24 14. 例3 求解方程 解 1 1 1 2 3 x 0. 4 9 x2 方程左端 D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12 x 2 5 x 6, 由 x 2 5 x 6 0 解得 x 2 或 x 3. 3、应用 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 的系数行列式 D a21 a22 a31 a32 a13 a23 0, a33 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 若记 a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3 b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 , b3 a32 a33 a13 a23 , a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3 a11 a12 a13 D a21 a22 b1 a12 a13 a23 D1 b2 a22 a23 , a31 a32 a33 b3 a32 a33 a11 a13 a11 a12 b1 a23 , D3 a21 a22 b1 D2 a21 b2 a31 b3 a33 a31 a32 若D0,则三元线性方程组的解为: D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D b2 . b3 例4 解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3 解 由于方程组的系数行列式 1 2 1 D 2 1 3 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0, 同理可得 2 2 1 1 2 1 D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10, 0 1 1 0 1 1 D3 2 1 1 2 2 1 1 5, 1 0 故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D D3 x3 1. D 小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算 a11 a12 a 21 a 22 a11 a12 a21 a22 a31 a32 对角线法则 a11a 22 a12a 21 . a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a 33 三阶行列式有另一种展开方法“代数余子式法”，在后面会学到 6.1.2 n 阶行列式的定义 一、概念的引入 三阶行列式 a11 a12 a13 D a 21 a 22 a 31 a 32 a 23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a 33 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． 6.1.2 n 阶行列式的定义 定义 由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 记作 D t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn . a1n a11 a12 a21 a22 a2 n a n1 an 2 ann 简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素． (detetminant) 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据实际的 需要而定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆; * 行列式的另一种计算方法（代数余子式法）及特 的行列式的计算 一、余子式与代数余子式 a11 a12 a13 例如 a21 a22 a31 a32 a23 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31 a11 a22 a23 a32 a33 a12 a21 a23 a31 a33 a11 A11 a12 A12 a13 A13 . a13 a21 a22 a31 a32 在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij . i j 记 Aij 1 M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式． 例如 D a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a41 a42 a43 a44 A23 1 2 3 M 23 M 23 . a11 a12 a14 M 23 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 二、行列式按行(列)展开 定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2,, n), 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2,, n). 例如 D a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44 a31 A31 a32 A32 a33 A33 0 0 a33 A33 1 3 3 a11 a12 a14 a 33 a 21 a 22 a 24 . a 41 a 42 a 44 例5 D a33 A33 1 (1) 13 1 (1) 5 1 1 1 5 1 1 1 11 1 3 1 11 1 3 1 0 0 1 0 0 0 1 0 5 5 3 0 5 5 3 0 3 3 5 1 1 11 1 5 5 11 1 5 5 1 1 1 11 1 1 0 5 5 0 (1) (1) 2 3 5 5 1 5 5 40. 2 x1 3x2 x3＝7 例6 解方程组 x1 x2－x3＝－4 3x ＋x 2 x ＝1 1 2 3 解 方程组的系数行列式为 －2 3 D 1 1 －3 1 1 －1 －2 2 1 －1 1 1 －（－3） 2 －3 －1 2 1 1 －3 1 5 0 所以方程组的解为： x1 7 3 1 2 7 －4 1 －1 1 4 1 1 1 2 3 1 5 1 x2 5 1 2 2 x3 2 3 7 1 1 4 3 1 1 5 3 例7 将下列行列式按第一行、第三列展开计算，并比较 结果是否相等. 2 3 1 D 1 4 1 5 2 3 解：（1）按第一行展开，得 1 1 4 11 4 1 2 1 1 3 1 D 2 (1) 3 (1) (1) (1) 2 3 5 3 5 2 ＝ 32 （2）按第三列展开，得 1 3 D (1) (1) = 32 1 4 5 2 1 (1) 23 2 3 5 2 3 (1) 3 3 2 3 1 4 例8 计算行列式 D4 3 0 0 0 4 0 0 2 6 5 7 0 3 4 2 1 解: 将行列式按第一行展开,得 0 11 D4 3 (1) 5 0 7 2 13 0 3 2 (1) 4 2 1 5 7 4 2 228 例9 解 计算对角行列式 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 行列式按第一行展开，得 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 0 0 2 1 (1)1 4 0 3 0 4 0 0 1 3 2 (1) 0 3 4 0 24 6.1.3 特殊行列式的值 一、对角行列式 1 2 12 n ; n 说明：由代数余子式展开法，一步步降低阶数即可得到 结果 二、 三角行列式 1、上三角行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann a11a22 ann . 1 2 3 4 例10 D 0 4 2 1 0 0 5 6 ? 0 0 0 8 1 2 3 4 D 0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8 a11a 22 a 33 a 44 1 4 5 8 160. 2、下三角行列式 a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an 2 a n 3 a nn a11a22 ann . 作 P136 业 1, (1)(2)(3)