Transcript (-1) : -1 -3 -4 + 1 1 2 2 4 6

Suatu Matriks
DETERMINAN
SUATU MATRIKS
(hasil penjumlahan dari penggandaan suatu
unsur yang tidak sebaris maupun tidak selajur)
Algoritma (silang)
|D| =
Minor & kofaktor
Penyapuan
(transformasi dasar)
Algoritma (silang)
[Hanya berlaku pada matriks berdimensi 2 & 3]
A2 =
a11 a12
a21 a22
|A| =
-
a11
a12
a21
a22
= + a11a22 - a12a21
+
A3 =
Alterlatif 1
+
a11 a12
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
–
| A | = + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21)
- (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a32a23)
A3 =
Alterlatif 2
a11 a12
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
| A | = + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
- (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32)
A3 =
Alterlatif 3
a11 a12
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
| A | = + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
- (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32)
CL D01-
SL D01
(algoritma)
1. Tentukan determinan matriks (2 x 2) berikut :
A=
B = -1
1
1 2
5 -1
1
-1
JCL D01-1 : (algoritma)
A = 1 2
(2 x 2)
5 -1
| A | = (1)(-1) – (2)(5)
= (-1) – (10)
= -11
B = -1
(2 x 2) -1
1
-1
| B | = (-1)(- 1) – (1)(-1)
= (+1) – (-1)
= 2
2. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut :
C=
1 2
5 -1
11 4
-1
-2
-5
D=
2
-1
1
-1 1
-1 1
1 -1
JCL D01-2 :
C =
(3 x 3)
2
1
4
3
1
-1
(algoritma)
4
1
0
| C | = {(2)(1)(0) + (3)(1)(4) + (4)(-1)(1)}
- {(4)(1)(4) + (3)(1)(0) + (2)(-1)(1)}
= {(0) + (12) + (-4)}
- {(16) + (0) + (-2)}
= { 8 } - { 14 } = -6
D =
(3 x 3)
2
-1
1
-1 1
-1 1
1 -1
| D | = {(2)(-1)(-1) + (-1)(1)(1) + (1)(1)(-1)}
- {(1)(-1)(1) + (-1)(-1)(-1) + (2)(1)(1)}
= {(2) + (-1) + (-1)}
- {(-1) + (-1) + (2)}
= {0}-{0} = 0
Minor & kofaktor
M4 =
m11
m12
m13
m14
m21 m22
m23 m24
m31 m32
m33 m34
m41 m42
m43 m44
Tentukan : * Minor untuk matriknya
* Kofaktor dari matriksnya
Misal dari kotak-silang di atas/sebelumnya :
Minor dari m22 yaitu M22 =
Kofaktornya yaitu f22 = (-1)2+2 M22
Untuk menentukan determinannya
“pilih 1 baris atau 1 lajur”
Misal dipilih baris ke dua :
|M| = m21.f21 + m22.f22 + m23.f23 + m24.f24
CL D02-
SL D02
(minor-kofaktor)
1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut :
M=
1 2
5 -1
11 4
-1
-2
-5
JCL D02-1 : (minor-kofaktor)
M =
(3 x 3)
1 2
5 -1
11 4
-1
-2
-5
|M| = m31.f31 + m32.f32 + m33.f33
f31 = (-1)3+1
2 -1 = -5
-1 -2
f32 = (-1)3+2
1 -1 = -3
5 -2
f33 = (-1)3+3 1 2
5 -1
|M| = (11)(-5) + (4)(-3) + (-5)(-11)
= (-55) + (-12) + (55)
= -12
2. Tentukan determinan matriks (4 x 4) berikut :
M=
2
-1
1
3
-1 1
-1 1
1 -1
2 1
3
2
1
0
= -11
JCL D02-2 :
M = 2 -1 1 3
(4 x 4) -1 -1 1 2
1 1 -1 1
3 2 1 0
(minor-kofaktor)
|M| = m21.f21 + m22.f22 + m23.f23 + m24.f24
f21 = (-1)2+1 -1 1
1 -1
2 1
3 = -12 f22 = (-1)2+2 2 1
1
1 -1
0
3 1
f23 = (-1)2+3 2
1
3
3 = 10 f24 = (-1)2+4 2
1
1
0
3
-1
1
2
|M| = (-1)(-12) + (-1)(13) + (1)(10) + (2)(9)
= (12) + (-13) + (10) + (18) = 27
3 = 13
1
0
-1 1 = 9
1 -1
2 1
Penyapuan
(transformasi dasar)
A
BARIS
0
B
M
|M|
TDasar
L
A
J
U
R
A
0
B
Masih ingat Transformasi Dasar ?
baris
Pengolahan
pertukaran letak
penjumlahan
(thd st matriks)
lajur
penggandaan
x =
2
2
1
2
1
3
4
3
2
4
6
2
• Pertukaran letak
A
E1.2
1
3
4
2
1
2
2
4
6
A
F1.2
1
2
2
3
1
4
4
2
6
• Penjumlahan
A
E3.2(1)
2
1
2
1
3
4
Brs 3 : 2
Brs 2 x 1 : 1
3
7 10
3
4
3
6
4
7
10
• Tambah
Ljr 3
A
F3.2(1)
Ljr 2 x 1
2
1
3
2
1
3
1
3
7
4
3
7
2
4 10
6
4
10
+
+
A
E3.2(-1)
2
1
1
3
2
4
1
1
2
Brs 3 :
2
4
6
Brs 2 x (-1) : -1
-3
-4
1
1
2
• Kurang
Ljr 3
2
A
F3.2(-1) 1
1
1
3
1
2
4
2
Ljr 2 x (-1)
2
-1
1
4
-3
1
6
-4
2
+
+
• Penggandaan
• Kali
A
E3(2)
2
1
4
1
3
8
8 12
2
4 12
2
1
2
2
1
1
1
3
4
1
3
2
1
2
3
2
4
3
2
1
2
1
3
4
4
A
F3(2)
• Bagi
A
E3(1/2)
A
F3(1/2)
CL D03-
SL D03
(penyapuan)
1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut :
M3 = 2 3 4
1 1 1
4 1 0
dengan :
a. Pengolahan baris dengan segitiga atas
b. Pengolahan baris dengan segitiga bawah
c. Pengolahan lajur dengan segitiga atas
d. Pengolahan lajur dengan segitiga bawah
JCL D03-1A :
(penyapuan baris)
Pengolahan baris
dengan
atas
2 3
1 1
4 1
E1.2(-1)
4
1
0
E1.2(-2)
E3.2(-4)
-1 0 1
1 1 1
0 0 2
M3 =
0 1 2
1 1 1
0 -3 -4
E2.1(1)
2 3 4
1 1 1
4 1 0
E3.1(3)
-1 0 1
0 1 2
0 0 2
Det. M = (-1)(1)(2) = -2
0 1 2
1 1 1
0 0 2
Pengolahan baris dengan
2 3 4
1 1 1
4 1 0
E1.3(4)
E1.3(-3)
2 0 0
1 1 1
4 1 0
-10 0 4
1 1 1
4 1 0
E3.2(-1)
bawah
E1.2(-4)
2 0 0
1 1 1
3 1 -1
Det. M = (2)(1)(-1) = -2
E2.3(1)
-14 -4 0
1 1 1
4 1 0
2 0 0
4 1 0
3 0 -1
JCL D03-1B :
(penyapuan lajur)
Pengolahan lajur dengan
2
1
4
3
1
1
4
1
0
F1.2(-1)
F3.2(-1)
-2 4 1
0 1 0
4 0 -1
2 3 1
1 1 0
4 1 -1
F1.3(4)
atas
F2.3(1)
2 4 1
0 1 0
0 0 -1
Det. M = (2)(1)(-1) = -2
2 4 1
1 1 0
4 0 -1
Pengolahan lajur dengan
2
1
4
3
1
1
F2.3(-3)
4
1
0
F3.2(-1)
-1 0 1
0 1 0
3 4 -1
2
1
4
3 1
1 0
1 -1
F3.1(1)
bawah
F1.2(-1)
-1
0
3
Det. M = (-1)(1)(2) = -2
0
1
4
-1 3 1
0 1 0
3 1 -1
0
0
2
2. Tentukan determinan matriks (4 x 4) berikut :
M =
JCL D03-2 :
(penyapuan)
2
-1
1
3
M =
-1 1
-1 1
1 -1
2 1
2
-1
1
3
3
2
1
0
-1 1
-1 1
1 -1
2 1
3
2
1
0
2
-1
1
3
-1 1
-1 1
1 -1
2 1
E2.4
2
2
1
0
3
2
1
0
E2.3(1)
E4.3(-1)
-1 1 3
1 2 -1
1 -1 1
0 0 3
2
0
1
2
E2.3(-2)
-1 1 3
0 0 3
1 -1 1
1 2 -1
2
0
1
0
-1 1 3
-1 4 -3
1 -1 1
0 0 3
2
0
1
0
-1 1 3
-1 4 -3
1 -1 1
0 0 3
E1.2(-3)
0
0
1
0
E1.3(-2)
0 -9 10
-1 4 -3
1 -1 1
0 0 3
0
0
1
0
E1.3
| M | = (1)(-1)(-9)(3)
= 27
-3
-1
1
0
1
0
0
0
3 1
4 -3
-1 1
0 3
1 -1 1
-1 4 -3
0 -9 10
0 0 3
KASUS
Data yang akan ditentukan determinannya berukuran (dimensi) besar sehingga sangat menyulitkan dalam pelaksanaannya
Upaya untuk mengatasinya dengan cara :
a. menyekat matriks tsb menjadi 4 anak-matriks
b. salah satu anak-matriksnya dijadikan matriks
nol
Kasus ini terutama dilakukan bila terdapat
unsur-unsur yang merupakan matriks nol
m11
m21
m31
m41
m12
m22
m32
m42
m13 m14
m23 m24
m33 m34
m43 m44
m51 m52 m53
dimana :
* M11 dan M22 masing2 berupa matriks segi
m15
m25
m35
m45
m54 m55
* M12 atau M21 merupakan matriks nol
M2 = (mij)b
=
M11
0
M21
M22
| M | = |M11| |M22|
Olah matriks tsb menjadi matriks segitiga atas
atau matriks segitiga bawah
m11 m12 m13 m14
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
0
m31 m32 m33 m34
0
0
m33
m34
m41 m42 m43 m44
0
0
0
m44
M
M2 =
m22 m23 m24
M
M11
M12
0
M22
atas
| M | = |M11| |M22|
= (m11)(m22).(m33)(m44)
CL D04-
SL D04
(matriks sekatan)
1. Tentukan determinan matriks berikut dengan membentuk
matriks sekatan :
M = 2 -1 1 3
-1 -1 1 2
1 1 -1 1
3 2 1 0
JCL D04-1 :
M =
2 -1 1
-1 -1 1
1 1 -1
3 2 1
3
2
1
0
2
-1
1
3
E1.3(1)
E4.3(-1)
-1 1
-1 1
1 -1
2 1
3
0
1
1
3
2
1
0
E2.3(1)
E4.3(-1)
0 0 4
0 0 3
1 -1 1
0 3 -2
2
0
1
2
E1.4(-3)
-1 1 3
0 0 3
1 -1 1
1 2 -1
0
0
1
1
0 -9 10
0 0 3
1 -1 1
0 3 -2
0
0
1
1
0 -9 10
0 0 3
1 -1 1
0 3 -2
| M | = |M12| |M21|
= {(-27)-(0)}  {(0)-(1)}
= -27  -1
= 27
atau
E1.3
E2.4
1
1
0
0
1 -1 1
0 3 -2
0 -9 10
0 0 3
| M | = |M11| |M22|
= {(0)-(1) } {(-27)-(0)}
= -1  -27
= 27