ALJABAR MATRIKS

pertemuan 2 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

Sistem Persamaan Linear.

Misalkan kita mempunyai persamaan linear sebagai berikut : 2x + 3y = 7 3x – 2y = 4 Maka penyelesaian nya dilakukan dengan

mengubah

persamaan diatas ke dalam bentuk

Matriks

, yaitu :   2 3  3 2 7 4   Bentuk matriks ini dinamakan

Matriks Lengkap

dengan    2 3 3  2    disebut sebagai

matriks koefisien

Invers Matriks.

      Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan

INVERS

dari matriks tersebut.

Matriks bujur sangkar yang

tidak punya invers

disebut matriks singular Matriks yang

nilai determinannya 0

tidak mempunyai invers Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A] -1 Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan

[A] [B] = [I] = [B] [A]

, dimana : [B] adalah invers dari matriks [A] [I] adalah matriks identitas Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.

Invers Matriks Adjoint.

Pandang matriks A = aij. Kita sebut

kofaktor

dari elemen aij sebagai Aij, maka transpose dari matriks (Aij) disebut matriks Adjoin A.

A

 1 

adjA

det

A

Contoh : 2

A

   0 1 3  4  1  4 2 5  

A

 1     18 2 4  11 14 5  46  10  4  8   9 / 32      1 2 / 32 / 32 11 / 46  7 / 32 5 / 46 5 / 32 2 4 / / 32 32  

Latihan

Tentukan determinan dan invers dari matriks berikut (gunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan:

A

   2 1 3 2   1

B

   2 3  2 1 2  1 1 2  

Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).

*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*

Contoh : x – 2y + z = 5 -2x + y + 3z = 3 3x + y – z = 0 Metode penyelesaian : 1.

Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol 2.

3.

Mempertukarkan tempat 2 baris Menambahi suatu baris dengan konstanta kali baris lain Note :

Operasi pengerjaan baris elementer tidak diwajibkan menggunakan step pengerjaan yang sama

Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).

*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*

Metode Gauss :

Dalam pengerjaan OBE nanti diteruskan dengan substitusi mundur

Metode Gauss – Jordan :

Dalam pengerjaan OBE diharuskan menyelesaikan OBE sampai terbentuk bagian matriks persegi berbentuk matriks identitas

Latihan

Tentukan invers dari persamaan berikut menggunakan OBE:

1. 2x + 3y – 5z = 7 x + 2y – 3z = 4 3x – 3y + z = 4 2. x + 2y – 3z + 4u = 8 2x – 4y + 3z – u = 1 x – 3y + 2z + 2u = 1 3x + y – z + 3u = 16

Matriks Eselon.

Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi tiga sifat berikut :

1. Pada baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol yang terletak paling kiri adalah 1 2. Untuk baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol terkiri baris yang posisinya lebih kebawah juga berposisi lebih ke kanan 3. Dibawah baris nol , tak ada baris yang memuat unsur tak nol

* unsur 1 yang terletak paling kiri pada suatu baris matriks eselon disebut unsur 1 utama baris itu Contoh :

A

    1 0 0 0 2 0 0 0  1 1 0 0 0 1 1   0

Matriks Eselon Tereduksi.

Matriks Eselon Terduksi adalah matriks eselon yang memenuhi sifat berikut :

Pada kolom yang memuat unsur 1 utama dari suatu baris , tak ada unsur tak nol diatas unsur 1 utama itu.

* Matriks eselon tereduksi adalah matriks eselon dan matriks yang bukan matriks eselon , pastilah bukan matriks eselon tereduksi Contoh :

A

    1 0 0 0 2 0 0 0  1 1 0 0 0 1 1   0 Matriks diatas bukan matriks eselon tereduksi

Latihan

Tentukan apakah matriks berikut termasuk dalam matriks eselon atau matriks eselon tereduksi

A

     1 0   0 0 3 0 0 0 2 1 1 0 0 2 0 0 5 0 5 1      

B

       1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0  7 2 0 0 0 0 0 1 0 0 9 3 2 0 0      

C

    1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 5 2 0 0 1 9 1 0 0 0 0   1

Quiz

1. Hitunglah a jika setelah penambahan baris kedua dengan -2 kali baris pertama dilanjutkan menambah baris ketiga dengan 1/3 kali baris kedua matriks 1   2 1 2 1

a

1 1  1 1  

menjadi

  0 1  2 0 3 1  0 3   2. Lakukan eliminasi gauss – jordan untuk mencari persamaan berikut ini 3x + y - 2z = 7 5x – 2y – 3z = 4 2x + 2y + 3z = 3

Quiz

3. Carilah nilai p yang menyebabkan matriks berikut tak punya invers    1 2 1 2 0  1 1  3  1 2 1

p

1 0 2  2  