Transcript aljabar matriks pert 9

ALJABAR MATRIKS
pertemuan 9
Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom
Ruang Nol (Kernel)
Definisi : Misalkan L : V→W adalah transformasi linier. Ruang Nol (Kernel) dari L , dilambangkan dengan
ker(L) , didefinisikan oleh ker(L) = v  V | L ( v )  0 w 
Jangkauan (Image)
Definisi : Misalkan L : V→W adalah transformasi linier dan misalkan S adalah ruang bagian dari V.
Jangkauan (range) dari S , dilambangkan dengan L(S) , didefinisikan oleh L(S) = w  W | w  L ( v ) untuk
semua v є S
Jsngkauan dari keseluruhan ruang vektor L(V) disebut peta(range) dari L
Contoh :
L(S) = {S((x,y,x)’) = (2x-y , y+z)’ | x,y,z ϵ R}
Ker(L) = { (x,y,x)’ = ( 2x-y = 0 , y+z) = 0 |x,y,z ϵ R}
Teorema
Jika L : V→W adalah suatu transformasi linier dan S adalah ruang bagian dari V , maka
1. ker(L) adalah ruang bagian dari V
2. L(S) adalah ruang bagian dari W
Bukti :
Untuk membuktikan (1) kita harus memperlihatkan bahwa ker(L) tertutup dibawah perkalian skalar dan
penjumlahan vektor. Jika v ϵ ker(L) dan α suatu skalar , maka L(αv) = αL(v) = α0w = 0w
Oleh karena itu , αv ϵ ker(L)
Jika v1,v2 ϵ ker(L) maka
L(v1+v2) = L(v1)+L(v2) = 0w + 0w = 0w
Oleh karena itu , v1 + v2 ϵ ker(L) sehingga ker(L) adalah suatu ruang bagian dari V
Lanjutan Bukti :
Bukti dari (2) adalah serupa . Jika w ϵ L(S) , maka w = L(v) untuk suatu v ϵ S. untuk skalar α sembarang.
αw = αL(v) = L(αv)
Karena αv ϵ S, maka αw ϵ L(S) sehingga L(S) tertutup dibawah perkalian skalar.
Jika w1, w2 ϵ L(S) maka terdapat v1,v2 ϵ S sehingga L(v1) = w1 dan L(v2) = w2.
Jadi , w1 + w2 = L(v1) + L(v2) = L(v1+v2)
Sehingga L(S) tertutup dibawah penjumlahan.
Adakalanya kernel dari suatu pemetaan linier disebut null space dan dimensi dari kernel dinamakan nullity
dari pemetaan linier, sedangkan dimensi dari image suatu pemetaan linier dinamakan rank dari pemetaan
linier.
Sehingga didapat dim(U) = nullity(α) + rank(α).
Contoh :
Misalkan pemetaan linier α : R3 -> R2 dengan ( ( x,y,z )’) = (x + z; 2x - y + z)’ untuk setiap (x,y,z)’ ϵ R3.
Kernel dari α adalah penyelesaian dari persamaan vektor α((x, y, z)’) = (x+z; 2x - y +z)’ = (0 , 0)’ atau
penyelesaian persamaan homogen
1

2
x
1    0 
 y    
 1 1     0 
z
0
yang mempunyai penyelesaian x = x , y = x , z = -x , x ϵ R. Jadi ker(α) = {x(1,1,-1)’ | x ϵ R} = {(1,1,-1)’} .
Terlihat bahwa nullity(α) = 1.
Sedangkan
L(α)
= {(x + z; 2x - y + z)’ | x , y , z ϵ R}
= {x(1 ,2)’ + y(0, 1)’ + z(1, 1)’ | x,y, z ϵ R}
= {(1, 2)’ , (0, 1)’ , (1,1)’} = {(1, 2)’ + (1,1)’ , 2(1, 2)’ - (0 , 1)’ + (1 , 1)’ }
= {(2,3)’ , (3, 4)’}.
Terlihat bahwa rank(α) = 2. Sehingga didapat dim(R3) = nullity(α) + rank(α) = 1 + 2 = 3.
Keserupaan(1)
Misalkan L adalah transformasi linier yang memetakan R2 kedalam dirinya sendiri yg didefinisikan oleh
L(x) = (2x1 , x1+x2)T
Karena L(e1) = (2,1)T dan L(e2) = (0,1)T
Maka lambang matriks dari L relatif terhadap [e1,e2] adalah
2
A  
1
0

1 
Jika kita menggunakan basis yang berbeda untuk R2 , lambang matriks dari L akan berubah.
Sebagai contoh jika kita menggunakan u1 = (1,1)T dan u2 = (-1,1)T untuk sebuah basis , maka untuk menentukan lambang
matriks dari L relatif terhadap [u1,u2] kita harus menentukan L(u1),L(u2) dan menuliskan vektor ini sebagai kombinasi linier
dari u1 dan u2.
Kita dapat menggunakan matriks A untuk menentukan L(u1) , L(u2)
L(u1) = A(u1) =  2 0   1   2 
L(u2) = A(u2) =

1
2

1
    
1   1   2 
0   1    2 



1   1   0 
Untuk mengubah vektor – vektor ini dalam u1 dan u2 , kita menggunakan matriks transisi untuk mengubah baris terurut
[e1,e2] menjadi [u1,u2].
Berikut kita hitung matriks transisi dari [u1,u2] menjadi [e1,e2] secara sederhana dapat dilihat dibahwa ini :
1
U  u1, u 2   
1
 1

1 
Maka matriks transisi dari [u1,u2] menjadi [e1,e2].adalah
U
1
 1

 2
 1

 2
1

2
1

2
Keserupaan(2)
Untuk menentukan koordinat – koordinat dari L(u1) , L(u2) relatif terhadap [u1,u2] , kita kalikan vektor – vektor ini dengan
U-1
 1

1
1
U L ( u 1)  U Au 1   2
 1

 2
Jadi ,
1

2   2    2 
1   2   0 

2
 1

1
1
U L ( u 2 )  U Au 2   2
 1

 2
1

2    2     1 
1   0   1 

2
L(u1) = 2u1 + 0u2
L(u2) = -u1 + u2
Sehingga lambang matriks dari L relatif terhadap [u1,u2] adalah
Bagaimana hubungan antara A dan B?
Perhatikan bahwa kolom – kolom B adalah
Maka B  (U
1
Au 1, U
1
Au 2 )  U
1
2
   U
0
1
Au 1
A ( u1, u 2 )  U
1
dan
 1

1 
2
B  
0
  1

  U
 1 
1
Au 2
AU
Jadi jika
1. B adalah lambang matriks dari L relatif terhadap [u1,u2]
2. A adalah lambang matriks dari L relatif terhadap [e1,e2]
3. U adalah matriks transisi untuk perubahan basis dari [u1,u2] ke [e1,e2]
maka B  U
1
AU adalah fungsi matriks yang bisa digunakan untuk mencari B jika B adalah serupa dengan A
Keserupaan(3)
Jadi makna dari keserupaan dapat dilihat dari gambar berikut ini :
Definisi :
Misalkan A dan B adalah matriks – matriks n x n , B dikatakan serupa (similar) dengan A jika terdapat matriks taksingular S
sehingga B = S-1AS.
Keserupaan(4)
Contoh :
Misalkan D adalah operator diferensial pada P3 . Carilah matriks B yang melambangkan D relatif terhadap [1,x,x2] dan
matriks A yang melambangkan D relatif terhadap [1,2x,4x2 - 2]
Jawab :
D(1) = 0 . 1 + 0 . x + 0 . x2
D(x) = 1 . 1 + 0 . x + 0 . x2
D(x2) = 0 . 1 + 2 . x + 0 . x2
Maka matriks B =
0

0
0

1
0
0
0

2
0 
Dengan menerapkan D pada 1 , 2x , dan 4x2 – 2 maka kita peroleh :
D(1) = 0 . 1 + 0 . 2x + 0 . (4x2-2)
0 2 0
D(2x) = 2 . 1 + 0 . 2x + 0 . (4x2 -2)
Maka matriks A =  0 0 4 
D(4x2-2) = 0 . 1 + 4 . 2x + 0 . (4x2-2)
0 0 0


Matriks transisi S yang berhubungan dengan perubahan basis dari [1,2x,4x2 - 2] ke [1,x,x2] dan inversnya diberikan oleh
1

S  0
0

0
2
0
 2

0 
4 
dan
S
1

1

 0


0

0
1
2
0
1

2
0

1

4
Dengan data yang didapatkan diatas boleh anda buktikan apakah A = S-1BS.
Tugas
1. Joint dalam kelompok (3 orang)
– kelompok ditentukan oleh dosen
2. Buatlah soal (Boleh Goggling) mengenai pertemuan hari ini lengkap dengan solusi dalam
menjawab soal tersebut (WAJIB 2 soal!!)
3. Syarat penilaian :
1. Tepat 2 soal (10 point)
2. Solusi + Jawaban dari soal diatas (40 point)
– nilai maximum untuk solusi & jawaban yg benar
3. Tidak ada kerjasama antar kelompok (10 point)
4. Tingkat kerumitan soal tinggi (40 point)