Transcript TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM DISKRIT

TRANSFORMASI VARIABEL
RANDOM DISKRIT
• Metode lain untuk menentukan distribusi dari fungsi
1 atau lebih variabel random disebut teknik
perubahan variabel.
Untuk variabel random diskrit , 1 variabel
acak:
Misalkan X variabel acak dengan pdf f(x) , A  x | f ( x)  0
Didefinisikan variabel acak baru Y=u(X), akan
ditentukan pdf dari Y.
Langkah-langkah :
Buat transformasi y = u(x) yang memetakan
setiap anggota A ke B. Jika transformasinya
1-1 dari A ke B, maka ada transformasi invers
dari B ke A (dalam hal ini inversnya x = w(y)).
Berarti, kejadian Y= y atau u(X) = y terjadi jika dan hanya jika
kejadian X=w(y) terjadi.
Jadi,
 f (w( y)), y  B
g ( y)  Pr(Y  y)  Pr(X  w( y))  
0, yang lainnya
  xe
Contoh:

, x  0,1,2,...
f
(
x
)


Misalkan X mempunyai pdf
x!
 0, x yang lainnya
Tentukan distribusi dari Y = 4X.
A  x | x  0,1,2,...
• Misalkan y = 4x, transformasi dari x ke y yang
memetakan dari A ke B  y | y  0,4,8,...
• Pemetaan dari A ke B adalah satu-satu,
berarti jika y = 4x maka x = ¼ y adalah invers
dari y = 4x.
• Jadi
• Jadi,
 4y  
  e , y  0,4,8,..
1

g ( y )  P r(Y  y )  P r(4 X  y )  P r(X  y )    y !
.


4
 4
 0, y yang lain

• Untuk variabel random diskrit, 2 variabel
acak
Misalkan f(x1,x2) adalah pdf bersama dari X1 dan X2,
dengan A={(x1,x2)|f(x1,x2)>0}.
Didefinisikan variabel acak baru Y1  u1 ( X1, X 2 ) ,Y2  u2 ( X1, X 2 )
Akan ditentukan pdf dari Y1 dan Y2
• Langkah-langkah
Misalkan y1  u1 ( x1 , x2 ), y2  u2 ( x1 , x2 )menyatakan
transformasi satu-satu yang memetakan A ke B . Maka
transformasi inversnya adalah x1  w1 ( y1 , y2 ) , x2  w2 ( y1, y2 )
yang memetakan  y1, y2  B ke A.
Jadi, pdf bersama dari Y1 dan Y2 adalah :
g ( y1 , y2 )  f (w1 ( y1 , y2 ), w2 ( y1 , y 2 )),( y1 , y2 )  B
dan nol untuk yang lainnya.
Pdf marjinal dari Y1 adalah : g1 ( y1 )   g ( y1, y2 )
y2
Contoh:
Misalkan X 1 dan X 2 variabel-variabel random yang saling
bebas yang masing-masing mempunyai distribusi Poisson
dengan mean 1 dan 2 , maka pdf bersama dari X 1 dan X 2
adalah :
 1x1 2 x2 e 1 2

, x1  0,1,2,3..., x2  0,1,2,...
f ( x1 , x2 )  
x1! x2!

0, yang lainnya

Misalkan
Y1  X 1  X 2 , akan ditentukan distribusi dari Y1
• Akan ditentukan pdf dari Y1 dengan menggunakan teknik
transformasi variabel. Dalam hal ini perlu didefinisikan
variabel random Y2 supaya transformasinya satu-satu.
• Y2 didefiniskan sebagai fungsi dari X1 dan X2 yang sederhana,
misalkan Y2  X 2 .
• Jadi transformasinya : y1  x1  x2 , y2  x2 yang merupakan
transformasi 1-1 dari A  x1, x2  : x1  0,1,2,3,...,x2  0,1,2,3,...
ke B   y1 , y2  : y1  0,1,2,3,..., y2  0,1,2,..., y1
Transformasi inversnya : x1  y1  y2 , x2  y2
 1 y1  y2  2 y2 e  1  2

,  y1 , y2   B
g ( y1 , y2 )    y1  y2 ! y2!

0, yang lainnya

• Pdf dari Y1 :
• Jadi,
y1
g1 ( y1 )   g ( y1 , y2 ) 
y2 0
e
 1   2
y1
y1 !
y1  y2
y2



1
2
y1! y2 0  y1  y2 ! y2!
 1  2 y1 e 1  2 

,

y1  0,1,2,...
y1!
 0, yang lainnya

• Jadi Y1 berdistribusi Poisson dengan mean 1   2
• Teknik ini berlaku juga untuk 3 variabel random atau lebih.