TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM DISKRIT
Download
Report
Transcript TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM DISKRIT
TRANSFORMASI VARIABEL
RANDOM DISKRIT
• Metode lain untuk menentukan distribusi dari fungsi
1 atau lebih variabel random disebut teknik
perubahan variabel.
Untuk variabel random diskrit , 1 variabel
acak:
Misalkan X variabel acak dengan pdf f(x) , A x | f ( x) 0
Didefinisikan variabel acak baru Y=u(X), akan
ditentukan pdf dari Y.
Langkah-langkah :
Buat transformasi y = u(x) yang memetakan
setiap anggota A ke B. Jika transformasinya
1-1 dari A ke B, maka ada transformasi invers
dari B ke A (dalam hal ini inversnya x = w(y)).
Berarti, kejadian Y= y atau u(X) = y terjadi jika dan hanya jika
kejadian X=w(y) terjadi.
Jadi,
f (w( y)), y B
g ( y) Pr(Y y) Pr(X w( y))
0, yang lainnya
xe
Contoh:
, x 0,1,2,...
f
(
x
)
Misalkan X mempunyai pdf
x!
0, x yang lainnya
Tentukan distribusi dari Y = 4X.
A x | x 0,1,2,...
• Misalkan y = 4x, transformasi dari x ke y yang
memetakan dari A ke B y | y 0,4,8,...
• Pemetaan dari A ke B adalah satu-satu,
berarti jika y = 4x maka x = ¼ y adalah invers
dari y = 4x.
• Jadi
• Jadi,
4y
e , y 0,4,8,..
1
g ( y ) P r(Y y ) P r(4 X y ) P r(X y ) y !
.
4
4
0, y yang lain
• Untuk variabel random diskrit, 2 variabel
acak
Misalkan f(x1,x2) adalah pdf bersama dari X1 dan X2,
dengan A={(x1,x2)|f(x1,x2)>0}.
Didefinisikan variabel acak baru Y1 u1 ( X1, X 2 ) ,Y2 u2 ( X1, X 2 )
Akan ditentukan pdf dari Y1 dan Y2
• Langkah-langkah
Misalkan y1 u1 ( x1 , x2 ), y2 u2 ( x1 , x2 )menyatakan
transformasi satu-satu yang memetakan A ke B . Maka
transformasi inversnya adalah x1 w1 ( y1 , y2 ) , x2 w2 ( y1, y2 )
yang memetakan y1, y2 B ke A.
Jadi, pdf bersama dari Y1 dan Y2 adalah :
g ( y1 , y2 ) f (w1 ( y1 , y2 ), w2 ( y1 , y 2 )),( y1 , y2 ) B
dan nol untuk yang lainnya.
Pdf marjinal dari Y1 adalah : g1 ( y1 ) g ( y1, y2 )
y2
Contoh:
Misalkan X 1 dan X 2 variabel-variabel random yang saling
bebas yang masing-masing mempunyai distribusi Poisson
dengan mean 1 dan 2 , maka pdf bersama dari X 1 dan X 2
adalah :
1x1 2 x2 e 1 2
, x1 0,1,2,3..., x2 0,1,2,...
f ( x1 , x2 )
x1! x2!
0, yang lainnya
Misalkan
Y1 X 1 X 2 , akan ditentukan distribusi dari Y1
• Akan ditentukan pdf dari Y1 dengan menggunakan teknik
transformasi variabel. Dalam hal ini perlu didefinisikan
variabel random Y2 supaya transformasinya satu-satu.
• Y2 didefiniskan sebagai fungsi dari X1 dan X2 yang sederhana,
misalkan Y2 X 2 .
• Jadi transformasinya : y1 x1 x2 , y2 x2 yang merupakan
transformasi 1-1 dari A x1, x2 : x1 0,1,2,3,...,x2 0,1,2,3,...
ke B y1 , y2 : y1 0,1,2,3,..., y2 0,1,2,..., y1
Transformasi inversnya : x1 y1 y2 , x2 y2
1 y1 y2 2 y2 e 1 2
, y1 , y2 B
g ( y1 , y2 ) y1 y2 ! y2!
0, yang lainnya
• Pdf dari Y1 :
• Jadi,
y1
g1 ( y1 ) g ( y1 , y2 )
y2 0
e
1 2
y1
y1 !
y1 y2
y2
1
2
y1! y2 0 y1 y2 ! y2!
1 2 y1 e 1 2
,
y1 0,1,2,...
y1!
0, yang lainnya
• Jadi Y1 berdistribusi Poisson dengan mean 1 2
• Teknik ini berlaku juga untuk 3 variabel random atau lebih.