Transcript EKSPEKTASI DARI VARIABEL RANDOM

EKSPEKTASI DARI
VARIABEL RANDOM
Misalkan X suatu variabel random yang mempunyai pdf f(x)
sedemikian hingga :
 x f ( x ) konvergen absolut (kasus diskrit)
atau x
  x f ( x ) dx konvergen absolut (kasus kontinu)
Maka ekspektasi dari varaiabel random X didefinisikan sbb :
E ( X )   xf ( x ) untuk kasus diskrit
x
Atau

E ( X )   xf ( x ) dx untuk kasus kontinu

E(X) : ekspektasi matematik dari X atau nilai ekspekstasi dari X
• Ilustrasi :
Misalkan terdapat 4 kepingan yang terdiri dari 3 keping
bernomor 1 dan 1 keping bernomor 2. 4 kepingan tersebut
dimasukkan ke dalam mangkok, kemudian diaduk. Dengan
mata tertutup, seseorang disuruh mengambil 1 kepingan dari
dalam mangkok tsb. Apabila terambil kepingan bernomor 1
akan diberi imbalan $1 dan apabila terambil kepingan
bernomor 2 akan diberi imbalan $2. Berapakah imbalan yang
akan diperoleh oleh orang tersebut?
Probabilitas terambil kepingan bernomor 1 adalah ¾, sedangkan
probabilitas terambil kepingan bernomor 2 adalah ¼.
Sehingga E(X) = ¾ . $1 + ¼ .$2 = $ 1,25.
Contoh :
1. Misalkan X variabel random diskrit yang mempunyai pdf sbb :
x
1
2
3
4
f(x)
4/10
1/10
3/10
2/10
f(x) = 0 untuk x yang lainnya
E(X) = 1.4/10 +2.1/10 +3.3/10+4.2/10 = 2,3
2. Misalkan X variabel random kontinu yang mempunyai pdf sbb
4 x 3 ,
f (x)  
 0,
0
x
E(X ) 

0
1
lainnya
1
x ( 4 x ) dx 
3

x

1
0
4 x dx 
4
4
5
Ekspektasi Fungsi dari Variabel Random X
• Misalkan Y = u(X) adalah fungsi dari variabel random X dengan
ruang nilai A , dalam hal ini X dimisalkan variabel random
kontinu.
• Misalkan y=u(x) adalah fungsi yang kontinu naik sehingga
inversnya x = w(y) juga merupakan fungsi kontinu naik.
Karena X variabel random maka Y juga variabel random dan
fungsi distribusinya sbb :
G ( y )  Pr( Y  y )  Pr( u ( X )  y )  Pr( X  w ( y )
w( y)


f ( x ) dx

dimana f(x) adalah pdf dari X.
Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus, diperoleh :
g ( y )  G ' ( y )  f ( w ( y )). w ' ( y ), y  B
 0 , untuk y lainnya
dimana B  { y : y  u ( x ), x  A } . g(y) adalah pdf dari Y.

Apabila 
y g ( y ) dy
konvergen mutlak, maka nilai ekspektasi


dari Y adalah E (Y )   yg ( y ) dy . Karena y=u(x) maka akan
ditunjukkan bahwa  

 yg ( y ) dy



 u ( x ) f ( x ) dx


Sehingga nantinya dapat ditulis :
E (Y )  E ( u ( X )) 
 u ( x ) f ( x ) dx


Perhatikan bentuk :  u ( x ) f ( x ) dx

Menggunakan metode substitusi, misalkan y = u(x) maka
x = w(y) dan dx  w ' ( y )  0 , sehingga
dy

 u ( x ) f ( x ) dx




 yf ( w ( y )) w ' ( y ) d y   yg ( y ) dy


Jadi dapat dituliskan bahwa :

E (Y )  E ( u ( X )) 
 u ( x ) f ( x ) dx

untuk kasus kontinu
Dan
E (Y )  E ( u ( X )) 
 u ( x ) f ( x ) untuk kasus diskrit
x
Sifat-sifat Ekspektasi:
1. E(k) = k dimana k adalah konstanta
2. E(kV) = kE(V)
3. E(k1V1 +k2V2) = k1E(V1) + k2E(V2)
Jadi E adalah operator linier.
• Contoh:
Misalkan X mempunyai pdf

a.
b.
E(X ) 

1
xf ( x ) dx 

2

1
3
0

x f ( x ) dx 
2

c.

x . 2 (1  x ) dx 

E(X ) 
 2 (1  x ),
f ( x)  
 0, x

x 2 (1  x ) dx 
2
6

E (6 X  3 X )  6 E ( X )  3 E ( X )  6.
2
1
2
1
3
 3.
1
6

5
2
0  x 1
yanglain