Transcript Distribusi Bersyarat

PROBABILITAS BERSYARAT
DAN
EKSPEKTASI BERSYARAT
• Sebelumnya telah dijelaskan mengenai konsep probabilitas
bersyarat untuk subset-subset C dari ruang sampel C.
• Akan dijelaskan probabilitas bersyarat untuk subset-subset A
dari ruang sampel A , dimana A adalah ruang nilai dari 1
variabel random atau lebih.
• Misalkan P adalah fungsi himpunan probabilitas yang
didefinisikan pada subset-subset dari A . Jika A1 dan A2
adalah subset-subset dari A , maka probabilitas bersyarat dari
kejadian A2 diberikan kejadian A1 adalah :
P( A1  A2 )
P( A2 | A1 ) 
, dimana P(A1 )  0.
P( A1 )
Probabilitas Bersyarat
• Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random diskrit dengan pdf
f(x1,x2) dimana f(x1,x2) > 0 untuk (x1,x2)  A dan sama dengan
nol untuk yang lainnya. Misalkan f1(x1) adalah pdf marginal
dari X1 dan f2(x2) adalah pdf marginal dari X2 .
• Misalkan A1  x1 , x2  : x1  x1 ' ,  x2   dimana x1’ adalah
suatu nilai sedemikian hingga P( A1 )  Pr(X1  x1 ' )  f1 ( x1 ' )  0.
Misalkan himpunan A2  x1 , x2  :   x1  , x2  x2 '
Berdasarkan definisi probabilitas bersyarat A2 diberikan A1
diperoleh :
P( A2 | A1 ) 
P( A1  A2 ) Pr(X 1  x1 ' , X 2  x2 ' ) f ( x1 ' , x2 ' )


P( A1 )
Pr(X 1  x1 ' )
f1 ( x1 ' )
• Jadi , jika (x1,x2) adalah suatu titik dimana f1(x1) > 0, maka
probabilitas bersyarat bahwa X2 diberikan X1 = x1 adalah
f ( x1 , x2 ) .
f1 ( x1 )
Dengan x1 tetap dan f1(x1) > 0, maka fungsi dari x2 ini
memenuhi syarat-syarat untuk menjadi suatu pdf dari variabel
random X2 jenis diskrit, karena :
1. f ( x1 , x2 )  0
2.
f1 ( x1 )
f ( x1 , x2 )
1
f1 ( x1 )

f
(
x
,
x
)

1


1
2
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
x2
1 1
1 1 x2
1 1
Notasi :
f ( x1 , x2 )
f ( x2 | x1 ) 
, dimana f1(x1 )  0.
f1 ( x1 )
yang disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X2
tipe diskrit diberikan X1 = x1.
Dengan cara yang sama,
f ( x1 , x2 )
f ( x1 | x2 ) 
, dimanaf 2 ( x2 )  0
f 2 ( x2 )
disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X1 tipe
diskrit diberikan X2 = x2.
• Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random kontinu yang
mempunyai pdf bersama f(x1,x2) dan pdf marginal masingmasing f1(x1) dan f2(x2). Pembahasan pdf bersyarat untuk
variabel random kontinu analaog dengan variabel random
diskrit.
f ( x1 , x2 )
f
(
x
|
x
)

• Jika f1(x1) > 0, f ( x2 | x1 ) didefinisikan sebagai : 2 1
f1 ( x1 )
Dalam hal ini x1 dianggap mempunyai nilai tertentu dimana
f1(x1) > 0.
f ( x2 | x1 ) mempunyai sifat-sifat pdf jenis kontinu dengan 1
variabel random dan disebut pdf bersyarat jenis kontinu dari
variabel random X2 diberikan X1 = x1 karena



f1 ( x1 )
1. f ( x | x ) dx  f ( x1 , x2 ) dx  1
 2 1 2  f1 ( x1 ) 2 f1 ( x1 )  f ( x1, x2 ) dx2  f1 ( x1 )
2.
f ( x1 , x2 )
f ( x2 | x1 ) 
 0 karena f1 ( x1 )  0 dan f ( x1 , x2 )  0
f1 ( x1 )
Jadi, f ( x2 | x1 )  0 .
Jika f2(x2) >0, pdf bersyarat dari variabel random kontinu X1
diberikan X2 = x2 didefinisikan sebagai
f ( x1 , x2 )
f ( x1 | x2 ) 
, f 2 ( x2 )  0.
f 2 ( x2 )
• Karena f ( x1 | x2 ) dan f ( x2 | x1 ) masing-masing merupakan
suatu pdf dari satu variabel random (diskrit /kontinu), maka
masing-masing mempunyai semua sifat-sifat dari suatu pdf.
Sehingga probabilitas dan ekspektasi matematikanya juga
dapat dihitung.
• Untuk variabel random kontinu
b
Pr(a  X 2  b | X 1  x1 )   f ( x2 | x1 ) dx2
a
yang disebut sebagai probabilitas bersyarat a  X 2  b
diberikan X1 = x1 .
Probabilitas bersyarat bahwa c  X 1  d diberikan X2=x2
adalah:
d
Pr(c  X 1  d | X 2  x2 )   f ( x1 | x2 ) dx1
c
Jika u(X2 ) adalah suatu fungsi dari X2, maka :

E (u( X 2 ) | x1 )   u( x2 ) f ( x2 | x1 )dx2

disebut ekspektasi bersyarat dari u(X2 ) diberikan X1 = x1 .
Ekspektasi Khusus:
1. E ( X 2 | x1 ) Adalah mean dari pdf bersyarat dari X2 diberikan
X1 = x1 .
2
E
{[
X

E
(
X
|
x
)]
| x1}Adalah variansi dari pdf bersyarat
2.
2
2
1
dari X2 diberikan X1 = x1 dan dinotasikan dengan Var ( X 2 | x1 ).
Jadi E ( X 2 | x1 ) disebut mean bersyarat dari X2 diberikan X1 = x1
dan Var( X 2 | x1 ) disebut variansi bersyarat dari X2 diberikan
X1 = x 1 .
• Dapat ditunjukkan :
Var( X 2 | x1 )  E( X 2 | x1 )  [E( X 2 | x1 )]2
2
• Dengan cara yang sama,

E (u( X1 ) | X 2  x2 )   u( x1 ) f (x1 | x2 ) dx1

• Untuk variabel random diskrit, caranya analog hanya
mengganti integral dengan sigma.
• Contoh :
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf bersama
2, 0  x1  x2  1
f ( x1 , x2 )  
0, yanglainnya
Tentukan pdf marginal dari X1 dan X2, pdf bersyarat dari X1
diberikan X2=x2, mean bersyarat dan variansi bersyarat dari
X1 diberikan X2 = x2, Pr(0<X1<1/2 |X2=3/4) dan
Pr(0<X1<1/2).
• Karena E(X2|x1) adalah fungsi dari x1 maka E(X2|X1) adalah
variabel random yang mempunyai distribusi dan dapat
dihitung mean dan variansinya.
• Contoh :
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf
0  x2  x1  1
6 x2 ,
f ( x1 , x2 )  
 0, ( x1 , x2 ) yang lainnya
Dapat ditunjukkan bahwa E ( X 2 | x1 )  2 x1 , 0  x1  1
3
Tentukan distribusi dari Y  E( X 2 | X1 ) , kemudian hitung
mean dan variansinya atau E( E( X 2 | X1 )) dan Var( E( X 2 | X1 ))
kemudian bandingkan hasilnya dengan E(X2) dan Var(X2).
• Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random jenis kontinu.
Misalkan Y = u(X1,X2), maka Y juga variabel random dan
mempunyai pdf g(y).
• Ekspektasi dari Y adalah

E (Y ) 
 yg( y) dy

atau dapat ditulis
 
E(u( X1 , X 2 )) 
  u( x , x ) f ( x , x )dx dx
1
2

Note : Berlaku juga untuk variabel random diskrit
1
2
1
2
• Contoh:
8 x1 x2 , 0  x1  x2  1
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf f ( x1 , x2 )   0, ( x , x ) yanglain
1
2

2
Tentukan E(7 X1 X 2  5 X 2 )
 
1 x2
8
- E ( X 1 X 2 )    x1 x2 f ( x1 , x2 )dx1dx2    8 x1 x2 dx1dx2  21
 
0 0
2
2
1 x2
- E ( X 2 )    x2 8 x1 x2 dx1dx2 
0 0
- E (7 X 1 X 2
2
2
3
4
5
8
4
 5 X 2 )  7 E ( X 1 X 2 )  5E ( X 2 )  7.  5.
21
5
2
• Adib :
1. E(E( X 2 | X1 ))  E( X 2 )
2. Var(E( X 2 | X1 ))  Var( X 2 )
• Adib : E( E( X 2 | X1 ))  E( X 2 )
  f ( x1 , x2 )

E ( X 2 )    x2 f ( x1 , x2 )dx2 dx1     x2
dx2  f1 ( x1 )dx1
f1 ( x1 )
  
   

 




    x2 f ( x2 | x1 )dx2  f1 ( x1 )dx1   E ( X 2 | x1 ) f1 ( x1 )dx1
   



Jadi E( X 2 )  E( E( X 2 | X1 ))
• Adib: Var( E( X 2 | X1 ))  Var( X 2 )
Misalkan
2  E ( X 2 )

 
Var( X 2 )  E  X 2  2   E X 2  E( X 2 | X1 )  E( X 2 | X1 )  2 
2

2


 E X 2  E( X 2 | X1 )  E( X 2 | X1 )  2   2X 2  E( X 2 | X1 )E( X 2 | X1 )  2 

2
 
2

 E X 2  E( X 2 | X1 )  E E( X 2 | X1 )  2   2EX 2  E( X 2 | X1 )E( X 2 | X1 )  2 
2
2
• Perhatikan
EX 2  E( X 2 | X1 )E( X 2 | X1 )  2 
 

  x
2
 E ( X 2 | x1 )E ( X 2 | x1 )  2  f ( x1 , x2 ) dx2 dx1


f ( x1 , x2 )  
  E ( X 2 | x1 )   2   x2  E ( X 2 | x1 )
dx2  f1 ( x1 )dx1
f1 ( x1 )  



   f ( x1 , x2 )
f ( x1 , x2 )  
  E ( X 2 | x1 )   2    x2
 E ( X 2 | x1 )
dx2  f1 ( x1 )dx1
f1 ( x1 )
f1 ( x1 )  






  E ( X 2 | x1 )   2   x2 f ( x2 | x1 )dx2    E ( X 2 | x1 ) f ( x2 | x1 )dx2  f1 ( x1 )dx1


 





  E ( X 2 | x1 )   2  E ( X 2 | x1 )  E ( X 2 | x1 )  f ( x2 | x1 )dx2  f1 ( x1 )dx1







 E( X
2
| x1 )  2 .0. f1 ( x1 )dx1  0

Jadi

 
Var( X 2 )  E X 2  E( X 2 | X1 )  E E( X 2 | X1 )  2 
2
2

a. Karena 2  E( X 2 )  EE( X 2 | X1 )
maka EE( X 2 | X1 )  2 2  Var(E( X 2 | X1 ))
b. Karena X 2  E( X 2 | X1 )2  0 maka EX 2  E( X 2 | X1 )2  0
Jadi, Var( X 2 )  Var( E( X 2 | X1 ))