Transcript Reliabilitas - SI-35-02

Distribusi Probabilitas Weibull
Distribusi Weibull (Waloddi Weibull, Swedish, 1939) banyak digunakan
dalam analisis keandalan yang berkiatan dengan umur (rentang
waktu), contohnya rantang waktu dimana sebuah peralatan mungkin
akan rusak (tidak berfungsi).
Definisi
Variabel random kontinyu T berdistribusi Weibull, dengan dua
parameter   0 dan   0 , jika fungsi padatnya mengikuti
 1  at 
f (t )  t e untuk t > 0, dan f(t)=0, untuk t lainnya
Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :
 1
E (T )     1 /  1  
 
dan
  2    1  2 
V (T )   2    2 /  1    1   
        
1
Distribusi Probabilitas Weibull
Dengan menggunakan analogi, fungsi distribusi kemungkinan
Weibull dapat mencakup tiga parameter W(,,) dan fungsi
keandalannya didefinisikan oleh
  t    
exp  
 ,
    
  t    
R (t ; ,  , )  exp  
 .
    
  t  
f (t ; ,  , )  

  
 1
t   , dan
Mean time to failure (MTTF) dan variansinya adalah
   1

E (T ; ,  , )    
   dan
2    2
2    1 
   
 .
Var (T ; ,  , )   
  
   
2
Distribusi Probabilitas Weibull (3)
Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis
keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut
dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan,
meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta
wear-out failures.
laju
kerusakan
Kerusakan karena terjadinya early
causes dan chance causes
kerusakan karena terjadi wearout causes dan chance causes
hanya terjadi
chance failure
t
3
Reliability Engineering
- Introduction -
Laju Kerusakan ( Failure Rate )
 Dalam masa kerjanya, suatu komponen atau sistem mengalami
berbagai kerusakan. Kerusakan – kerusakan tersebut akan berdampak
pada performa kerja dan efisiensinya.
 Kerusakan – kerusakan tersebut apabila dilihat secara temporer,
maka ia memiliki suatu laju tertentu yang berubah – ubah. Laju
kerusakan (failure rate) dari suatu komponen atau sistem merupakan
dinamic object dan mempunyai performa yang berubah terhadap
waktu t ( sec, min, hour, day, week, month and year).
 Keandalan komponen / mesin erat kaitannya dengan laju kerusakan
tiap satuan waktu. Hubungan antara kedua hal tersebut ditunjukan
apabila pada saat t = 0 dioperasikan sebuah komponen kemudian
diamati banyaknya kerusakan pada komponen tersebut maka akan
didapat bentuk kurva Bath tube seperti pada gambar berikut:
Grafik diatas, yang sering disebut sebagai Bathtub Curve, terbagi menjadi tiga
daerah kerusakan, ketiga daerah tersebut adalah:
1.
Burn – in Zone (Early Life)
Daerah ini adalah periode permulaan beroperasinya suatu komponen atau
sistem yang masih baru (sehingga reliability – nya masih 100% ), dengan
periode waktu yang pendek. Pada kurva ditunjukan bahwa laju kerusakan
yang awalnya tinggi kemudian menurun dengan bertambahnya waktu, atau
diistilahkan sebagai Decreasing Failure Rate (DFR). Kerusakan yang terjadi
umumnya disebabkan karena proses manufacturing atau fabrikasi yang
kurang sempurna
2.
Useful Life Time Zone
Periode ini mempunyai laju kerusakan yang paling rendah dan hampir
konstan, yang disebut Constant Failure Rate (CFR). Kerusakan yang terjadi
bersifat random dan dipengaruhi oleh kondisi lingkungan. Ini adalah periode
dimana sebagian besar umur pakai komponen atau sistem berada.
Dalam analisa, tingkat kehandalan sistem diasumsikan berada pada
periode Useful life time, dimana failure rate - nya konstan terhadap waktu.
Asumsi ini digunakan karena pada periode early life time, tidak dapat
ditentukan apakah sistem tersebut sudah bekerja sesuai dengan standar yang
ditentukan atau belum. Sedangkan pada periode wear out time, tidak dapat
diprediksi kapan akan terjadi failure.
Pada periode useful life time, dimana failure rate - nya adalah konstan,
persamaan reliability yang digunakan:
•
3. Wear Out Zone
Periode ini adalah periode akhir masa pakai komponen atau sistem. Pada
periode ini, laju kerusakan naik dengan cepat dengan bertambahnya waktu,
yang disebut dengan istilah Increasing Failure Rate (IFR). Periode ini berakhir
saat reliability komponen atau sistem ini mendekati nol, dimana kerusakan
yang terjadi sudah sangat parah dan tidak dapat diperbaiki kembali.
Failure
The six pattern of failure (6 pola kegagalan)
Ukuran-ukuran Reliability (Komponen)
Reliability Functions (Fungsi Kehandalan) :
Misal N component diuji kehandalannya. Setelah waktu t,
terdapat Ns buah komponen yang bertahan hidup (survive),
dan Nf buah yang gagal (failed), maka peluang survive
hingga waktu t adalah :
N (t )
Pˆs  R(t )  s
N
 1
N f (t )
N
N  N f (t )
N s (t )


N s (t )  N f (t )
N
 1  F (t )
R(t) = reliability function
F(t) = unreliability function = fungsi distribusi

Pˆs  R(t )  1  F (t )  1  P(T  t )  P(T  t )   f (t )dt
t
• Misalkan time to failure (T) berdistribusi eksponensial dengan
parameter , tentukan fungsi reliabilitasnya


t
t
Pˆs  R(t )   f (t )dt    e t dt

  e
 t
dt  
t
 e u

u / 


u /
du
e

u
 e   e u / 
Ukuran-ukuran Reliability (Komponen)
Reliability Functions (Fungsi Kehandalan) :

R (t )   f (t ) dt
t
Distribusi
Eksponensial
f(t)
R(t)
R(t )  e t
f (t )   e t
 1
Weibull
   t 
f (t )     
   
Gamma
t  1 et / 
f (t )  
 ( )
  t  
exp   
    
  t  
R(t )  exp   
    
t
1
 1 t / 
R(t )  1  
t
e
dt
 ( ) 0
CONTOH :
1. Misalkan sebuah unit memiliki distribusi untuk time to failure
(t) adalah G(8,20) dalam satuan jam. Hitunglah
a. Rata-rata dan simpangan baku untuk time to failure unit
tersebut?
b. Reliabilitas jika time to failure-nya 100 jam
c. Reliabilitas jika time to failure-nya 150 jam
d. Reliabilitas jika time to failure-nya 240 jam
Jawab:
Misalkan T = time to failure berdistribusi G(α,β) dengan pdf
t  1 et / 
f (t )  
 ( )
1. a. Rata-rata = E(t) = αβ = 8 . 20 = 160
b. Simpangan baku    2  (8)( 20) 2  3200
c. R(t) = 1 – F(t)
t
1
 1 t / 
R(t )  1  
t
e
dt

 ( ) 0
100
1
81 t / 20
R(100)  1  8
t
e
dt

20 (8) 0
  1
 t 
 t 
 1   Poi j;   1  1   Poi j; 
j 
 
  
 j 0

7

 100 7
 1  1   Poi j;
   Poi j;5  0,8666
 20  j 0
 j 0
c. R(150)
150
1
81 150 / 20
R(150)  1  8
t
e
dt

20 (8) 0
  1
 t 
 t 
 1   Poi j;   1  1   Poi j; 
j 
 
  
 j 0
7

 150 7
 1  1   Poi j;
   Poi j;7,5  0,5246
 20  j 0
 j 0

d. R(240) = ?
240
1
81  240 / 20
R(240)  1  8
t
e
dt

20 (8) 0
  1
 t 
 t 
 1   Poi j;   1  1   Poi j; 
j 
 
  
 j 0

7

 240 7
 1  1   Poi j;
   Poi j;12  0,0895
 20  j 0
 j 0
Ukuran-ukuran Reliability (Komponen)
Failure Rate (Laju Kegagalan) :
Laju kegagalan didefinisikan sebagai banyaknya kegagalan
per satuan waktu, atau :
f

T
f = Jumlah kegagalan selama waktu pengujian
T = Total waktu pengujian
atau
f (t )
 (t ) 
R(t )
f (t) = Probability density function (pdf)
R(t) = Reliability function
f (t )
1.  (t ) 
R(t )
F ' (t )
3.  (t ) 
1  F (t )
f (t )
2.  (t ) 
1  F (t )
 R' (t )
4.  (t ) 
R(t )
• Pandang persamaan 4, kalikan dengan dt untuk kedua sisi
 R ' (t ) d t
  (t ) d t
R (t )
t

0
 R ' (t ) d t
    (t ) d t
R (t )
0
t
t
ln R (t )
 ln R (t )  ln R (0)
0
t
ln R (t )     (t ) d t   H (t )
0
 t

R (t )  ex p    (t ) d t  e  H ( t )
 0

F (t )  1  R (t )  1  e  H ( t )
f (t )   (t ) R (t )
f (t )   (t ) e  H ( t )
• Contoh : Misalkan laju kegagalan (t) =  adalah konstanta.
Tentukan f(t), F(t) dan R(t)
Jawab :
t
t
H (t )    (t )dt    dt  t
0
0
 (t )  
R(t )  e  H (t )  e t
F (t )  1  R(t )  1  e t
f (t )  F ' (t )   (t ) e  H (t )   e t
Ukuran-ukuran Reliability (Komponen)
Mean Time Between Failure (MTBF) :


0
0
MTBF  m  E (t )   R(t ) dt   t f (t ) dt
Jika laju kegagalan (failure rate) selama waktu operasi
relatif konstan, maka
1
T
m 
 f
f = Jumlah kegagalan selama waktu pengujian
T = Total waktu pengujian
λ = Failure rate (laju kegagaln)
Ukuran-ukuran Reliability (System)
Sebuah system biasanya terdiri dari beberapa komponen dimana
perhitungan nilai reliabilitasnya ditentukan berdasarkan bentuk
RBD (Reliability Block Diagram)
RBD tersusun dalam bentuk seri, paralel, atau kombinasi seri
dan paralel
Antenna
Tracking
Computer
Rx / Tx
Radar System
Radar
Controller
Output
Ukuran-ukuran Reliability (System)
Antenna
Tracking
Computer
Radar
Controller
Output
Rx / Tx
Antenna
Tracking
Computer A
Radar
Controller
Output
Tracking
Computer B
Rx / Tx
Antenna
Tracking
Computer A
Receiver
Power
Supply
Modulator
Receiver / Transmitter
Radar
Controller
Amplifier
Tracking
Computer B
Ukuran-ukuran Reliability (System)
Rangkaian Seri
1
2
…
n-1
n
Sebuah system yang terdiri dari n buah komponen
independen yang dirangkai secara seri akan survive selama
waktu t, jika dan hanya jika seluruh komponennya survive
pada waktu t, dan nilai reliabilitas system-nya adalah
n
Rs (t )  R1 (t ) R2 (t ) ... Rn (t )   Ri (t )
i 1
• Contoh :
Berapakah reliabilitas masing-masing komponen yang identik
dalam suatu sistem yang terdiri dari 6 komponen yang disusun
secara seri jika reliabilitas sistem paling sedikit 0,95?
Jawab :
Rs (t) ≥ 0,95
R1(t).R2(t)...R6(t) ≥ 0,95
[Ri(t)]6 ≥ 0,95
Ri(t) ≥ 0,951/6
Ukuran-ukuran Reliability (System)
Rangkaian Paralel
Sebuah system yang terdiri dari n
buah komponen independen yang
dirangkai secara paralel akan
survive selama waktu t, jika
terdapat 1 komponen survive pada
waktu t
1
2
n
Nilai reliabilitasnya :
R p (t )  1  Qp (t )  1  [Q1 (t ) Q2 (t ) ...Qn (t )]
n
n
i 1
i 1
 1   Qi (t )  1  [1  Ri (t )]
Qp (t )  Fp (t )
Contoh :
• Berapa reliabilitas dari 5 komponen yang identik yang dipasang
secara paralel jika sistem harus punya reliabilitas paling sedikit
0,95
Jawab :
Rs (t) ≥ 0,95
n
1   [1  Ri (t )]  0,95
i 1
1  [1  Ri (t )]5  0,95
[1  Ri (t )]5  0,05
[1  Ri (t )]  0,051/ 5
Ri (t )  1  0,051/ 5
• Series - parallel
C1
C2
S1
C3
C4
S2
• Parallel - series
C1
C2
P1
C3
C4
P2
• Soal
• Sebuah sistem radar angkatan laut dengan MTBF diperkirakan
10.000 jam. Berapa besar kemungkinan sistem ini bekerja untuk
jangka waktu 100 jam, 2000 jam dan 5000 jam
• Diketahui :
• MTBF = 10.000 jam
R(t )  e t
t  100 R(t )  e   t  e 100 /10000  0,99  99%
t  2000 R(t )  e  t  e  2000 /10000  0,819  81,9%
t  5000 R(t )  e  t  e 5000 /10000  0,6865 68,65%
• SOAL LATIHAN
1. Tentukan reliabilitas dari sistem jika 5 komponen identik
memiliki reliabilitas masing-masing 0,9 jika komponen
a. Terhubung secara seri
b. Terhubung secara paralel
2. Reliabilitas 3 buah komponen adalah 0,9 ; 0,88 ; 0,95.
Tentukan reliabilitas sistem jika komponen
a. Terhubung secara seri
b. Terhubung secara paralel
3. 5 komponen mempunyai reliabilitas 0,92 ; 0,89 ; 0,95 dan 0,97
terhubung secara seri. Berapakah reliabilitas sistem tersebut?
Ukuran-ukuran Reliability (System)
Rangkaian Standby
Dalam standby system, hanya satu
komponen yang beroperasi,
sedangkan satu atau lebih
komponen lainnya dalam posisi
standby untuk mengambil alih
operasi apabila komponen utamanya
gagal
A
B
Nilai reliabilitasnya :

Rsb (t )  
t



f A (t ) dt    f A (t1 )  f B (t ) dt dt1

0
t t1

t
Ukuran-ukuran Reliability (System)
Rangkaian Standby
Untuk kasus 2 buah komponen yang berdistribusi eksponensial
dan dirangkai secara standby dengan λA = λB = λ, maka
R(t )  (1  t ) exp(t )
Untuk n komponen dengan failure rate yang sama :
(t ) r
R(t )  exp(t ) 
r!
r 1
n
Ukuran-ukuran Reliability (System)
0
5
10
20
50
100
Single component
1.0
0.7408
0.5488
0.3012
0.0498
0.0025
2 component in
series
1.0
0.5488
0.3012
0.0498
0.0025
0.0000
2 component in
parallel
1.0
0.9328
0.7964
0.5526
0.0971
0.0050
2 component in
standby system
1.0
0.9630
0.8781
0.6626
0.1992
0.0175