Transcript Menentukan Invers Matrik dengan OBE

TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012
BY NURUL SAILA
1.
2.
3.
4.
5.
Invers Matrik
Menentukan Invers Matrik dengan definisi
Menentukan invers matrik dengan kofaktor
Menentukan invers matrik dengan OBE
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dg
perkalian matrik
BY NURUL SAILA
Definisi:
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat dan jika
dapat dicari sebuah matriks B sedemikian sehingga
AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik
(invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A
(B = A-1).
Contoh:
A=
3
1
2
5
dan B =
−1
2
−5
3
A adalah invers dari B karena AB = I dan BA = I.
Teorema:
1. Jika B dan C kedua-duanya adalah invers
dari matriks A maka B = C.
2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang
dapat dibalik dan yang ukurannya sama
maka:
 AB dapat dibalik
 (AB)-1 = B-1 A-1
Buktikan!
Definisi:
 Jika A adalah matriks kuadrat dan n adalah sebuah
bilangan bulat positif maka kita mendefinisikan:
A0 = I
An = 𝐴. 𝐴. 𝐴. 𝐴 … 𝐴
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Jika A dapat dibalik maka kita mendefinisikan:
A-n = (A-1)n = 𝐴−1 𝐴−1 𝐴−1 ⋯ 𝐴−1
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
Teorema:
3. Jika A adalah sebarang matriks yang dapat
dibalik maka:
a. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A
b. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n , untuk
n = 0, 1, 2, …
c. Untuk setiap scalar k yang tak sama dengan
0 maka kA dapat dibalik dan
(kA)-1 = 1/k A-1.
Definisi:
Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij
adalah kofaktor aij maka matriks:
𝐶11
𝐶21
⋮
𝐶𝑛1
𝐶12
𝐶22
⋮
𝐶𝑛2
⋯
⋯
⋯
𝐶1𝑛
𝐶2𝑛
⋮
𝐶𝑛𝑛
Dinamakan matriks kofaktor dari A.
Transposisi matriks ini dinamakan adjoint dari A
dan dinyatakan dengan adj (A).
BY NURUL SAILA
Teorema:
Jika A adalah sebuah matriks yang dapat
dibalik maka:
-1
A =
1
det 𝐴
𝑎𝑑𝑗(𝐴)
Contoh:
Tentukan A-1 menggunakan kofaktor, jika:
3
A= 2
1
1
5
4
−4
6
8
BY NURUL SAILA
OBE
Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu
operasi yang dikenakan pada baris suatu
matriks, yaitu:
1. Kalikan suatu baris dengan sebuah
konstanta yang bukan 0.
2. Pertukarkan sebarang dua baris.
3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd
baris yang lain.
1
𝐴 = −2
3
2
3
−2
3
1
1
−1
2
−3
OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1)
 OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1  B2)
 OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)

Matrik Elementer (E)
Definisi:
Sebuah matrik nxn dinamakan matriks
elementer jika matriks tersebut dapat
diperoleh dari matriks satuan nxn yakni In
dengan melakukan operasi baris elementer
tunggal.
Contoh:
1
0
0
−3
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
3
0
1
Teorema:
 Jika matriks elementer E dihasilkan dari
melakukan sebuah operasi baris elementer
tertentu pada Im dan jika A adalah matrik
mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks
yang dihasilkan bila operasi baris yang sama
ini dilakukan pada A.
Contoh:
Contoh:
1 0 0
1
E = 0 1 0 dan A = 2
3 0 1
1
EA = …
B3+3B1  …
0
−1
4
2
3
4
3
6
0
Operasi Invers
 Jika sebuah OBE dikenakan pada sebuah matriks
satuan I untuk menghasilkan sebuah matriks
elementer E maka ada OBE kedua yg apabila
dikenakan pada E akan menghasilkan kembali I.
OBE kedua ini disebut operasi invers.
OBE pd I
Operasi Invers
Kalikan baris ke i dengan c ≠ 0
Pertukarkan baris ke i dengan
baris ke j
Tambahkan c kali baris ke i ke
baris ke j
Kalikan baris ke I dengan 1/c
Pertukarkan baris ke j dengan
baris ke i
Tambahkan –c kali baris ke I
ke baris ke j

Tiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan
inversnya adalah juga sebuah matriks
elementer
Buktikan!
Definisi:
Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A
dengan melakukan serangkaian OBE maka A
dpt diperoleh dari B dengan serangkaian OBE
inversnya. B dikatakan ekuivalen baris dengan
A dan sebaliknya.
Contoh:
1
A= 2
1
0
−1
4
2
3
4
3
3
6 ,B= 2
0
1
−1
−1
4
5
3
4
9
6
0
Jika A adalah sebuah matrik nxn maka
pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen,
yakni semuanya benar dan semuanya palsu.
1. A dapat dibalik
2. AX = 0 hanya mempunyai satu pemecahan
trivial
3. A ekuivalen baris kepada In.
Buktikan!
“ Urutan operasi baris yang mereduksi matriks
A menjadi In akan mereduksi In kepada A-1 “.
Contoh:
1 2
A= 2 5
1 0
3
3
8
Tentukan A-1 dengan Operasi Baris Elementer.
Menyelesaikan system persamaan linier
dengan ‘Perkalian Matrik’ adalah:
1. Mengubah system persamaan menjadi
bentuk perkalian matriks
2. Menyelesaikan perkalian matriks dengan
menentukan invers matriks koefisien system
persamaan
Contoh:
Tentukan selesaian dari sistem persamaan
berikut menggunakan perkalian matrik.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 16
−4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −63
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 80
Selesaikan sistem persamaan linier berikut
dengan perkalian matrik.
𝑥 + 2𝑦 = 7
a.
2𝑥 + 5𝑦 = −3
3𝑥 − 6𝑦 = 8
c.
2𝑥 + 5𝑦 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = −1
b. 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
d. 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −3
𝑦+𝑧=5
e. >>>
BY NURUL SAILA
1
1
1
𝑥 +5𝑦+5𝑧 = 1
3𝑤 + 𝑥 + 7𝑦 + 9𝑧 = 4
𝑤 + 𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 7
1
4
𝑥+ 𝑦− 𝑧=2
e.
f.
5
5
5
−𝑤 − 2𝑦 − 3𝑧 = 0
2
1
1
−2𝑤 − 𝑥 − 4𝑦 − 6𝑧 = 6
− 𝑥+ 𝑦+ 𝑧=0
5
1
5
10
10
BY NURUL SAILA