Transcript Distribusi beta, t dan f

Distribusi Beta, t dan F
Distribusi Beta
Misalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel random
yang independen dan masing-masing mempunyai
distribusi Gamma dengan parameter (α,1) dan (β,1),
α>0, β>0.
Maka, p.d.f dari X 1 adalah :
x
 1
1
 1
1
f ( x1 ) 
x
e
1
( )1
1

x1 1e  x1
( )
=
0
, 0  x1 < 
, lainnya
P.d.f dari X2 adalah :
x2
1
 1  1
g ( x2 ) 
x2 e

(  )1
1

x2  1e  x2
(  )
=
0
, 0  x2 < 
, lainnya
sehingga, p.d.f bersama dari X1 dan X2 adalah :
h( x1 , x2 )  f ( x1 ) g ( x2 )
1
=
x1 1 x2  1e x1  x2
 (  )
= 0
Dimana α>0 dan β>0.
, 0  x1 < , 0  x2 < 
, lainnya
Misalkan Y1 = X1+X2 , Y2 = X1/(X1+X2).
Akan ditunjukkan bahwa Y1 dan Y2 independen.
- A={(x1,x2): h(x1,x2)>0}.
- Transformasinya : y1=x1+x2, y2=x1/(x1+x2) 1-1
dari A pada B ={(y1,y2):0 <y1< , 0 < y2 < 1}.
- Inversnya : x1= y1y2 , x2= y1(1-y2)
- Jacobian :
J
y2
y1
1  y2
 y1
  y1  0
- Transformasi tersebut adalah transformasi satu-satu yang
memetakan dari A ={(x1,x2):0<x1<∞, 0<x2< ∞} ke
B ={(y1,y2):0<y1<∞, 0<y2< 1}.
- Jadi, pdf bersama dari Y1 dan Y2 adalah :
g(y1,y2)=h(y1y2,y1(1-y2))|J|
1
 y1 y2  1  y1 1  y2  1 e y1 y2  y1 1 y2 
  y1
  
1
 y1 y2  1  y1 1  y2  1 e y1
  y1 
  
 y2 1 1  y2  1    1  y1

y1
e , 0  y1  , 0  y2  1
    

0, yang lainnya

Karena g(y1,y2)=w(y1)v(y2) , maka Y1 dan Y2 independen
Akan dicari pdf marginal dari Y2 .

g 2 ( y2 ) 
 g( y
1,
y2 )dy1





y2 1 (1  y 2)  1    1  y1
y1
e dy1
( )(  )

y2 1 (1  y2 )  1
1

(   ) 
y1(   ) 1e  y1 dy1
( )(  )
(   )
0
(   )  1

y2 (1  y2 )  1
( )(  )
0
Ini adalah pdf dari distribusi Beta dengan
parameter α dan β
, 0  y2  1
, lainnya
Karena Y1 dan Y2 independen maka
g(y1,y2)=g1(y1)g2(y2)
y2 1 1  y2 
( )(  )
 1
   1  y1
y1
e
(   )  1

y2 (1  y2 )  1 g1 ( y1 )
( )(  )
1
 g1 ( y1 ) 
y1(   ) 1e  y1
(   )
pdf marginal dari Y1 adalah
1
g1 ( y1 ) 
y1(   )1e y1
(   )
0
,0<y1  
,lainnya
Yang merupakan pdf dari distribusi gamma
dengan parameter (α+β) dan 1
Perhatikan distribusi dari Y2, yaitu distribusi
beta dengan parameter α dan β.
Dapat dibuktikan bahwa :

Mean =  
 
Variansi =  
2

(    1)    
2
Distribusi t
Misalkan W~N(0,1) dan V~
Misalkan W dan V independen.
Maka p.d.f bersama dari W dan V adalah :
2
(r )
r 1  v
1  w22 1
2
2
h(w, v) 
e
v
e
,    w  , 0  v  
r
2
( 2r )2 2
0
, lainnya
Didefinisikan variabel random baru, yaitu :
W
T
,
akan
dicari
distribusi
dari
T
V
r
Didefinisikan variabel random baru lagi yaitu
U=V.
A= {(w,v):    w  , 0  v  }
Sehingga transformasinya : t  w , u  v
v
t u
Inversnya adalah : w 
, vu
r
r
Maka,
w
u
J
v
u
w
t
v
t
t
1
 r 2 u
1

u
r
0
u
r
Transformasinya adalah satu-satu yang
memetakan dari A={(w,v):  w  , 0  v   }
ke B = {(t,u):   t  , 0  u  }.
Maka, p.d.f bersama dari T dan U adalah :
t u

g (t , u )  h 
, u  J
 r





0
2
r 1  u
1
1
 t2 ru
2
e
e 2
r u
2
 ( 2r )2 2
1
2  ( 2r )2
r
2
1
2  ( )2
r
2
1
2 r ( 2r )2
r
2
r
2
u
u
u
u
r
2
r 1
2
 u2  t2 ru
r 1
2
 u2 (1 tr )
e
e
r 1 1
2
e
2
2
 u2 (1 tr )
u
r
u
r
,   t  , 0  u  
,lainnya
p.d.f marginal dari T adalah :

g1 (t ) 

g (t , u )du




0

misalkan
1
2 r ( 2r )2
r
2
u

1
2 r ( 2r )2
r
2
r 1 1
2
u
e
r 1 1
2
  u (1 t 2 ) 
r 

 2

e
du
  u (1 t 2 ) 
r 

 2

du
0
2z
2
z  (1  )  u 
 du 
dz
t2
t2
1 r
1 r
u
2
t2
r
 g1 (t ) 



 2z 
r  
t2 
r
2
1

2 r ( 2 )2 0 
r 
1
( r 21 )
2
r 11
2
2 r ( )2 (1 
r
2
r
2
( r 21 )
)
t2
r
e z
2
dz
t2
1 r

2
r 1
2
1
 r ( ) (1  )
r
2
t2
r
r 1 1
2
 1  r21 1  z
0  ( r 21 )  z e dz
,   t  
r 1
2
Distribusi yang mempunyai pdf :
g1 (t ) 
( r 21 )
1
 r ( 2r ) (1  tr )
Disebut berdistribusi t.
2
r 1
2
,   t  
Distribusi F
Misalkan U~ 
V~ 
Misalkan U dan V saling bebas.
Maka, p.d.f bersama dari U dan V adalah :
2
(r1 ) dan
1
h(u, v) 
( )( )2
r1
2
0
r2
2
r1  r2
2
r1
1
2
u v
2
(r2 )
r2
1
2
e
 u 2 v
, 0  u  , 0  v  
, lainnya
U
r1
Didefinisikan variabel random W  V
r
Akan dicari distribusi dari W.
Untuk mencari distribusi dari W, didefinisikan
variabel random baru yaitu Z=V.
A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞} u
r
w

,z v
transformasinya adalah :
v
2
1
r2
inversnya adalah :
 r1 
u    zw , v  z
 r2 
Transformasinya adalah transformasi satu-satu
dari A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞} ke
B={(w,z):0<w< ∞, 0<z< ∞}.
J
Jacobian :
u
z
v
z
u
w
v
w
 

r1
r2
w
1

atau J 
 z
r1
r2
 z
r1
r2
 z
r1
r2
0
Maka, pdf bersama dari W dan Z adalah :
g ( w, z )  h 

  zw, z  J
r1
r2
1

( r21 )( r22 )2
r1  r2
2
r1
2
1

( )( )2
r1
2
0
r2
2
 r1 
 zw 
 r2 
r1  r2
2
r1
1
2
 r1

 r zw z 

 2
 2 
r2

1 

2
z e
 r1 
  w z
 r2 
r1
1
2
r1 r2
1
2
e
z

2

 z
r1
r2
 
r1
w1
r2
  z ,0  w  , 0  z  
r1
r2
, lainnya
Pdf marginal dari W adalah :

g1 ( w) 
 g (w, z)dz





r1
2
1
( )( )2
Misalkan,
r1
2
r2
2
z
y
2

r1
r2
r1  r2
2
 r1  r21 1 r12r2 1  2  rr12 w1 
e
dz
  w z
 r2 

2y
w  1  z  r1
 dz 
r2 w  1
z
2
dy
r1
r2 w  1

 g1 ( w) 


w
r1
1
2
( r21 )( r22 )2
w

r1
1
2
( )( )2
r1
2
r2
2
(
r1
2
r1  r2
2
r2
2
r1
r2
( r21
r2
2
2

r1  r2
2
r1
1
2
r1
r2
 2y 
 r1

 r w 1
 2

r1
2
r1
1
2
r1  r2
2
r1  r2
2

 r1 
 
 r2 
 w
)( )  w  1

w
)( )  w  1


r1  r2
2
 r1 
 
 r2 
r1
2
r1  r2
2
r1
r2
r1 r2
1
2
2

w 1
 r1 
 
 r2 
 r1 
 
 r2 
r1
2
r1  r2
2
r1 r2
1
2
e

0  


 1
0   r1 r2
2

y
r1
r2
   y
  

 
r1
2
2
dy
w 1
r1  r2
2
r1  r2
2
r1 r2
1
2
e y dy
 r1r2
 y 2 1e y dy


 g1 ( w) 
( r21
0
 w
)( )  w  1

r1
1
2
r1  r2
2
r2
2
r1
r2
r1  r2
2
 r1 
 
 r2 
r1
2
,0  w  
, lainnya
Distribusi yang mempunyai bentuk pdf seperti
diatas disebut distribusi F.
• Note:
- Distribusi Beta mempunyai 2 parameter
 dan 
- Distribusi t mempunyai 1 parameter yaitu r
- Distribusi F mempunyai 2 parameter yaitu r1 dan r2
- Pada slide 18, baris kedua dari bawah, seharusnya z tidak
r
ada lagi sesudah r
1
2