Transcript aljabar matriks pert 11

ALJABAR MATRIKS
pertemuan 11
Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom
Himpunan Ortonormal
Definisi :
Misalkan v1,v2, … , vn adalah vektor – vektor didalam sebuah ruang hasil kali dalam V.
Jika (v1,v2) = 0 bilamana i ≠ j , maka {v1,v2, … , vn} dikatakan sebuah himpunan ortogonal dari vektor –
vektor.
Contoh :
Himpunan {(1,1,1)T , (2,1,-3)T , (4,-5,1)T} adalah himpunan ortogonal yang berada didalam R3 ,
karena
(1,1,1)(2,1,-3)T = 0
(1,1,1)(4,-5,1)T = 0
(2,1,-3)(4,-5,1)T = 0
Teorema :
Jika {v1,v2, … , vn} adalah himpunan ortogonal dari vektor – vektor taknol yang berada didalam sebuah ruang hasil kali
dalam V , maka v1,v2 , … , vn adalah bebas linear
Definisi :
Sebuah himpunan ortonormal dari vektor – vektor adalah sebuah himpunan ortogonal dari vektor – vektor satuan.
Himpunan {u1,u2, … , un} akan menjadi ortonormal jika dan hanya jika ˂ui , uj˃= δij
δij = 1
jika i = j
=0
jika i ≠ j
Jika diberikan himpunan ortogonal dari vektor – vektor taknol {v1,v2, … , vn} maka dimungkinkan untuk membentuk sebuah
himpunan ortonormal dengan mendefinisikan
untuk i = 1,2, … , n
 1 
vi
ui  

vi


Contoh :
Jika v1 = (1,1,1)T , v2 = (2,1,-3)T , v3 = (4,-5,1)T maka {v1,v2,v3} adalah sebuah himpunan ortogonal didalam R3.
Untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal , maka
 1 
v1  1 (1,1,1)T
u1  

3
 v1 
 1 
v 2  1 (2,1,3)T
u 2  

3
 v2 
 1 
v3  1 (4,5,1)T
u3  

3
 v3 
n
Teorema :
Misalkan {u1,u2, … , un} basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V. jika v   ci.ui
i 1
maka ci = (ui,v)
Bukti :
<ui,v> =
n
n
n
j 1
j 1
j 1
ui,  cj.uj   cj ui, uj   cj.j  ci
Akibat :
n
Misalkan {u1,u2, … , un} adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah hasil kali ruang dalam V, jika u = ai.ui
i 1
dan v = n
maka <u,v> = n
 bi.ui
 ai.bi
i 1
i 1
Akibat :
(Rumus Parseval). Jika {u1,u2, … ,un} adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V dan v =
n
n
2
maka
2
 ci.ui
i 1
Contoh :
Vektor – vektor
v   ci
i 1
 1 1 
u1  
,

 2 2
T
T
dan
1 
 1
u2  
,

2
 2
x1  x 2
x1  x 2
dan xT u 2 
berdasarkan teorema
2
2
2
2
2
 x1  x2   x1  x2 
dan berdasarkan akibat ke 2 maka x  
 
  x12  x22
2  
2 

Membentuk sebuah basis ortonormal untuk R2 . Jika x ϵ R2 , maka
diatas maka x 
x1  x 2
x1  x 2
u1 
u2
2
2
xT u1 
Latihan
1. Yang manakah diantara himpunan vektor – vektor ini yang membentuk sebuah basis ortonormal untuk R2?
1. {(1,0)T , (0,1)T}
2. {(1,-1)T , (1,1)T}
T
T
3. 
 3 4   5 12  

 ,  ,  ,  

 5 5  T 13 13  
T
4. 
 3 1   1 3  

,  , ,

 
2
2
2
2

 
 


2.
 1 
 1 
2




 
2
3
Misalkan
 3 2 


 
2
1 
 1 


u1  
, u2 
, u3   
3
3 2 
2





1
0 
  4 


 
3


 3 2
1.
2.
Perlihatkan bahwa {u1,u2,u3} merupakan basis ortonormal untuk R3
Misalkan x = (1,1,1)T . Tuliskan x sebagai contoh kombinasi linear dari u1,u2 dan u3 dengan menggunakan
teorema sebelumnya dan gunakan rumus parseval untuk menghitung ||x||
Proses Ortogonalisasi Gram – Schmidt
Teorema (Proses Gram – Schmidt)
 1 

Misalkan {x1,x2, … , xn} adalah basis untuk ruang hasil kali dalam V. Misalkan ui  
dan definisikan masing –
 vi vi


masing u2, … un secara rekursif dengan


1
 xk 1  pk 
uk 1  

x

p
k 
 k 1
untuk k = 1, … , n-1
Dimana
pk  xk 1, u1 u1  xk 1, u2 u2  ... xk 1, uk uk
Adalah proyeksi dari xk+1 pada rentang (u1,u2, … , un).
Himpunan (u1,u2, … , un) adalah basis ortonormal untuk V
Teorema (Faktorisasi QR)
Jika A adalah sebuah matriks m x n dengan rank n , maka A dapat difaktorkan ke dalam sebuah hasil kali QR, dimana Q
adalah sebuah matriks m x n dengan kolom – kolom ortonormal dan R adalah sebuah matriks m x n yang merupakan matriks
segitiga atas dan dapat dibalik (invertible)
Bukti
Misalkan p1, … pn-1 adalah vektor – vektor proyeksi yang didefinisikan dalam teorema sebelumnya dan misalkan {q1, q2
,…, qn} adalah basis ortonormal dai R(A) yang dihasilkan dari proses Gram – Schmidt.
Definisikan
r11  a1
rkk  ak  pk 1
, untuk
k  2,...,n
dan
rik  qiT .ak
, untuk i  1,...,k  1
dan k  2,...,n
Berdasarkan proses Gram – Schmidt maka r11.q1  a1
rkk .qk  ak  r1k q1  r2k q2  ...  rk 1,k qk 1
untuk k  2,...,n
Sistem diatas dapat ditulis kembali dalam bentuk a1  r11q1
a2  r12 q1  r22 q2
.
.
.
an  r1n q1  ...  rnn qn
Jika kita tetapkan Q = (q1,q2, … , qn) mendefinisikan R sebagai matriks segitiga atas
r11 r12 ... r1n
0 r22 ... r2 n
R
...
0 0 ... rnn
Maka kolom ke-j dari hasil kali QR akan menjadi Qrj  r1 j q1  r2 j .q2  ... rjj q j  a j
Oleh karena itu QR = (a1,a2, … , an) = A
 1  2  1


Contoh
2 0
1

Hitunglah faktorisasi QR Gram schmidt dari matriks A  
2 4 2 


4 0

0


Penyelesaian
Langkah 1. tetapkan r11  a1  5
1
1 2 2 4
q1  a1   , , , 
r11
5 5 5 5
T
T
Langkah 2. tetapkan r12  q1 a2  2
p1  r12 q1  2q1
  8 4  16 8 
a2  p1  
, ,
, 
 5 5 5 5
r22  a2  p1  4
T
1
a2  p1     2 , 1 ,  4 , 2 
q2 
r22
 5 5 5 5
T
untuk
j  1,...,n
T
Langkah 3. tetapkan r13  q1 a3  1
r23  q2T a3  1
 8 4 4  2 
p2  r13 q1  r23 q2  q1  q2  
, , ,

5
5 5 5 

r33  a3  p2  2
1
  4 2 2 1 
q3  a3  p2   
, , , 
r33
5
5 5 5 

T
T
Pada setiap langkah kita telah menentukan sebuah kolom dari Q dan sebuah kolom dari R.
Pemfaktoran diberikan oleh
1

5
2

A  QR   5
2

5
 4
5
2
5
1
5
4
5
2
5
4

5 
2  5  2 1 
5  0 4  1

2 

 0 0
2 
5 
1 

5 
Latihan
Hitunglah matriks ini menggunakan faktorisasi Gram - schmidt
1  1 4 


1
4

2


A
1 4
2 


1  1 0 


Polinom ortogonal
Definisi
Misalkan po(x) , p1(x), … adalah sebuah barisan polinom dengan derajat pi(x)= i untuk setiap i . Jika [pi(x),pj(x)]=0 kalau i
≠ j , maka [pn(x)] disebut sebagai sebuah barisan polinom ortogonal. Jika ( pi , pj )= δij . Maka [pn(x)] disebut sebagai
sebuah barisan polinom ortonormal.
Teorema
Jika po,p1 ,… adalah barisan polinom ortogonal , maka
i.
Po , … , pn-1 membentuk sebuah basis untuk pn
ii. pn ϵ pn┴ ( yaitu pn ortogonal ke setiap polinom yang berderajat kurang dari n)
Latihan
Ada 4 polinom ortogonal yang dikenal secara umum , yaitu polinom legendre , polinom tchebycheff , polinom jacobi ,
polinom hermite dan polinom laguerre.
Carilah salah satu dari polinom tersebut yang menurut anda mudah dipahami dan buatlah 2 soal dan jawaban dari
polinom yang anda temukan