Transcript P06 InversRANK MATRIKS


Latihan dulu OBE (menentukan invers)
Definisi
Misal Ip merupakan matriks diagonal pxp
1
0



0
1.
2.
3.
0
1

0
0
0

0




0
0


1
Matriks Ik berukuran kxk disebut identitas kanan untuk setiap
himpunan matriks berukuran nxk
Matriks In berukuran nxn disebut identitas kiri untuk setiap
himpunan matriks berukuran nxk
Jika n=k maka In = Ik = I disebut identitas untuk setiap
himpunan matriks berukuran nxn
Definisi
Misal X adalah matriks kxk. Invers dari X dinotasikan X-1
merupakan matriks kxk sedemikian hingga
XX-1 =X-1X =I
Jika matriks ada, maka X disebut invertible atau nonsingular,
selain itu matriks disebut noninvertible atau singular.
Sifat-sifat invers
1. Jika X nonsingular, maka X-1 nonsingular dan (X-1)-1=X
2. Jika X dan Y keduanya nonsingular berukuran kxk, maka XY
nonsingular dan (XY)-1=Y-1X-1
3. Jika X nonsingular, maka X’ nonsingular dan (X’)-1=(X-1)’
Definisi
Misal X merupakan matriks kxk sedemikian hingga X’X=I. Maka
X disebut ortogonal.
Definisi
n
Misal x dan y merupakan vektor nx1. Jika x' y   xi yi  0
i 1
Maka x dan y dikatakan ortogonal.
Definisi
Misal x merupakan vektor nx1. Panjang x dinotasikan
x  x' x  x12  x22    xn2
x
adalah
Definisi
Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan vektor ortogonal
berukuran nx1. Jika masing-masing vektor mempunyai panjang
maka vektor-vektor membentuk himpunan ortonormal.
Teorema
Misal X merupakan matriks kxk, X ortogonal jika hanya jika
kolom-kolomnya merupakan himpunan ortonormal.
Definisi
Misal A merupakan matriks kxk dan x merupakan vektor taknol
berukuran kx1. Nilai eigen atau akar ciri dari A adalah bilangan 
sedemikian hingga
Ax = x
Vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen.
Contoh
Diketahui
 1 1
A


2
4


tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut
Sifat-sifat nilai Eigen
1. Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka nilai eigen dari A
semuanya bilangan riil
2. Jika A merupakan matriks kxk dan C matriks ortogonal kxk,
maka nilai eigen C’AC sama dengan nilai eigen A.
3. Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka vektor eigen
yang diperoleh dari nilai eigen matriks A adalah ortogonal.
Teorema
Misal A merupakan matriks kxk, maka matriks ortogonal P ada
sedemikian hingga
1 0
0 
2

P ' AP   0 0

 
 0 0
0
0
3

0
0
0 
0


k 
Dimana i untuk i = 1, 2, ... , k merupakan nilai eigen dari A
Definisi
Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan k vektor kolom. Jika
bilangan riil a1, a2, ... , ak tidak semuanya nol sedemikian hingga
a1 x1  a2 x2   ak xk  0
ada, maka vektor x1, x2, ... , xk disebut bergantung linier. Selain itu
disebut bebas linier.
Misal X matriks berukuran nxk, setiap kolom dari matriks
merupakan vektor kolom. Matriks X dalam bentuk vektor kolom
ditulis X = [x1 x2 x3 ... xk]. Rank dari X, dinyatakan dengan r(X)
didefinisikan sebagai jumlah terbanyak vektor-vektor bebas linier
pada himpunan {x1, x2, x3, ... , xk}
Sifat-sifat Rank
1. Misal X adalah matriks nxk dengan rank k dimana nk. Misal
X rank penuh (full rank) maka r(X)=r(X’)=r(X’X)=k.
2. Misal X adalah matriks kxk. Maka X nonsingular jika dan
hanya jika r(X)=k.
3. Misal X adalah matriks nxk, P adalah matriks nonsingular nxn
dan Q adalah matriks nonsingular kxk. Maka r(X) = r(PX) =
r(XQ).
4. Rank dari matriks diagonal sama dengan bilangan tak nol
kolom-kolom dari matriks
5. Rank dari XY kurang dari atau sama dengan rank X dan
kurang dari atau sama dengan rank Y
Contoh
Misal X matriks nxk memiliki rank penuh. Matriks nxn
H=X(X ’X)-1X ‘
merupakan matriks idempoten. Saat X memiliki rank penuh,
r(X)=k. Saat r(X)=r(X’X), maka r(X’X)=k. X’X merupakan matriks
kxk. Sebarang matriks kxk dengan rank k adalah nonsingular.
Sehingga, (X’X)-1 ada. Untuk menunjukkan H idempoten,
H2 =[X(X ’X)-1X ‘] [X(X’X)-1X ‘]
Gunakan sifat asosiatif untuk perkalian matriks, sehingga diperoleh
H2 =X(X ’X)-1 (X‘X)(X ’X)-1X’
Saat (X ‘X)(X ’X)-1X=I maka
H2 =X(X ’X)-1 X ‘=H (H merupakan matriks idempoten)
Definisi
Trace matriks kxk dinotasikan dengan tr(X), didefinisikan sebagai
jumlah elemen-elemen dari diagonal utama.
k
tr ( X )   xii
i 1
Sifat-sifat Trace
1. Misal c bilangan riil, maka tr(cX)=c tr(X)
2. tr(XY) = tr(X)  tr(Y)
3. Jika X berukuran nxp dan Y berukuran pxn, maka
tr(XY)=tr(YX)
Teorema
Nilai eigen dari matriks idempoten selalu nol atau satu.
Teorema
Misal A matriks simetri kxk dan idempoten dengan rank r. Maka rank
A sama dengan trace nya, r(A)=tr(A).
Teorema
Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Syarat
cukup dan syarat perlu untuk matriks ortogonal P sedemikian hingga
P’AiP diagonal untuk i=1, 2, 3, ... , m adalah AiAj = AjAi untuk setiap
pasangan (i,j).
Teorema
Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk.
Maka:
1. Setiap Ai dimana i=1, 2, 3, ... , m adalah idempoten
m
2.  Ai adalah idempoten
i 1
3. Ai Aj = 0 untuk ij
Teorema
Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Misal
r menyatakan rank m A dan misal ri menyatakan rank Ai dimana

i
i

1
i=1, 2, 3, ... , m. Jika minimal dua pernyataan benar, maka r  m r

i 1
i
 Jika Anxn adalah matriks nonsingular, maka solusi SPL Ax = g ada dan
unik. Solusi persamaannya adalah x = A-1g

Jika A tidak bujursangkar, atau bujursangkar tapi singular
maka solusinya bisa dicari menggunakan Generalized Inverse
(matriks kebalikan umum) dan Conditional Inverse (matriks
kebalikan bersyarat).
Definisi
Misal A adalah matriks mxn. Jika matriks A- ada dan memenuhi 4
kondisi berikut, maka A- disebut generalized inverse dari A:
1. AA- simetris
2. A-A simetris
3. AA-A = A
4. A-AA- = Ageneralized inverse dapat dinyatakan sebagai g-invers
Teorema
Misal A matriks mxn.
 Jika rank A adalah m maka A- = A’(AA’)-1 dan AA- = I.
 Jika rank A adalah n maka A- = (A’A)-1A’ dan A-A = I.
 Jika rank A adalah r, maka g-invers dari A dapat dihitung
menggunakan langkah:
1. Hitung B = A’A atau B = A A’
2. C1 = I
3. Ci+1 = I(1/i)tr(CiB) – CiB, untuk i=1,2,..r-1
4. A- = rCrA’/tr(CrB)
Catatan: Cr+1B = 0 dan tr(CrB) ≠ 0