Transcript 丛基础数学的精要与思想方法探讨大学
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从基础数学的精要与思想方法
探讨
大学数学教育的改革途径
项 武义
美国加州大学柏克莱分校
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I. 基 础 数 学 的 本 质 思 想 与 精 要
• 本 质：平 实 近 人，简 朴 精 到，
顺 理 成 章，引 人 入 胜
• 思 想：归 纳 综 合：由 繁 精 简，
至精至简
演 绎 应 用：择 其 精 要，
以简御繁
• 精 要： 大 巧 若 拙 的 运 算 律：
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• 精 要：大 巧 若 拙 的 运 算 律：
• 1。集合运算律：思想的代数（逻辑）
• 2。数系运算律：代数学之基础
方法与 想法
• 3。向量运算律：空间本质的全面代数化
解析几何之基础
• 4。微分积分运算律：分析学之基础
《大智若愚 大巧若拙 理在用中方知妙》
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II. 大 学 基 础 数 学 与 数 学 教 育
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• 在 理 性 文 明( Civilization of Rational Mind)
的 发 展，现 代 科 技 的 应 用 上
基础数学是 开拓者，力行者
• 数理分析: 精益求精 至精至简 以简御繁
• 数学教育：启发心智，教育青年
善于认识问题，解决问题
• 益智佳园 普渡众生“大乘应用数学”
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III. 课 程 革 新 的 具 体 建 议
• 平实近人
• 精简实用
• 引人入胜
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返 璞 归 真，平 实 近 人
• 源起与本质
• 数 系 的 运 算 律：+ 1 与 归 纳 法
• 加，乘，乘 方 的 归 纳 定 义
• 几 何 学：空 间 本 质 的 “认 识 论”
• 极 限 起 源 于 “逼 近“
• 微 分 和 积 分 -- “变 率”“求 和”的
“比 较 原 则”,“逼 近 法”
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精 中 求 简，精 简 实 用
• 基 础 数 学 ： 人 人能 懂 到处有用 的
“ 大道理”
• 解 说得 “简朴精到”
• 用 来 “以简御繁”
• 学 会“ 认识问题，解决问题”
• “应试”：徒 劳的 苦 海
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顺 理 成 章，循 循 善 诱，
引 人 入胜
用“认识论”的观点教学 而非“知识论”
数学的 认知创建过程 体现简朴精到的
“思想”与“方法论”
认知之中的思想与方法论 比 所得的知识
本身 更富有启发心智，学会 求知能力
的营养
和风细雨 循循善诱，逐步逐阶举例开导
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IV. 教 学 的 实 例 与 建 议
• 1 。集合运算 与 简易逻辑
“性质”《==》“集合”
• 思想的代数（逻辑）《==》 集合运算
的代数（波尔代数）
Slide 11
2。从 算术 到 代 数 再迈向 微积分
a. 算术 到 代数 ，进步何在？
系统地运用数系运算律--知行合一
b. 韩信点兵法– 善用分配律
c. 插值法，求和公式，二项定理，
泰勒展开式
d. 由代数迈向微积分
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3。中国古算 和 希腊定量几何的
比较分析
a. 空间本质 的 认识论
b. 富有直观，启发思想 与方法
c. 古希腊几何学在定性平几到 定量
平几的演进中的挫折与突破
Slide 13
•
•
•
•
平几基础初论，“可公度性”
Hippasus– “不可公度性”
Eudoxus– 创 逼近理论
重建“几何基础论”
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• i) 空间的性质：
•
•
•
•
连接与分隔
对称性 （即全等性）
平直性 （即平行性）
连续性
Slide 15
• ii) 平行性: 三角型内角和恒为一平角
• iii) 连续性：
• “空间连续性”：
• “直线连续不断，但是一剪就断”
的解析描述（Analytical Formulation)
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•
•
实数的连续性
师法 Eudoxus –
平实近人 引人入胜
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引玉之砖
Slide 18
愿
祖国大地，山永青水常绿苗木遍野
愿
我们，以播种者耕耘者共勉互励
从基础数学的精要与思想方法
探讨
大学数学教育的改革途径
项 武义
美国加州大学柏克莱分校
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I. 基 础 数 学 的 本 质 思 想 与 精 要
• 本 质：平 实 近 人，简 朴 精 到，
顺 理 成 章，引 人 入 胜
• 思 想：归 纳 综 合：由 繁 精 简，
至精至简
演 绎 应 用：择 其 精 要，
以简御繁
• 精 要： 大 巧 若 拙 的 运 算 律：
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• 精 要：大 巧 若 拙 的 运 算 律：
• 1。集合运算律：思想的代数（逻辑）
• 2。数系运算律：代数学之基础
方法与 想法
• 3。向量运算律：空间本质的全面代数化
解析几何之基础
• 4。微分积分运算律：分析学之基础
《大智若愚 大巧若拙 理在用中方知妙》
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II. 大 学 基 础 数 学 与 数 学 教 育
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• 在 理 性 文 明( Civilization of Rational Mind)
的 发 展，现 代 科 技 的 应 用 上
基础数学是 开拓者，力行者
• 数理分析: 精益求精 至精至简 以简御繁
• 数学教育：启发心智，教育青年
善于认识问题，解决问题
• 益智佳园 普渡众生“大乘应用数学”
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III. 课 程 革 新 的 具 体 建 议
• 平实近人
• 精简实用
• 引人入胜
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返 璞 归 真，平 实 近 人
• 源起与本质
• 数 系 的 运 算 律：+ 1 与 归 纳 法
• 加，乘，乘 方 的 归 纳 定 义
• 几 何 学：空 间 本 质 的 “认 识 论”
• 极 限 起 源 于 “逼 近“
• 微 分 和 积 分 -- “变 率”“求 和”的
“比 较 原 则”,“逼 近 法”
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精 中 求 简，精 简 实 用
• 基 础 数 学 ： 人 人能 懂 到处有用 的
“ 大道理”
• 解 说得 “简朴精到”
• 用 来 “以简御繁”
• 学 会“ 认识问题，解决问题”
• “应试”：徒 劳的 苦 海
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顺 理 成 章，循 循 善 诱，
引 人 入胜
用“认识论”的观点教学 而非“知识论”
数学的 认知创建过程 体现简朴精到的
“思想”与“方法论”
认知之中的思想与方法论 比 所得的知识
本身 更富有启发心智，学会 求知能力
的营养
和风细雨 循循善诱，逐步逐阶举例开导
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IV. 教 学 的 实 例 与 建 议
• 1 。集合运算 与 简易逻辑
“性质”《==》“集合”
• 思想的代数（逻辑）《==》 集合运算
的代数（波尔代数）
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2。从 算术 到 代 数 再迈向 微积分
a. 算术 到 代数 ，进步何在？
系统地运用数系运算律--知行合一
b. 韩信点兵法– 善用分配律
c. 插值法，求和公式，二项定理，
泰勒展开式
d. 由代数迈向微积分
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3。中国古算 和 希腊定量几何的
比较分析
a. 空间本质 的 认识论
b. 富有直观，启发思想 与方法
c. 古希腊几何学在定性平几到 定量
平几的演进中的挫折与突破
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•
•
•
•
平几基础初论，“可公度性”
Hippasus– “不可公度性”
Eudoxus– 创 逼近理论
重建“几何基础论”
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• i) 空间的性质：
•
•
•
•
连接与分隔
对称性 （即全等性）
平直性 （即平行性）
连续性
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• ii) 平行性: 三角型内角和恒为一平角
• iii) 连续性：
• “空间连续性”：
• “直线连续不断，但是一剪就断”
的解析描述（Analytical Formulation)
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•
•
实数的连续性
师法 Eudoxus –
平实近人 引人入胜
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引玉之砖
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愿
祖国大地，山永青水常绿苗木遍野
愿
我们，以播种者耕耘者共勉互励