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话说微积分 制作人：项晶菁 数学的核心领域是： • 代数学——研究数的理论； • 几何学——研究形的理论； • 分析学——沟通形与数且涉及极限运算的 部分。 • 旧三高(高等分析、高等代数、高等几何) • 数学分析权威R•柯朗所指出的，“微积分乃 是一种震撼人心灵的智力奋斗的结晶”。 • 现代微积分有时作为“数学分析”的同义语， 一般来说数学分析包括微积分、函数论（突 变、复变、实变）、微分方程、积分方程、 变分法、泛函分析、非标准分析等 。 • 在古典意义下，微积分是微分学和积分学的 合称。 1.1微积分的萌芽（15世纪以前） • 1.1.1（公元前）东西方 • 1.古代中国 • 战国时代的《庄子·天下篇》中，“一尺之锤，日取其半， 万世不竭。” ， • “至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一，”--惠施 （约公元前370~公元前310） • 《墨经》中不仅对有穷与无穷作了明确的区分，而且也 有丰富的微分思想。 2.古希腊罗马 • 如何求圆的面积是数学对人类智慧的一次考验，也是极限 诞生的种子。 • 大约在公元前400年古希腊人提出了三大几何难题，其中 之一是“化圆为方”即指用圆规与无刻度的直尺求与一圆 等面积的正方形。直到19世纪，它才被人们证明它为尺规 作图不能问题。 • 公元前5世纪的古希腊智者安提丰与布拉森分别用圆的内接 多边形以及外切正多边形的边数不断加倍的办法来接近圆 的面积，他们认为圆的面积可以取作边数不断增加时他的 内接和外切正多边形的面积的平均值。 • 对这一思想做出重大发展的是欧多克斯（公元前408~公 元前355），相应的方法被后人称为“穷竭法”。这一方 法被欧几里得记述在《几何原本》第12章中。 • 阿基米德（公元前287~公元前212）对穷竭法做出了重 要贡献，这位“数学之神”证明了 10 10 3 3 71 70 • 还算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积等。 1.1.2 十五世纪以前的东西方 • 我国三国时期（公元后3世纪）的数学家刘徽在《九章算术》 的注文中，第一次把《庄子》中的极限思想用于算“圆天” 和“弧天”的面积，创立了一种推求圆周率的方法，即“割 圆术”。 • 刘徽先在圆内作内接正6边形S6， S6的面积不难算出。再 继续算出正12边形，正24边形,。他指出：“割之弥细，所 失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失 矣。”这等同于现代微积分中的极限思想。他得出了徽率。 • 古印度的数学家，对圆却采用了类似切西瓜的方法，把圆切 成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的 面积去代替圆面积。 1.2微积分的先驱工作（16世纪左右） • 1.2.1圆的面积之迷的继续探寻（17世 纪） 1615年出版了《葡萄酒桶的立体几何》 一书，书中介绍了一种他独创的求面积 的新方法：把圆分割成许多小扇形，不 同的是他一上来就把圆分成无穷多个小 扇形，因为太小了，所以小扇形又可用 小等腰三角形来代替。 利用阿基米德的“穷竭法”求出387种 旋转体的体积。 开普勒(德，1571-1630) • 意大利物理学家迦利略的学生卡瓦列里深入研究了上述 求积方法，认为这每一小扇形的面积到底等不等于零， 就不好确定了。他想：开普勒为什么不再继续分下去了 呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？陷 入深思之中的卡瓦利里从衣服的布和一本书的构造上得 了启示，经过反复琢磨，提出了求面积和体积的新方法 “不可分元法”，并于1635年在意大利出版了《不可 分量几何学》一书。 1.2.2微分学的先驱工作（17世纪） 微分学主要与以下两个问题相联系： 1.求曲线在任意一点的切线； 2.求变量的极值。 • 1650年左右，法国数学界3巨头：罗伯瓦尔(Gilles Persone de Roberval,1602～1675)、费马(Pierre de Fermat,1601～1665)、帕斯卡(Blaise Pascal,1623～ 1662)，对这两个问题作了深入的研究。 • 罗伯瓦尔借助合成运动速度做切线，他从运动的角度出发， 将切线看作描绘这曲线的运动在这点的方向；解析几何的 焦点重合时的割线；费马则从集合的角度出发，认为切线 是当两个交点重合时的割线；费马还借助微小增量作切线， 此外他对问题2也提出了较好的方法(即先求，再令解之即 为极值点)。 费马(Pierre de Fermat,1601～ 1665)被称为“业余数学家之王“ 帕斯卡(法, 1623-1662) • 孕育(16-17世纪) • 帕斯卡(法, 16231662)的特征三角 形 自变量的增量Δx与函数的增量Δy 为直角边组成的直角三角形 帕斯卡的工作： • • • • • 16岁时发现了非常有名的“帕斯卡六边形原理”； 1640年出版了《圆锥曲线论》； 1658完成了《摆线论》的名著； 19岁时发明了世界第一台机械加法计算机； 23岁时推测大气压的存在，在发现了算术中的 “帕斯卡三角形”； • 在积分学上他用“无穷小矩形”取代了卡瓦列利 的“不可分元”算出了以曲线为一边的曲边形的 面积； • 在微分学上，他把无穷小概念引入数学，出版了 《四分之一圆的正弦论》（1659）。 瓦里士（John Wallis,1616～1703）的 工作： • 瓦里士是英国最富独创性的数学家之一，早年在剑桥学神 学，从1649年起是牛津大学的“沙维教授”，瓦里士的 算术化工作很有意义。 • 著作《圆锥曲线论》与《无穷小算术》 • 第一次用符号表示无穷大，用表示无穷小或零量，并把它 们与有限数同样看待，一起参加运算，他还引入了“变量 极限——这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之 间的差能够小于任何给定的量。” 1 3 3 5 5 (2n 1)( 2n 1) 2 4 4 6 6 2n 2n 4 伊萨克·巴罗(英, 1630-1677)的工作： • 伊萨克·巴罗的主要著作为《光学和几何 讲义》（1669），有意义的贡献是把 “求切线”和“求积”作为互逆问题联 系起来了。 •特征三角形与曲线切线(1664) •Δy/Δx对于决定切线的重要性 1.3微积分的诞生（17世纪后半期） 1661年牛顿考入了剑桥大学的三一学院，作为减费 生，1664年21岁获学士学位，接着当了研究生。 1665～1667年，伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭， 牛顿回农村住了18个月。在这期间他发现了二项式 定理，酝酿了微积分原理，提出了万有引力定律， 也研究了光的分析。 1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学，由于他 在数学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识 已经超过自己，于1669年10月把“路卡斯教授”的 牛顿(英，1643-1727年) 职位让给牛顿。 主要著作有三部：《运用无穷多项方程的分析学》、《流数法和无穷参数》、 《自然哲学的数学原理》 他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中，这一天可作为微积 分诞生的日子。 牛顿(英，1643-1727年) • 墓志铭： 自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中。上帝说： 让牛顿出世吧！于是一切都豁然明朗。 • 影响: 笛卡儿的《几何学》(1637), 沃利斯的《无穷算 术》(1656) • 第一个创造性成果：二项定理(1665)及无穷级数 (1666) • 第一篇微积分文献: 《流数简论》(1666) • 发表最重要的著作：《自然哲学的数学原理》(1687) • 一些重要贡献：力学、物理学、天文学、化学、自然哲学. 牛顿(英，1643-1727年) 1687 牛 顿 《 年自 然 哲 学 的 数 学 原 理 》 柯特弗里德·威尔赫·莱布尼茨 （Gottfried Will-helm Lleibniz， 1646～1716），德国 莱布尼茨(德，1646-1716) • 1661年秋天，15岁的他考上了莱比锡大学，攻读法律 专业。 • 由于对欧氏几何的求知欲，于1663年转入耶拿大学跟 数学家厄哈德·维格尔学习数学， • 1666年《论组合的艺术》 • 第一篇发表的微分学论文: 《一种求极大与极小值和求 切线的新方法》(1684) • 已含有现代微分符号和基本微分法则，还给出了极值的 基本条件。但运算规则只含简短的叙述而没有证明，使 人很难理解。 • 第一篇发表的积分学论文: 《深奥的几何与不可分量及无 限的分析》(1686) • 他还是历史上最杰出的符号创造家之一，他所发明的微积 分符号，远远优于牛顿的符号，对微积分的发展有重大的 影响，现今通用的符号等以及名称《微分学》和《积分学》 都是莱布尼茨创立的。 • 一些重要贡献：计算机、物理学、力学、光学、地质学、 化学、生物学、心理学、哲学 莱布尼茨(德，1646-1716) 发现易图结构可以用二进制数学予以解释，用二进制数学来理解 古老的中国文化，收藏了关于中国的书籍50多册，200多封信件 中谈到中国。第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的西方学 者。 1697年莱布尼茨著《中国新事萃编》(Novissima Sinica) • “我们从前谁也不信这世界上有比我们的伦理更美满，立身处事 之道更进步的民族存在，现在从东方的中国，给我们以一大觉 醒！东西双方比较起来，我觉得在工艺技术上，彼此难分高低； 关于思想理论方面，我们虽优于东方一筹，而在实践哲学方面， 实在不能不承认我们相形见拙。” 1699年，他写出一篇论文《论二进制的算术》 1714～1716《勃兰斯威克王族的族谱》 1.4微积分的蓬勃发展（18世纪） • 在英国，英国派的代表人物有乔治·贝克莱、瓦里斯、巴 罗，他们之后有巴罗的学生牛顿、科林斯、格里高利，牛 顿的追随者有泰勒（Brook Taylor，1685～1731）、 麦克劳林（1698～1764）、托马斯·辛普生。 • 约翰·兰登（英皇家学会的会员，《残差分析》对导数定 义提出了代表性方案之一“代数的微分学”） 微积分的发展 • • • 法学博士，进入牛顿和莱布 尼茨发明微积分优先权争论 委员会 1715年出版《正和反的增 量法》 与约翰•伯努利关于泰勒公式 优先权之争 泰勒(英, 1685-1731) f ( x ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f ( x 0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 2! 在欧洲大陆： • 代表人物有被誉为法国三巨头的：罗伯瓦尔、费马、帕斯 卡，更有在帕斯卡的好朋友惠更斯影响下成长起来的莱布 尼茨、洛尔、莱布尼茨的朋友伯努利兄弟（雅各布·伯努 利、约翰·伯努利），之后有约翰·伯努利的两个儿子（尼 古拉、丹尼尔）和学生（欧拉和洛必达），以及在他们的 影响下成长起来的达朗贝尔和被誉为“3L”的拉普拉斯， 拉格朗日（欧拉的学生），勒让德，让他们的继承人有博 里叶，泊松。 • 产生了常微分方程，偏微分方程，级数论等。 微积分的发展 • 发展－(瑞)伯努利家族 尼古拉•伯努利 雅格布Ⅰ 尼古拉Ⅰ 尼古拉Ⅱ 约翰Ⅰ 尼古拉Ⅲ 丹尼尔 约翰Ⅱ 约翰Ⅲ 丹尼尔Ⅱ 雅格布Ⅱ 雅格布•伯努利 (16541705) • 17世纪牛顿和莱布尼茨 之后最先发展微积分的人 • 1687年悬链线问题 • 1691年对数螺线 • 1694年《微分学方法》 • 1698年证明调和级数的 发散性. 雅格布•伯努利 (1654-1705) 约翰•伯努利 (1667-1748) • 1694年获医学博士学位 • 1691年解决悬链线问题 • 18世纪初分析学的重要 奠基者之一 • 1700年左右发展了积分 法 • 提出洛比达法则 • 1742年出版《积分学教 程》. 约翰•伯努利 (1667-1748) 丹尼尔•伯努利 (1700-1782) • 医学博士、植物学教授、生 理学教授、物理学教授、哲 学教授 • 第一个把牛顿和莱布尼茨的 微积分思想连接起来的人 • 把微积分、微分方程应用到 物理学，研究流体力学问题、 物体振动和摆动问题，为数 学物理方法的奠基人. 丹尼尔•伯努利 (1700-1782) 达朗贝尔 (法, 17171783) • 自学成才，进入巴黎科学院 • “科学处于17世纪的数学时代 到18世纪的力学时代，力学应 该是数学家的主要兴趣。” • 数学分析的重要开拓者之一， 其成就仅次于欧拉、拉格朗日、 拉普拉斯和丹尼尔•伯努利 • 1750年起《百科全书》 • 1760年起《数学手册》. 达朗贝尔 (法, 1717-1783) 拉格朗日 (法, 17361813) • 数学、力学和天文学中都有重大 历史性贡献，分析学仅次于欧位 的最大开拓者 • 1754年(18岁)发现莱布尼茨 公式, 1755年任数学教授 • 1797年《解析函数论》 • “在我看来，似乎数学矿井已挖 掘很深了，除非发现新的矿脉， 否则势必放弃它”. f ( n1) ( x* ) Rn ( x x0 )n1 ( n 1)! 拉格朗日 (法, 1736-1813) f ( c ) f (b ) f (a ) ba 1.5微积分现代形式的确立（19世纪） • 一、函数概念的发展 • 首先有博里叶，柯西等冲破函数的解析式，之后狄利克雷， 罗巴切夫斯基用对应观点给函数下了定义，最后有黎曼给 出了今天的形式。 傅里叶(法, 1768-1830) • • • 热传导问题的研究和新的普遍性 数学方法的创造 a 1822年《热的解析理论》 f ( x ) 0 (a cos nx b sin nx ) n 2 n 1 n “傅里叶是一首数学的诗” 傅里叶(法, 1768-1830) 二、极限理论完成 • 波尔查诺的工作堪称是它的先驱，而柯西的工作才使它基 本完成，之后，由狄利克雷，黎曼等的贡献，经过魏尔斯 特拉斯的工作才彻底完成极限理论，可以说极限概念的历 史是从动态化过渡到静态化的历史。 三、实数理论的建立 • 柯西用极限概念为微积分奠定了基础，在这个基础上魏尔 斯特拉斯又进一步的算术化，但并不等于微积分基础研究 已到了终结，人们愈来愈觉得建立实数连续系统的必要性 和迫切性。 • 代德金的实数理论是它的现代形式，摩托尔的贡献使微积 分建立在集合论上，从而给了微积分一个更坚实的基础。 • 摩托尔在1874年所创立的《集合论》，他的关于无穷集 的理论可以说是这部无穷交响乐的高潮。 1.6微积分新发展（20世纪） • 20世纪初由H·勒贝格(Lebesgue,1875～1941)将实函 数的积分概念作了推广，提出了包罗广泛的积分理论L积 分(即实变函数理论)。 • 1966年，鲁滨逊（Robinson,1918～1974）为无穷小 概念提供逻辑基础时，提出了非标准分析。 微积分的发展