Transcript 定积分的概念 一、引例 二、定义 三、练习 四、作业 兰州电力学校 杨玉红 提出问题  思考讨论：如何求下列图形的面积？  通过观察与思考，我们意识到用以前所学过的公式与方法， 即用初等数学的知识无法解决这种由曲线所围成的图形面 积问题，但这两种图形都转化为只带有一条曲边的图形的 面积之差，如图 那么，又如何来求这种有一边是曲线的图形面积呢？ 这便是我们本节课的所需解决的问题。 定积分的概念 一、引例1[曲边梯形的面积] 曲边梯形是指在平 y y=f (x) 面直角坐标系中，由连 续曲线 y  f (x) 与三条直 线 x  a 、x  b 和 y  0 所围成的图形。 O a b x y y=f.

定积分的概念
一、引例
二、定义
三、练习
四、作业
兰州电力学校
杨玉红
提出问题
 思考讨论：如何求下列图形的面积？
 通过观察与思考，我们意识到用以前所学过的公式与方法，
即用初等数学的知识无法解决这种由曲线所围成的图形面
积问题，但这两种图形都转化为只带有一条曲边的图形的
面积之差，如图
那么，又如何来求这种有一边是曲线的图形面积呢？
这便是我们本节课的所需解决的问题。
定积分的概念
一、引例1[曲边梯形的面积]
曲边梯形是指在平
y
y=f (x)
面直角坐标系中，由连
续曲线 y  f (x) 与三条直
线 x  a 、x  b 和 y  0
所围成的图形。
O a
b
x
y
y=f (x)
A=?
O
a
b
x
讨论：对于曲边梯形面积的求法，同学们有没有什
么好的办法与想法？
在讲解求法之前，先介绍一些背景知识：
背景简介
“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就
已经萌牙．最早我们可以追溯到古希腊由阿基米德
（Archimedes ，287 BC～212 BC）等人提出的计
算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求
面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，
但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到17世纪，
莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明
确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分
是互逆的两种运算，从而建立了微积分学．
莱布尼兹创立了积分符号  dx ，这些符号进一
步促进了微积分学的发展，并一直沿用至今．
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过
去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往
迎刃而解，微积分学在许多问题中显现出了非凡的威
力。
具体方法：
对于曲边梯形面积的求法，就是“无限
细分，无限求和”的思想的具体体现，数
学家们给我们提供了以下具体方法：
步骤1、分割：
y
O
a
y=f (x)
b
x
在区间[a,b]内插入若干个分点，过每个分点作垂直
于x轴的直线将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形。
步骤2：近似代替：
y
O
a
y=f (x)
b
x
由于小曲边梯形的底边很窄，其面积可以用相应的
小矩形来近似代替。
步骤3：求和：
y
y=f (x)
A1
O
a
A2
A3
A4
A5
b
x
步骤4：取极限
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
形面积和与曲边梯形面积的关系：
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
形面积和与曲边梯形面积的关系：
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
形面积和与曲边梯形面积的关系：
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
形面积和与曲边梯形面积的关系：
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
形面积和与曲边梯形面积的关系：
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积
和与曲边梯形面积的关系：
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,如果
这个近似值的极限存在，则将其定义为所求曲边梯形的面积。
深化反思：
通过以上分析与演示，我们可以分四个步骤
得出曲边梯形的面积，但值得注意的是四个步骤
中的具体细节仍需要细细推敲：
问题一：步骤1中区间[a,b]应如何分割，是将区
间平均分割而还是任意分割？
答：平均分割与任意分割均可，
在实际应用中多用平均分割。
问题二：步骤2中求小矩形面积中的高是什么，
怎样选取？
答：在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i , 以[ xi 1 , xi ]
为底，
f (i ) 为高。 应注意到点的选取与区间端点
无关，既可选区间的左右端
点，也可选区间内任意一点。
在实际应用中多特殊取端点
或中点。
问题三：步骤4中如何利用极限的思想将近似值
向精确值转化？
一、 引例2[变速直线运动的路程]
设某物体作直线运动，已知速度 v  v(t ) 是时
间间隔 [a, b] 上t 的连续函数，且 v(t )  0 ，求物
体在这段时间内所经过的路程？
思路：把整段时间分割成若干小段，每
小段上的速度近似看作匀速，分别求出各小
段的路程再相加，便得到路程的近似值，最
后通过对时间的无限细分便可求得路程的精
确值．
二、 定义
定积分
设函数f (x)在区间[a,b]上有定义，任取分点．
a  x0  x1    xn1  xn  b
x0 , x1 , x1 , x2 ,, xn1 , xn 
把区间[a,b]分成n个小区间
各个小区间的长度依次为
x1  x1  x0 , x2  x2  x1 ,, xn  xn  xn1
在每个小区间xi 1 , xi  上任取一点 i ( xi 1   i  xi ) , (i =1,2, …,n)
作和式
n
 f  x
i 1
i
i

xi  .如果不论对区间[a,b]采取何种分法及
记   max
1i  n
点  i如何选取，只要当   0 时，上述和式的极限
存在，则此极限值称为函数f (x)在区间[a , b]上的定
b
积分，记作 a f  x dx ，即
n
 f  x dx  lim  f  x
b
a
 0
i 1
i
i
其中  为积分符号，函数f (x)称为被积函数，f (x) dx
称为被积表达式， x称为积分变量，a称为积分下限，
b称为积分上限，区间[a,b]称为积分区间．
提炼补充：
1、定积分是一个和式的极限值，它只与被积函
数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示
无关，即有

b
a
b
b
a
a
f ( x)dx   f (t )dt   f (u )du
简单地说：定积分的值与被积函数、积分区
有关，而与积分变量无关。
2、定义中 a 总是小于b 的，为了以后计算方
便起见，对a ＞b ,及a  b 的情况，作出以下补充
定义：

b
a
b
f ( x)dx   f ( x)dx ;
a

a
a
f ( x)dx  0
3、当定义中的和式的极限存在时，通常也
称 f (x) 在 a, b 上可积。
三、练习
求下列图形中涂色部分的面积
分析:可以看出涂色部分是一个曲边梯形，它是
由曲线 y  ln x 、直线 x  2 、x  3和 y  0所围成的，根
据定积分的定义知其面积是曲边对应的函数 y  ln x
在区间 2 , 3 上的定积分，即
3
A   ln xdx
2
分析:本题的难点在于围成曲边梯形的三条直线
中有一条是较难观察到的，通过分析我们知道三条直

线分别 x  、x   和 y  0 ，所以其面积为
4

A   sin xdx
4
四、布置作业
1、阅读课后补充材料；
2、练习17－1：1、2。
背景知识补充
微积分学的建立
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和
积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面
积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，
就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，
早在古代就有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》
一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不
竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失
弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”
这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就
成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型
的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时
速度的问题。第二类是求曲线的切线的问题。第三类是求函数
的最大值和最小值问题。第四类是求曲线长、曲线围成的面积、
曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于
另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解
决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡
尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；
意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分
的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学
家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和
完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作，但他
们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个
是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的
中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，
因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析
学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来
考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他
发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个
很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它
也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，
就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他已
含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表
了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，
他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的
发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时
莱布尼茨精心选用的。
莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）
是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家
和哲学家，一个举世罕见的科学天才。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可
磨灭的贡献。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，
他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研
究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠
定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆
长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任
院长。
数学方面的成就：
莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高
等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学
理论奠定了基础。他曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并
不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证
明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理
论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理
论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进
行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发
展奠定了坚实的基础。
物理方面的成就：
莱布尼兹在物理学方面的贡献也是非凡的。
他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原
理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态
的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认
真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，提出了运动的量的问题，证
明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动
能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”
的观点。在光学方面，莱布尼兹也有所建树，他利用微积分中的求极
值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定
律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似
欧氏几何的公理系统的目标前进的。