Transcript 尺规作图
尺规作图 邹林强 数学院 1210017 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 1/27 中学阶段的尺规作图 作线段的垂直平分线 作过三个点的圆 作全等三角形 作角的平分线 作一个角等于已知角 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 2/27 尺规作图的概念 尺规作图 在平面几何作图时只允许使用没有刻度的直尺和圆规 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 3/27 乔治.摩尔(Georg Mohr)与单规作图 1672年 丹麦数学家乔治.摩尔证明了：如果将直线看作直 线上的两点，那么凡是尺规能作的图，单用圆规也能作。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 4/27 尺规限制 约公元前465年 希腊人伊诺皮迪斯(Oenopides of Chios)提出 几何作图只用直尺和圆规这两种工具的限制。 公元前三世纪 欧几里得将其归入《原本》的公理系统 欧几里得工具 欧几里得 《原本》 (B.C. 330-B.C. 275) 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 5/27 《原本》中的五大公理 等于同量的量彼此相等 等量加等量，和相等 等量减等量，差相等 彼此重合的图形是全等的 整体大于部分 亚里士多德：公理是一切科学共有的真理，而公设则是 某一科学所能接受的第一性原理 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 6/27 《原本》中的五大公设 从任意一点到任意一点可作一直线 一条有限直线可不断延长 以任意中心和直径可以画圆 凡直角都彼此相等 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直 角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小 于两直角的一侧相交 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 7/27 希尔伯特公理系统 1899年 德国数学家希尔伯特(Hilbert，1862—1943)归纳 完整的欧几里得几何公理，包括基本概念、基本对象、基本 关系，包含了结合、顺序、合同、平行、连续五大公理。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 8/27 用尺规作图解一元二次方程 求一元二次方程x2-ax+b=0(a2>4b)的根 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 9/27 倍立方体问题 倍立方体问题也叫提洛(Delos)问题，起源于建筑的需要。 根据埃拉托塞尼(Eratosthenes，约公元前276一前195)记载 关于这个问题起源的两个神话传说 第一个传说是鼠疫蔓延提洛岛，一个先知者说已得到神的谕示， 必须将立方形的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息。建筑 师很为难，不知怎样才能使体积加倍，于是去请教柏拉图。柏 拉图对他们说：神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希 腊人为忽视几何学而感到羞愧。 另一个故事说一个老诗人描述克利特王迈诺斯为死去的儿子修 坟。他不满意建筑师的设计，指责说：将体积加倍，但仍保持 立方体的形状。 这两个传说都表明倍立方问题起源于建筑的需要。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 10/27 埃拉塞托尼与筛法 100以内的素数有：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 11/27 希波克拉底的进展 希波克拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线段与它的 二倍长线段之间的双重比例中项问题。 a:x=x:y=y:2a 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 12/27 圆锥曲线与倍立方体问题 梅内赫莫斯(Menaechmus，约公元前360)为解决倍立方体问题 而发现了圆锥曲线。 事实上倍立方问题的解就是： x2=ay y2=2ax xy=2a2 中任意两圆锥曲线的交点的横坐标 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 13/27 尺规作图三大问题的不可能性 1837年法国数学家旺泽尔(P．L．Wantzel)首先在代数方程论 基础上证明了倍立方不可能只用尺规作图 伽罗华理论 可尺规作图的伽罗华准则 推论：若在欧几里得意义下z可用尺规作图， 则z是有理数域Q上的代数元，且z在Q 上的不可约多项式Irr(z,Q)是2l（l是非 负整数）次多项式。 伽罗华 Galois （1811-1832) 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 14/27 三等分角问题与正九边形 三等分角问题起源于作正多边形问题 古希腊人可以尺规作图正三、四、五、 六、八、十边形，却在作正九边形时 遇到了问题。如果可以将2π/3三等 分的话 那么就可以做出正九边形了 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 15/27 阿基米德与三等分角器 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 16/27 希比阿斯与割圆曲线 诡辩学派的希比阿斯为了三等 分任意角而发明了“割圆曲 线”(quadratrix) 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 17/27 化圆为方问题 几何的起源是面积测量 希腊人韦勒(Were)能作一个正方形使其面积等于任一 已知多边形的面积 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 18/27 化圆为方问题 公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底 (Hippocrates“Chios)解决了与化圆为方 有关的化月牙形为方 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 19/27 安提丰与穷竭法 诡辩学派的代表人物安提丰(Antiphon ，约公元前480---前411)，则首先 提出了用圆内接正多边形逼近圆 面积的方法来化圆为方．他从 一个圆内接正方形出发，将边 数逐步加倍得到八 边形、正十 六边形、……、无限重复这一 过程，随着圆面积的逐渐“穷 竭”(exhaustion)，将得到一个 边长极微小的圆内接正多边形． 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 20/27 达芬奇的圆柱法 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 21/27 π是超越数 Maclaurin公式 Euler公式 eiθ＝cosθ＋isinθ iπ e ＝-1 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 22/27 π是超越数 1844年刘维尔发现第一个确认为超越数的数， 刘维尔（Liouville）常数： 林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α， eα都是超越数 林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem） 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 23/27 尺规作图三大不可能问题 三大问题的求解使人们发现了多种曲线，开创了曲线 研究的新局面，极大地丰富课古希腊几何研究的内容。 另一方面，对几何三大问题的深入研究还引出了其他 一些数学方法与数学知识上的发现。化圆为方问题促进了 穷竭法的研究，该方法孕育课近代极限论的思乡，具有划 时代的意义，后来成为阿基米德计算圆周率方法的先导。 三大问题还直接或间接地影响了有理数域、代数域与 超越数、群论等的发展。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 24/27 高斯作正十七边形 “那是1796年3月29日，机会与此毫无关系．在这以前， 实际上在1796年冬天(我在哥廷根的第一学期)，我已经发 现了关于方程(XP一1)／(x一1)=0的根分离为2组的方方面 面．在算术范围内认真考虑一切根的相互关系之后，在布 伦瑞克(Braunschweig)的假日期间，那天早上我(起床前) 以最清楚的方式思考这个关系，我成功了，因此立即把它 应用于正17边形与数值证明．” ——T．贝尔(Bell (Development 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 25/27 作正五边形 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 26/27 作正十七边形 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 27/27