Transcript Gauss 二次互反律 - 重庆理工大学数学与统计学院

Gauss
二次互反律
重庆理工大学数学与统计学院
2010.10.11
Gauss 二次互反律
二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而
在实际上解决了二次剩余的判别问题。高斯在1796年作出第
一个严格的证明，随后他又发现了另外七个不同的证明。高
斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石。
高斯之后雅克比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛比纽
斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有150个不
同的的证明。
一、二次剩余
二次剩余的定义：
设p是一个奇素数， d是整数，且p不能整除d，如
果同余方程
有解，则称d是模p的二次剩余；若无解，则称d是
模p的二次非剩余。
例：1，2，4是7的二次剩余，3，5，6是7的二次
非剩余。
二、Legendre 符号
设p是一个奇素数， 定义整变数d的函数
 d   1, d 是模p的二次剩余
 
 p  1, d 是模p的二次非剩余
d 
符号  p  称为模的Legendre 符号
 
三、Gauss二次互反律
Gauss 二次互反律--经典证明
1、Gauss 二次互反律的经典证明
（1）
Gauss 引理
Gauss 二次互反律--经典证明
Gauss 二次互反律--经典证明
（2）二次互反律的证明
Gauss 二次互反律--经典证明
Gauss 二次互反律--经典证明
Gauss 二次互反律--经典证明
Gauss 二次互反律--经典证明
Gauss 二次互反律--经典证明
Gauss 二次互反律简证
2、Gauss 二次互反律简证
Wouter Castryck
A shortened classical proof of the quadratic reciprocity
law,American Mathematical Monthly 115(6), pp. 550-551
(2008)
Gauss 二次互反律简证
Gauss 二次互反律简证
Gauss 二次互反律简证
Gauss 二次互反律简证
Gauss 二次互反律简证
Gauss 二次互反律的发展
Gauss 二次互反律的发展
Gauss 二次互反律的发展
Gauss 二次互反律的发展
Gauss 二次互反律的发展