Transcript 定积分的概念与性质

第5章
§ 5.1 定积分的概念与性质
燕列雅
权豫西
王兰芳
李琪
一、 定积分问题的引入
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
一、定积分问题的引入
矩形面积  a h
h
a
1
三角形面积  a h
2
a
h
梯形面积  ( a  b )
2
2


r
圆面积
b
a
h
r
h
如图所示图形的面积如何
y
计算呢？
y=f(x)
A=?
o a
bx
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线 y
y  f ( x) ( f ( x)  0) 、x 轴
以及两直线
x  a, x  b
所围成 , 求其面积 A .
o a
bx
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
解决步骤 :
1)分割(大化小). 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a  x0  x1  x2    xn1  xn  b
用直线 x  xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2)取近似(常代变).
在第i 个窄曲边梯形上任取
 i  [ xi 1 , xi ] ,作以[ xi 1 , xi ] y
为底 , f ( i ) 为高的小矩形,
并以此小梯形面积近似代替
相应窄曲边梯形面积 Ai , o a x1
得
Ai  f ( i )xi
xi 1 xi
bx
i
(xi  xi  xi 1 ), i  1, 2 ,, n )
3) 求和(近似和).
n
n
i 1
i 1
A   A i   f ( i )xi
4) 取极限. 令   max {xi }, 则曲边梯形面积
1 i  n
n
A  lim  Ai
y
 0 i 1
n
 lim  f ( i )xi
 0 i 1
o a x1
xi 1 xi b x
i
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v  v(t )  C[T1 , T2 ] ,
且 v(t )  0 , 求在运动时间内物体所经过的路程 s.
o
T1
t i 1
ti
T2
t
解决步骤:
1) 分割(大化小).
在 [T1 , T2 ] 中任意插入 n  1个分点 ,
将它分成 n 个小段 [ t i 1 , t i ] (i  1, 2 ,, n) , 在每个小
段上物体经过的路程为  s i (i  1, 2 ,, n)
2) 取近似(常代变). 任取  i  [t i 1 , t i ] ,以v( i ) 代替变速 ,
得
 si  v( i )t i (i  1, 2,, n)
3) 求和(近似和).
n
s   v( i )  t i
i 1
4) 取极限 .
n
s  lim  v( i )  t i (  max  t i )
 0 i 1
1 i  n
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 取近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
二、定积分的定义
设函数 f ( x) 定义在[a, b] 上 , 若对[a , b]的任一种分法
a  x0  x1  x2    xn  b ,
令  x i  xi  xi 1 , 任取  i  [ xi , xi 1 ] , 只要
  max{ x i }  0 时,
1 i  n
n
 f ( i )  xi 总趋于确定的极限 I ,
i 1
则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a , b] 上的定积分,
i
b
记作  f ( x) d x
o ax x x
x
a
即
1
b
a
n
f ( x) d x  lim  f ( i )  xi
 0 i 1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
i 1 i
b
[a , b] 称为积分区间
积分上限
b
a
积分下限
n
f ( x) d x  lim  f ( i )  xi
 0 i 1
被
积
函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
积
分
和
※ 关于定义的几点说明
b
(1)  f ( x)dx只和f ( x)及区间[a,b]有关, 与积分变量用什么
a
字母表示无关.
b
b
b
a f ( x) d x  a f (t ) d t  a f (u ) d u
(2).


b
a
a
a
a
f ( x ) dx    f ( x ) dx ( a  b)
b
f ( x) dx  0(a  b)
※ 可积的充分条件
定理1
函数f(x)在[a,b]上连续
定理2
函数f(x)在[a,b]上有界, 且只有有限个间断点
f(x)在[a,b]上可积.
f(x)在[a,b]上可积.
(证明略)

例1 用定义验证
解

b
a
b
a
1dx  b  a
n
b  a)
1d x  lim 1 x i  lim(
 0
 0
i 1
ba
1 2
x
0
例2 利用定义计算定积分 
dx .
解 将 [0,1] n 等分, 分点为 xi  ni
y
y  x2
(i  0 ,1,, n)
取  i  ni , xi  1n (i  1, 2 ,, n)
2
i
则
f (i )xi  i2 xi  3
n
o
i
n
1x
n
1 n 2 1 1
 f (i )xi  3  i  3  n(n  1)(2n  1)
n i 1
n 6
i 1
1
1
1
 (1  )(2  )
6
n
n

1 2
x
0

y
n
dx  lim   i 2 xi
y  x2
 0 i 1
 lim 1 (1  1 )(2  1 )
n 6
n
n
1

3
o
i
n
1x
※ 定积分的几何意义
f ( x)  0,
f ( x)  0,
y


b
a
b
a
f ( x) dx  A
曲边梯形面积
f ( x) dx   A 曲边梯形面积的负值
A3
A1
A5
A2
a
A4
b
b x
a f ( x) d x  A1  A2  A3  A4  A5 各部分面积的代数和
例如，


b
a
3d x  3(b  a),
a
a


0
1 2
a  x d x  a
2
2
2
cos x d x  0,
三、定积分的性质
1.
2.


b
(设所列定积分都存在)
b
a
k f ( x) dx  k  f ( x) dx ( k 为常数)
b
b
b
a
a
a
a
[ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x) dx   g ( x) dx
n
证 左端  lim  [ f ( i )  g ( i )]x i
 0 i 1
n
n
 lim  f ( i )x i  lim  g ( i )x i = 右端
 0 i 1
 0 i 1
3.

b
a
c
b
a
c
f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x) dx
证※ 当 a  c  b 时,
c
a
因 f (x) 在 [a , b] 上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
 f ( i )x i   f ( i )x i   f ( i )x i
[a , b]
[c , b]
[a , c]
令  0
b
c
b
 a f ( x ) dx   a f ( x ) dx   c f ( x ) dx
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
a
b
c
b
c
b
c
c
c
b
a
c
 a f ( x ) dx   a f ( x ) dx   b f ( x ) dx

 a f ( x ) dx   a f ( x ) dx  b f ( x ) dx
  f ( x ) dx   f ( x ) dx
a  b  c,
c
4. 若在 [a , b] 上 f ( x)  0 ,
则
b
 a f ( x ) dx  0 .
n
证※ 
 f ( i ) xi  0
i 1

n
b
f ( i ) xi  0

a f ( x) d x  lim
0 i 1
推论1 若在 [a , b] 上 f ( x)  g ( x) , 则
b
b
 a f ( x ) dx   a g ( x ) dx
证
由性质2和性质4即得.
推论2
证
b
b
 a f ( x ) dx   a
f ( x ) dx
( a  b)
  f (x)  f ( x)  f (x)
b
b
b
a
a
a
   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx
b
a f ( x) dx  a
即
推论3
b
设
f ( x ) dx
M  max f ( x) , m  min f ( x) , 则
[a , b]
b
[a , b]
m(b  a)   f ( x) dx  M (b  a) (a  b)
a
证
由性质1、推论1和例1即得.
5. 积分中值定理
若 f ( x )  C[a ,b] , 则至少存在一点   [a ,b] ,
使
b
a f ( x) dx  f ( )(b  a)
证※ 设 f ( x) 在[a, b] 上的最小值与最大值分别为 m, M ,
则由推论3 可得
b
1
m
f ( x ) dx  M

a
ba
根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a ,b] 上至少存在一
点   [a ,b] , 使
b
1
f ( ) 
f ( x )dx

ba a
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对 a<b或a>b都成立.
y  f (x)
b
• 可把
 a f ( x ) dx
ba
 f ( )
y
理解为f(x)在[a,b]上的平均值 因
o a 
b x
, b
n
n
f
(
x
)
d
x
1
a
1
b  a  lim
f ( i )

lim  f ( i ) 

n  n
b  a n i 1
n
ba
i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
2. 定积分的性质
3. 积分中值定理
连续函数在区间上的平均值公式
思考与练习
1. 用定积分的几何意义说明下列积分的值.
( 1)
3
2

2
sin xdx 
0
, ( 2)

2
0
4 - x 2 dx 

.
2. 比较下列积分的大小.
(1)

2

2
1
(2)
1
x dx 和
2

2
1
3
x dx
( x  1)dx 和

2
1
ln xdx
解 (1) 1  x  2 时, x 2  x3 , 于是

2
1
(2)
1  x  2 时,

2
1
2
x dx   x3 dx
2
1
x  1  ln x, 于是
( x  1)dx 

2
1
ln xdx
3. 估计下列积分的值.
0

2
解
设 f ( x )= e
x2  2 x
e
x2  2 x
dx
, 令 f ( x)= e
得驻点 x  1, 由 f (0)  1,
1
e e
于是
2
2e   e
-1
x2  2 x
x2  2 x
0
0
-2  e
2
x2  2 x
x2  2 x
f (1)  e1 ,
1
dx  2,
dx  - 2e - 1
(2 x  2)  0,
f (2)  1 有